2020年數(shù)學(xué)（理）高考模擬卷新課標(biāo)卷（8）（本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡的相應(yīng)位置上。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。第卷（選擇題)一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若集合A=xNx-11,B=x|y=1-x2，則AB的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）A3B4C7D8【答案】A【解析】【分析】先求出AB的交集，再依據(jù)求真子集個(gè)數(shù)公式求出，也可列舉求出?！驹斀狻緼=xNx-11=0,1,2，B=x|y=1-x2=-1,1，AB=0,1，所以AB的真子集的個(gè)數(shù)為22-1=3，故選A?！军c(diǎn)睛】有限集合a1,a2,an的子集個(gè)數(shù)為2n個(gè)，真子集個(gè)數(shù)為2n-1。2若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則x的值為（ ）A2B-1.CD【答案】D【解析】【分析】由純虛數(shù)的定義可得其實(shí)部為0但虛部不為0，解之可得答案【詳解】由純虛數(shù)的定義可得，故x，故選D【點(diǎn)睛】本題考查純虛數(shù)的定義，涉及一元二次方程與不等式的解法，屬基礎(chǔ)題3若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】令,可得,進(jìn)而得到,畫出,的圖象,利用圖象比較大小即可.【詳解】令,則,且分別畫出,的圖象可得,即故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)互化,考查指數(shù)函數(shù)圖象,考查利用圖象比較值的大小.4“上醫(yī)醫(yī)國(guó)”出自國(guó)語晉語八，比喻高賢能治理好國(guó)家現(xiàn)把這四個(gè)字分別寫在四張卡片上，其中“上”字已經(jīng)排好，某幼童把剩余的三張卡片進(jìn)行排列，則該幼童能將這句話排列正確的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】先排好醫(yī)字，共有種排法，再排國(guó)字，只有一種方法.【詳解】幼童把這三張卡片進(jìn)行隨機(jī)排列，基本事件總數(shù)n=3，該幼童能將這句話排列正確的概率p=故選：A【點(diǎn)睛】有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)：1基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉；2注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用5埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇跡之一，其中較為著名的是胡夫金字塔令人吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿，還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”如胡夫金字塔的底部周長(zhǎng)如果除以其高度的兩倍，得到的商為3.14159，這就是圓周率較為精確的近似值金字塔底部形為正方形，整個(gè)塔形為正四棱錐，經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后，底座邊長(zhǎng)大約230米因年久風(fēng)化，頂端剝落10米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為（ ）A128.5米B132.5米C136.5米D110.5米【答案】C【解析】【分析】設(shè)出胡夫金字塔原高，根據(jù)題意列出等式，解出等式即可根據(jù)題意選出答案?！驹斀狻亢蚪鹱炙邽?，則 ，即米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為136.4米故選C【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用題，一般設(shè)出未知數(shù)，再根據(jù)題意列出含未知數(shù)的等式，解出未知數(shù)，即可得到答案。屬于常規(guī)題型。6函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（ ）ABC D【答案】C【解析】 故選C.7記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若3S3S2S4，a12，則a5( )A12B10C10D12【答案】B【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，解方程求得，由此求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則3(3a13d)2a1d4a16d，則da1，又a12，d3，a5a14d10.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.8在平行四邊形中，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用平面向量的線性表示化簡(jiǎn)， ,再結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，即可求出答案【詳解】如圖所示，平行四邊形ABCD中，AB3，AD2， 若12，則（）（） 322232cosBAD12，cosBAD，又BAD（0，）BAD故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，將向量表示為是關(guān)鍵，基礎(chǔ)題目9大衍數(shù)列，來源于乾坤譜中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十“的推論.主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以2，奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減1再除以2，其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項(xiàng)而設(shè)計(jì)的，那么在兩個(gè)判斷框中，可以先后填入( )A是偶數(shù)?，?B是奇數(shù)?，?C是偶數(shù)?， ?D是奇數(shù)?，?【答案】D【解析】根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以，奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減再除以，可知第一個(gè)框應(yīng)該是“奇數(shù)”，執(zhí)行程序框圖， 結(jié)束，所以第二個(gè)框應(yīng)該填，故選D.10中國(guó)古代數(shù)學(xué)家名著九章算術(shù)中記載了一種名為“塹堵”的幾何體，其三視圖如圖所示，則其外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】分析：該題屬于已知幾何體的三視圖，求其外接球的表面積問題，把三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，從而求得結(jié)果.詳解：由已知可得該“塹堵”是一個(gè)半個(gè)長(zhǎng)方體的直三棱柱，且長(zhǎng)寬高分別是，該幾何體的外接球就是對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的外接球，而長(zhǎng)方體的對(duì)角線是，所以其外接球的半徑為1，所以其外接球的表面積為，故選B.點(diǎn)睛：解決該題的關(guān)鍵是將根據(jù)三視圖將幾何體還原，從而得到該幾何體是半個(gè)長(zhǎng)方體的三棱柱，利用長(zhǎng)方體的外接球的特征求得結(jié)果.11已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，若為過的橢圓的弦的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)可把橢圓內(nèi)每條線段的長(zhǎng)度用表示，然后利用余弦定理，在兩個(gè)三角形里分別表示同一角的余弦，得到關(guān)系，求出離心率.【詳解】延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接.根據(jù)題意，所以根據(jù)橢圓定義，所以在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得所以，解得，所以橢圓離心率為故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，幾何性質(zhì)，余弦定理等，屬于中檔題.12已知f(x)=ex,x01-x,0x1x-1,x1,若abc,f(a)=f(b)=f(c),則實(shí)數(shù)a+3b+c的取值范圍是（ ）A(-,114-ln2 B(-,54-ln2C(-,52-e12 D(-,154-e12【答案】A【解析】試題分析：設(shè)f(a)=f(b)=f(c)=m，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖知0m0，得0m12令h(m)0，得12m1，所以h(m)在(0,12)上單調(diào)遞增，在(12,1)上單調(diào)遞減，所以h(m)max=h(12)=114-ln2又因?yàn)楫?dāng)m0時(shí)，h(m)-，所以h(m)(-,114-ln2)，故選A考點(diǎn)：1、分段函數(shù)；2、函數(shù)圖象；3、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性第卷（非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。13已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于 . 【答案】0.3【解析】試題分析：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線對(duì)稱軸為 考點(diǎn)：正態(tài)分布點(diǎn)評(píng)：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則正態(tài)密度曲線關(guān)于對(duì)稱，14曲線在點(diǎn)處的切線方程為_【答案】【解析】【分析】求出后可得曲線在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】，故，又，所以曲線在處的切線方程為.【點(diǎn)睛】對(duì)于曲線的切線問題，注意“在某點(diǎn)處的切線”和“過某點(diǎn)的切線”的差別，切線問題的核心是切點(diǎn)的橫坐標(biāo). 15設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_【答案】或【解析】【分析】由已知判斷是否等于，再選擇前項(xiàng)和公式，求出，再運(yùn)用通項(xiàng)公式得解?！驹斀狻拷獾没蛴忠?yàn)樗曰蛩曰蚬实媒?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.16已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為，設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，面積為，且滿足，則該雙曲線的離心率為_.【答案】【解析】【分析】本題首先可根據(jù)題意繪出圖像并設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)為，然后通過圓與雙曲線的對(duì)稱性得出，再根據(jù)“點(diǎn)即在圓上，也在雙曲線上”聯(lián)立方程組得出，然后根據(jù)圖像以及可得和，接下來利用雙曲線定義得出以及，最后根據(jù)并通過化簡(jiǎn)求值即可得出結(jié)果。【詳解】如圖所示，根據(jù)題意繪出雙曲線與圓的圖像，設(shè)，由圓與雙曲線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，因?yàn)閳A是以為直徑，所以圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，也在雙曲線上，所以有，聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，整理得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?lián)立可得，因?yàn)闉閳A的直徑，所以,即，所以離心率?！军c(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查雙曲線與圓的相關(guān)性質(zhì)，考查對(duì)雙曲線以及圓的定義的靈活應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及方程思想，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，體現(xiàn)了綜合性，是難題。三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必做題,每個(gè)考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17在中，三邊，的對(duì)角分別為，已知，.（1）若，求；（2）若邊上的中線長(zhǎng)為，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理把等式中的邊化成角，利用三角恒等變換得到，再利用正弦定理，求得；（2）設(shè)邊上的中線為，利用向量加法法則得，對(duì)式子兩邊平方轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算，求得，再利用三角形的面積公式求面積的值。【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理，得，所?所以.又因?yàn)椋?因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，所?（2）設(shè)邊上的中線為，則，所以，即，.解得或（舍去）.所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、面積公式在解三角形中的運(yùn)用，解題過程中向量關(guān)系的兩邊平方后，本質(zhì)是余弦定理。18已知五面體中，四邊形為矩形，且二面角的大小為.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先證平面，由線面平行的性質(zhì)定理得，所以由線面垂直的判定定理得平面，從而得A平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，【詳解】（1）在五面體中，四邊形為矩形，所以，.因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，又，?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以平面，又，所以平?（2）過點(diǎn)作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求平面，平面的法向量，利用向量法求解即可.則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，不妨令，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即不妨令，則，則.由圖知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理，利用向量法解二面角的問題，屬于中檔題.19為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機(jī)對(duì)50名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車速情況為：在30名男性駕駛員中，平均車速超過的有20人，不超過的有10人在20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過的人與性別有關(guān)；（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計(jì)總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為女性且車速不超過的車輛數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有；（2）.【解析】分析：（1）根據(jù)公示計(jì)算得到卡方值，作出判斷即可；（2）根據(jù)條件可知由公式得到期望值.詳解：（1）平均車速超過人數(shù)平均車速不超過人數(shù)合計(jì)男性駕駛員人數(shù)201030女性駕駛員人數(shù)51520合計(jì)252550， 所以有的把握認(rèn)為平均車速超過與性別有關(guān).（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨即抽取1輛，駕駛員為女性且車速不超過的車輛的概率為.所以的可能取值為0,1,2,3，且，.方法點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.20在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)和定直線的距離相等. （1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線C有唯一的公共點(diǎn)P，與直線相交于點(diǎn)Q，若，求證：點(diǎn)M的軌跡恒過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），然后直接利用拋物線的定義求得拋物線方程；（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程后由判別式等于0得到k與b的關(guān)系，求出Q的坐標(biāo)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出M的坐標(biāo)，然后由證得答案【詳解】（1）解：由拋物線定義可知，動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是以（1，0）為焦點(diǎn)，以x1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y24x；（2）證明：由，消去x得：ky24y+4b0由題意可知，直線l與拋物線相切，1616kb0，即b直線l的方程為ykx令x1，得yk，Q（1，k），設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)P（x0，y0），則，解得：P（，），設(shè)M（m，0），則（m，）（m+1，k）（m）（m+1）mm22（m1）（m2）當(dāng)m1時(shí)，故點(diǎn)M的軌跡恒過定點(diǎn)（1，0）【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了利用向量證明線段的垂直問題，是中檔題21已知函數(shù).（）討論的單調(diào)性；（）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（）見解析；（）.【解析】【分析】（）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，然后分和兩種情況討論，分析在上導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）利用（）中的結(jié)論，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則且有，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，由，知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，即得；由，即得.所以，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.因此，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；在內(nèi)單調(diào)遞減；（）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由（）知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.且當(dāng)時(shí)，