習(xí)題一習(xí)題一 1 1 設(shè) xtEy 263 00 102102cos10 yyE V m 問 矢量E在什么方向 波沿什么方向傳播 波的幅度多大 頻率f 相位常數(shù)k 相速vp 解 1 矢量E在y0方向 2 波沿 x0方向傳播 3 波幅為 10 3 頻率f 106Hz 相位常數(shù)k 相速v 2 102 p smk 10 8 1 2 寫出以下時(shí)諧變量的復(fù)數(shù)表示 如果可能的話 a V t 6sin t 6 3336 3 jeV j b I t 10sin t jeI j 1010 2 c A t 3cos t 2sin t jeeA jj 2323 2 0 d C t 10cos 1000 t 2 jeC j 1010 2 e D t 1 sin t 不存在 f U t sin t 6 cos t 3 不存在 1 3 由以下復(fù)數(shù)寫出相應(yīng)的時(shí)諧變量 a 3 4tan cos 5 543 3 4tan attCejC ja b C 4exp j1 8 C t 4cos t 1 2 c C 3exp j 2 4exp j0 8 C t 3cos t 2 4cos t 0 8 1 4 寫出以下時(shí)諧矢量的復(fù)矢量表示 a 000 z 2 tcos y t 4sin x t 3cos t V 答 000 z y 4 x 3Vjj b 00 z t 4sin tcos 8 x t 4sin t3cos t E 答 00 z 88 x 4 3 Ejj c 0 x t cos kz5 0 t H 答 0 x kz exp 5 0Hj 1 5 從下面復(fù)矢量寫出相應(yīng)的時(shí)諧矢量 a 00 y x Cj 答 00 y sin x cos t Ctt b y x C 00 jj 答 00 y cos x sin t Ctt c y exp x exp C 00 jkzjjkz 答 00 y sin x cos t Ckzttkz 1 6 假定 000 z 21 y x Ajj 000 z y 22 x Bjj 求 BA BA BA BARe 答 jjjjj35 21 22 1BA jj jj 22 1 211 z y x BA 000 000 z 32 y 31 x j 6 1jj jjjjj 3 21 22 1BA jj jj 22 1 211 z y x BARe 000 000 z 2 y 1 x j 2 5jj 1 7 計(jì)算下列標(biāo)量場(chǎng)的梯度 1 u x2y2z2 zxzyyzyxxzxyu 2 2 2 222222 2 u 2x2 y2 z2 z zyyxxu 2 2 4 3 u xy yz xz zyxyzxxzyu 4 u x2 y2 2xy yyxxyxu 2 2 5 u xyz zyxyxzxyzu 1 8 求曲面z x2 y2 在點(diǎn) 1 1 2 處的法線方向 答 令 zyxzyxf 22 000 22zyx yxf 因?yàn)樘荻鹊姆较蚓褪窃擖c(diǎn)的發(fā) 現(xiàn)方向 所以在點(diǎn) 1 1 2 處的法線方向?yàn)?000 22 2 1 1 zyx zyxf 1 9 求下列矢量場(chǎng)的散度 旋度 1 0 2 0 2 0 2 zyxAzyx 0 222 AzyxA 2 000 zyxAyxzxzy 0 0 AA 3 0 22 0 yxAyxyx 0 12 21z xAyA 4 0 2 00 65zyxAxyz 00 26 6yxxyAzA 1 10 求和A A 1 sincos 0 2 0 Az 11 z AA A z cos 13 A z AAA z 000 1 z A 0 sin 2 z 2 cos 1 sin 1 sin 2 000 rr rr rA 2 2 1 sin sin r r AA A rrr A 2 cos2sin3r ArrAA r rr r r sin sin sin 1 000 2 r A 00 3 0 3 cos cos sin 2cos r rr 1 11 求 z 方向無(wú)限長(zhǎng)線電流 0yxIz 激發(fā)的恒定磁場(chǎng)H及其旋度H 答 2 H I H 0 yxIzJ 1 12 求球坐標(biāo)中單位矢量 的旋度 0 r 0 0 答 0 0 r 00 1 r 0 0 00 2 0 1 cot sin cos sin 1 rr r rrr r 1 13 若矢量場(chǎng)xxA 求 S SdA的值 其中 S 是由 組成 的閉合曲面 222 ryx 0 zhz 答 作出圖形后 可以知道 閉合曲面 S 上下底面法向與 A 的點(diǎn)積為 0 2 2 0 22 0 2 00 cos hrrdzdAdzdSdA hh S 1 14 假定zAyAxAA zyx zByBxBB zyx 證明 1 5 49 是正確的 答 左右分別代入 左邊 右邊 即可證明 1 15 證明 1 5 50 1 5 51 成立 答 可參照 1 14 題 1 16 證明 1 5 47 1 5 48 成立 答 同上 1 17 將z zyyxxArec 變換到 cyl A和 sph A 答 z zyxyxAcyl cossin sincos 其中 arctan xy cossin sinsincoscoscos coscossincossin yx zyx rzyxAsph 其中 arctan 22 z yx 和 arctan xy 1 18 將柱坐標(biāo)矢量 cos 2 cyl A變換到直角坐標(biāo) 球坐標(biāo)中 rec A sph A 答 xArec cossincos 2 y cossinsin 2 cos cos sin 22 rAsph 1 19 導(dǎo)出在直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系有如下關(guān)系 cos si