2016年湘教新版九年級(jí)上冊(cè)第 4章銳角三角函數(shù)含單元測(cè)試卷答案解析 一選擇題（共 10小題） 1利用計(jì)算器求 ，依次按鍵 ，則計(jì)算器上顯示的結(jié)果是( ) A 1 2 C=90，已知 ，那么 ) A B C D 3已知 ， 45 90，則 ) A B C D 4在 C=90， ，則 ) A B C D 5在 C=90， ，則 ) A B C D 6 a、 b、 A、 B、 果 a2+b2=么下列結(jié)論正確的是 ( ) A c B a C b D 7在 C=90， A、 B、 a、 b、 c，下列等式中不一定成立的是 ( ) A b= a= D a=如果 么 ( ) A 0 A30 B 30 A 45 C 45 A 60 D 60 A90 9若銳角 滿(mǎn)足 且 ，則 的范圍是 ( ) A 30 45 B 45 60 C 60 90 D 30 60 10下面四個(gè)數(shù)中，最大的是 ( ) A B C D 二填空題（共 8小題） 11用 “ ”或 “ ”填空： _0（可用計(jì)算器計(jì)算） 12已知 ，那么 _ 13在 C=90， ，則 _ 14如圖， _ 15如圖，當(dāng)小杰沿坡度 i=1： 5的坡面由 行走了 26米時(shí)，小杰實(shí)際上升高度_米（可以用根號(hào)表示） 16如圖，在 菱形 ， ， 線段 _ 17如圖 1是小志同學(xué)書(shū)桌上的一個(gè)電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖 2所示的幾何圖形，已知 D=15 0，則點(diǎn) _考數(shù)據(jù) 果精確到 用科學(xué)計(jì)算器） 18如圖，為了測(cè)量樓的高度，自樓的頂 部 ，俯角為 30，已知地面上的這點(diǎn)與樓的水平距離 0m，那么樓的高度 _m（結(jié)果保留根號(hào)） 三解答題（共 8小題） 19在 B、 C 均為銳角，其對(duì)邊分別為 b、 c，求證： = 20計(jì)算： 2 32 溫馨提示：你只需選擇下列一種方式來(lái)解答本題如果兩種方式都做，我們將根據(jù)做得較好的一種來(lái)評(píng)分，但你有可能會(huì)浪費(fèi)一部分時(shí)間！ 方式一：（用計(jì)算器計(jì)算）計(jì)算的結(jié)果是 _ 按鍵順序?yàn)椋悍绞蕉海ú挥糜?jì)算器 計(jì)算） 21計(jì)算： 6 222（ 1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律； （ 2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較 18， 34， 52， 65， 88，這些角的正弦值的大小和余弦值的大小； （ 3）比較大小：（在空格處填寫(xiě) “ ”或 “ ”或 “=”） 若 =45，則 45，則 45，則 （ 4）利用互余的兩個(gè)角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大小： 23如圖，在所示的直角坐標(biāo)系中， 坐標(biāo)是（ 6， y），且 的正切值是 ，求角 的正弦值 24如圖， ， ， 求： （ 1） （ 2） 25為響應(yīng)國(guó)家的 “節(jié)能減排 ”政策，某廠家開(kāi)發(fā)了一種新型的電動(dòng)車(chē)，如圖， 它的大燈 B、 N 的夾角分別為 22和 31， 足為 T，大燈照亮地面的寬度 m （ 1）求 考慮其他因素） （ 2）一般正常人從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到做出剎車(chē)動(dòng)作的反應(yīng)時(shí)間是 發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到電動(dòng)車(chē)完全停下所行駛的距離叫做最小安全距離某人以 20km/做出剎車(chē)動(dòng)作到電動(dòng)車(chē)停止的剎車(chē)距離是 ，請(qǐng)判斷該車(chē)大燈的設(shè)計(jì)是否能滿(mǎn)足最小安全距離的要求（大燈與前輪前端間水平距離忽略不計(jì)），并說(shuō)明理由 （參考數(shù)據(jù)： ， ， ， ） 26如圖是一座人行天橋的示意圖，天橋的高度是 10米， 面 為了方便行人推車(chē)過(guò)天橋，市政部門(mén)決定降低坡度，使新坡面 i= ： 3若新坡角外需留 3米寬的人行道，問(wèn)離原坡角（ 10米的建筑物是否需要拆除？（參考數(shù)據(jù)： 湘教新版九年級(jí)上冊(cè)第 4章 銳角三角函數(shù) 2015年單元測(cè)試卷 一選擇題（共 10小題） 1利用計(jì)算器求 ，依次按鍵 ，則計(jì)算器上顯示的結(jié)果是( ) A 1 【考點(diǎn)】 計(jì)算器 三角函數(shù) 【分析】 本題要求同學(xué)們能熟練應(yīng)用計(jì)算器 【解答】 解：依次按鍵 ，顯示的是 值，即 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題結(jié)合計(jì)算器的用法，旨在考查特殊角三角函數(shù)值，需要同學(xué)們熟記有關(guān)特殊角的三角函數(shù)值 2 C=90，已知 ，那么 ) A B C D 【考點(diǎn)】 同角三角函數(shù)的關(guān)系 【分析】 根據(jù) 設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理 求出第三邊長(zhǎng)的表達(dá)式即可推出 【解答】 解： 知，設(shè) b=3x，則 c=5x，根據(jù) a2+b2=a=4x = = 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過(guò)設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值 3已知 ， 45 90，則 ) A B C D 【考點(diǎn)】 同角三角函數(shù)的關(guān)系 【分析】 利用完全平方公式將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于同 角的三角函數(shù)的關(guān)系 來(lái)進(jìn)行解答 【解答】 解： 45 90， 0 又 （ 2=2 = ， = 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題利用了同角的三角函數(shù)的關(guān)系 來(lái)進(jìn)行變形，注意角的范圍， 的 4在 C=90， ，則 ) A B C D 【考點(diǎn)】 互余 兩角三角函數(shù)的關(guān)系 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分析】 根據(jù)題意作出直角 后根據(jù) ，設(shè)一條直角邊 x，斜邊 3x，根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊 后根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出B 【解答】 解： ， 設(shè) x， 3x， 則 =12x， 故 B= = 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義和勾股定理的運(yùn)用 5在 C=90， ，則 ) A B C D 【考點(diǎn)】 互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)定義解答 【解答】 解：在 C=90， ， 設(shè) x，則 x， x = 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題可以考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊 6 a、 b、 A、 B、 果 a2+b2=么下列結(jié)論正確的是 ( ) A c B a C b D 【考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理 【分析】 由于 a2+b2=據(jù)勾股定理的逆定理得到 C=90，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到正確選項(xiàng) 【解答】 解： a2+b2= C=90， ， 即 a， 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的逆定理 7在 C=90， A、 B、 a、 b、 c，下列等式中不一定成立的是 ( ) A b= a= D a=考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)的定義 【專(zhuān)題】 應(yīng)用題 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以解決 【解答】 解： C=90， A、 B、 a、 b、 c， A、 ，則 b=本選項(xiàng)正確， B、 ，故本選項(xiàng)正確， C、 ，故本選項(xiàng)正確， D、 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤， 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查直角三角形中兩銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，難度適中 8如果 么 ( ) A 0 A30 B 30 A 45 C 45 A 60 D 60 A90 【考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)的增減性 【分析】 由 = 的增大而增大，即可求得答案 【解答】 解： = 的增大而增大， 30 A 45 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了正弦函數(shù)的增減性與特殊角的 三角函數(shù)值此題難度不大，注意掌握的增大而增大 9若銳角 滿(mǎn)足 且 ，則 的范圍是 ( ) A 30 45 B 45 60 C 60 90 D 30 60 【考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)的增減性 【專(zhuān)題】 應(yīng)用題 【分析】 先由特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)隨銳角的增大而減小，得出 45 90；再由特殊角的三角函數(shù)值及正切函數(shù)隨銳角的增大而增大，得出 0 60；從而得出 45 60 【解答】 解： 是銳角， 0， ， 0 ， 又 0， ， 45 90； 是銳角， 0， ， 0 ， 又 0， ， 0 60； 故 45 60 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了余弦函數(shù)、正切函數(shù)的增減性與特殊角的余弦函數(shù)、正切函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵 10下面四個(gè)數(shù)中，最大的是 ( ) A B C D 【考點(diǎn)】 計(jì)算器 三角函數(shù)；無(wú)理數(shù) 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分析】 利用計(jì)算器求出數(shù)值，再計(jì)算即可 【解答】 解： A、 B、 C、 D、 故 大， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題結(jié)合計(jì)算器的用法，旨在考查對(duì)基本概念的應(yīng)用能力 二填空題（共 8小題） 11用 “ ”或 “ ”填空： 0（可用計(jì)算器計(jì)算） 【考點(diǎn)】 計(jì)算器 三角函數(shù) 【分析】 熟練應(yīng)用計(jì)算器， 對(duì)計(jì)算器給出的結(jié)果，精確到千分位，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得答案 【解答】 解： =0， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了計(jì)算器，結(jié)合算器的用法，再取近似數(shù) 12已知 ，那么 0A 90 【考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)的增減性 【專(zhuān)題】 常規(guī)題型 【分析】 首先明確 ，再根據(jù)余弦函數(shù)值隨角增大而減小進(jìn)行分析 【解答】 解： ，余弦函數(shù)值隨角增大而減小， 當(dāng) 時(shí)， A60 又 60 A 90 故答案為： 60A 90 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵 13在 C=90， ，則 【考點(diǎn)】 同角三角函數(shù)的關(guān)系 【分析】 根據(jù)已知條件設(shè)出直角三角形一直角邊與斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)的定義解答 【解答】 解：由 = 知，可設(shè) a=3x，則 c=5x， b=4x = = 【點(diǎn)評(píng)】 求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過(guò)設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值 14如圖， 【考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)的定義；三角形的面積；勾股定理 【分析】 首先連接 勾股定理易求得 2+32=10， 2+32=10， 2+42=20，然后由勾股定理的逆定理，可證得 而可求得 【解答】 解：連接 2+32=10， 2+32=10， 2+42=20， B， 0， 5， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及勾股定理的逆定理此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 15如圖，當(dāng)小杰沿坡度 i=1： 5的坡面由 行走了 26米時(shí)，小杰實(shí)際上升高度 （可以用根號(hào) 表示） 【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用 【專(zhuān)題】 數(shù)形結(jié)合 【分析】 由坡度易得 ： 5，設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，利用勾股定理可得 【解答】 解： 坡度 i=1： 5， ： 5， 設(shè) x，則 x， 5x） 2=262， x 0， x= 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意義是解決本題的關(guān)鍵 16如圖，在菱形 ， ， 線段 【考點(diǎn)】 解直角三角形；菱形的性質(zhì) 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分析】 設(shè)菱形 x，則 C=x，又 ，所以 BE=x 2，解直角 可求得 據(jù) 可求得 【解答】 解：設(shè)菱形 x，則 C=x，又 ，所以 BE=x 2， 因?yàn)?， 所以在 ，又 ， 于是 ， 解得 x=10，即 0 所以易求 ， ， 當(dāng) 故由三角形面積公式有： E= E， 求得 故答案為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了余弦函數(shù)在直角三角形中的運(yùn)用、三角形面積的計(jì)算和最小值的求值問(wèn)題，求 17如圖 1是小志同學(xué)書(shū)桌上的一個(gè)電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖 2所示的幾何圖形，已知 D=15 0，則點(diǎn) 考數(shù)據(jù) 果精確到 用科學(xué)計(jì)算器） 【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用 【分析】 作 E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和 0，求出 度數(shù)，根據(jù)余弦的定義求出 【解答】 解：如圖 2，作 E， D， 0， 0， 在 ， C15 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵 ，作出合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的重要環(huán)節(jié) 18如圖，為了測(cè)量樓的高度，自樓的頂部 ，俯角為 30，已知地面上的這點(diǎn)與樓的水平距離 0m，那么樓的高度 0 m（結(jié)果保留根號(hào)） 【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用 【分析】 由題意得，在直角三角形 道了已知角的鄰邊求對(duì)邊，用正切函數(shù)計(jì)算即可 【解答】 解： 自樓的頂部 ，俯角為 30， 0， B30 =10 （米） 樓的高度 0 米 故答案為： 10 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，俯角的定義，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形 三解答題（共 8小題） 19在 B、 C 均為銳角，其對(duì)邊分別為 b、 c，求證： = 【考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)的定義 【專(zhuān)題】 證明題 【分析】 如圖，過(guò) D ，如果利用三角函數(shù)可以分別在 此即可證明題目的結(jié)論 【解答】 證明：過(guò) D ， 在 ， 在 ， 而 AB=c， AC=b， = 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊解題的關(guān)鍵是作輔助線把普通三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形解決問(wèn)題 20計(jì)算： 2 32 溫馨提示：你只需選擇下列一種方式來(lái)解答本題如果兩種方式都做，我們將根據(jù)做得較好的一種來(lái)評(píng)分，但你有可能會(huì)浪 費(fèi)一部分時(shí)間！ 方式一：（用計(jì)算器計(jì)算）計(jì)算的結(jié)果是 9 按鍵順序?yàn)椋悍绞蕉海ú挥糜?jì)算器計(jì)算） 【考點(diǎn)】 計(jì)算器 三角函數(shù)；特殊角的三角函數(shù)值 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分析】 選擇不用計(jì)算器計(jì)算，簡(jiǎn)便且節(jié)約時(shí)間 【解答】 方式一：（用計(jì)算器計(jì)算） 計(jì)算的結(jié)果是 9 按鍵順序?yàn)椋海ㄒ钥ㄎ鳉W計(jì)算器為例） 方式二：（不用計(jì)算器計(jì)算） 原式 = 9 = 9 = 9 【點(diǎn)評(píng)】 主要考查特殊三角函數(shù)值和二次根式的運(yùn)算，比較容易 21計(jì)算： 6 2【考點(diǎn)】 特殊角 的三角函數(shù)值 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分析】 分別把 ， ， 代入原式計(jì)算即可 【解答】 解：（ 1） 6 2= = 故答案為 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查的是特殊角的三角函數(shù)值的知識(shí)點(diǎn)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答的關(guān)鍵 22（ 1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律； （ 2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較 18， 34， 52， 65， 88，這些角的正弦值的大小和余弦值的大?。?（ 3）比較大?。海ㄔ诳崭裉幪顚?xiě) “ ”或 “ ”或 “=”） 若 =45，則 45，則 45，則 （ 4）利用互余的兩個(gè)角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大小： 【考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)的增減性 【專(zhuān)題】 探究型 【分析】 （ 1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，即可發(fā)現(xiàn)隨著一個(gè)銳角的增大，它的對(duì)邊在逐漸增大，它的鄰邊在逐漸 減小，故正弦值隨著角的增大而增大，余弦值隨著角的增大而減小 （ 2）根據(jù)上述規(guī)律，要比較銳角三角函數(shù)值的大小，只需比較角的大小 （ 3）根據(jù)概念以及等腰三角形的性質(zhì)，顯然 45的正弦值和余弦值是相等的，再根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律，即可得到結(jié)論 （ 4）注意正余弦的轉(zhuǎn)換方法，轉(zhuǎn)換為同一種銳角三角函數(shù)后，再根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律進(jìn)行比較 【解答】 解：（ 1）在圖（ 1）中，令 1， 3， 顯然有： ， ， ， 而 在圖（ 2）中， C=90， ， ， ， 即 （ 2） （ 3）若 =45，則 45，則 45，則 （ 4） 【點(diǎn)評(píng)】 理解銳角三角函數(shù)的概念，掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律以及正余弦的轉(zhuǎn)換方法 23如圖，在所示的直角坐標(biāo)系中， 坐標(biāo)是（ 6， y），且 的正切值是 ，求角 的正弦值 【考點(diǎn)】 同角三角函數(shù)的關(guān)系 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分 析】 首先由點(diǎn) P向 合銳角三角函數(shù)值和點(diǎn) 得點(diǎn) 再根據(jù)勾股定理求得構(gòu)造的直角三角形的斜邊，從而求得該角的正弦值 【解答】 解：作 ， 則 0 則 【點(diǎn)評(píng)】 綜合運(yùn)用了點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的概念 24如圖， ， ， 求： （ 1） （ 2） 【考點(diǎn)】 解直角三角形 【分析】 （ 1）過(guò)點(diǎn) E ，根據(jù) ，求出 C=45，求出 E=1，根據(jù) ，求出 （ 2）根據(jù) 出 長(zhǎng)，得到 到答案 【解答】 解：過(guò)點(diǎn) E ， ， C=45， 在 C， E=1， 在 ，即 = ， ， E+； （ 2） ， D ， E， 5， 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是解直角三角形的知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正確應(yīng)用 25為響應(yīng)國(guó)家的 “節(jié)能減排 ”政策，某廠家開(kāi)發(fā)了一種新型的電動(dòng)車(chē)，如圖，它的大燈 B、 N 的夾角分別為 22和 31， 足為 T，大燈照亮地面的寬度 m （ 1）求 考慮其他因素） （ 2）一般正常人從