專題突破 (二 ) 選擇壓軸題型 動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象和立體圖形的展開(kāi)折疊是初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的重要接軌點(diǎn)之一 ， 是北京中考選擇壓軸題的熱點(diǎn) ， 近年來(lái)立體圖形的展開(kāi)與折疊只在 2010 年出現(xiàn) ， 更多的是考查動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象 2011 2015 年北京中考知 識(shí)點(diǎn)對(duì)比 題型 年份 2011 2012 2013 2014 2015 題型 動(dòng)點(diǎn)生 成的函 數(shù)圖象 由函數(shù) 圖象判 斷運(yùn)動(dòng) 情況 動(dòng)點(diǎn)生 成的函 數(shù)圖象 由函數(shù) 圖象判 斷運(yùn)動(dòng) 情況 由函數(shù) 圖 象判 斷運(yùn)動(dòng) 情況 1 2015北京 一個(gè)尋寶游戲的尋寶通道如 圖 1 所示 ， 通道由在同一平面內(nèi)的 C， 成 為記錄尋寶者的行進(jìn)路線 ， 在 中點(diǎn) M 處放置了一臺(tái)定位儀器 ， 設(shè)尋寶者行進(jìn)的時(shí)間為 x， 尋寶者與定位儀器之間的距離為 y， 若尋寶者勻速行進(jìn) ，且表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖 所示 ， 則尋寶者的行進(jìn)路線可能為 ( ) 圖 1 A A O B B B A C C B O C D C B O 2 2014北京 已知點(diǎn) A 為某封閉圖形邊界上的一定點(diǎn) ， 動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出 發(fā) ， 沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)一周 ， 設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x， 線段 長(zhǎng)為 y， 表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如 圖 2 所示 ， 則該封閉圖形可能是 圖 3 中的 ( ) 圖 2 圖 3 3 2013北京 如 圖 4， 點(diǎn) P 是以 O 為圓心 ， 直徑的半 圓上的動(dòng)點(diǎn) ， 2，設(shè)弦 長(zhǎng)為 x， 面積為 y， 則下列圖象中 ， 能表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是 圖 5 中的 ( ) 圖 4 圖 5 4 2012北京 小翔在如 圖 6 所示的場(chǎng)地上勻速跑步 ， 他從點(diǎn) A 出發(fā) ， 沿箭頭所示方向經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 跑到點(diǎn) C， 共用時(shí) 30 秒 ， 他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小翔的跑步過(guò)程 ， 設(shè)小翔跑步的時(shí)間為 t(單位：秒 )， 他與教練的距離為 y(單位：米 )， 表示 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖 所示 ， 則這個(gè)固定位置可能是圖 中的 ( ) 圖 6 A 點(diǎn) M B 點(diǎn) 點(diǎn) P D 點(diǎn) Q 5 2011北京 如 圖 7， 在 ， 90 ， 30 ， 2，D 是 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (不與點(diǎn) A， B 重合 )， 過(guò)點(diǎn) D 作 垂線交射線 點(diǎn) D x， y， 則 圖 8 的圖象中 ， 能表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是 ( ) 圖 7 圖 8 6 2010北京 美術(shù)課上 ， 老師要求同學(xué)們將 圖 9 所示的白紙只沿虛線剪開(kāi) ， 用裁開(kāi)的紙片和白紙上的陰影部分圍成一個(gè)立體模型 ， 然后放在桌面上 ， 圖 10 中的四個(gè)示意圖中 ， 只有一個(gè)符合上述要求 ， 那么這個(gè)示意圖是 ( ) 圖 9 圖 10 一、動(dòng)點(diǎn)生成函數(shù)圖象 1 2015海淀二模 如 圖 11 所示 ， 點(diǎn) Q 表示蜜蜂 ， 它從點(diǎn) P 出發(fā) ， 按照著箭頭所示的方向沿 P A B P C D P 的路徑勻速飛行 ， 此飛行路徑是一個(gè)以直線 l 為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形 ， 在直線 處 (點(diǎn) 不重合 )利用儀器測(cè)量了 設(shè)蜜蜂飛行時(shí)間為 x， 大小為 y， 則下列圖象中 ， 能表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是 圖 12 中的 ( ) 圖 11 圖 12 2 2015東城一模 如 圖 13 ， 是等腰直角三角形 ， 其中 C 90 ， 點(diǎn) A 與點(diǎn) D 重合 ， 點(diǎn) E 在 ， 4， ， 持不動(dòng) ， 著線段 點(diǎn) A 向點(diǎn) B 移動(dòng) ， 當(dāng)點(diǎn) D 與點(diǎn) B 重合時(shí)停止移動(dòng) 設(shè) x， 疊部分的面積為 S， 則 S 關(guān)于 x 的函數(shù)圖象大致是 圖 14 中的 ( ) 圖 13 圖 14 3 2015西城一模 如 圖 15， 過(guò)半徑為 6 的 O 上一點(diǎn) A 作 O 的切線 l， P 為 作 l 于點(diǎn) H， 連接 A x， y， 那么 圖 16 的圖象中 ，能大致表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的是 ( ) 圖 15 圖 16 4 2014西城一模 如 圖 17， 在 平面直角坐標(biāo)系 ， 以點(diǎn) A(2， 3)為頂點(diǎn)任作一直角 使其兩邊分別與 x 軸、 y 軸的正半軸交于點(diǎn) P， Q， 連接 過(guò)點(diǎn) A 作點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 x， 長(zhǎng)為 y， 則下列圖象中 ， 能表示 y 與 x 函數(shù)關(guān)系的圖象大致是 圖 18 中的 ( ) 圖 17 圖 18 5 2015朝陽(yáng)二模 如 圖 19， 矩形 ， E 為 中點(diǎn) ， 點(diǎn) F 為 的動(dòng)點(diǎn) (不與 B， C 重合 ) 連接 以 直徑的圓分別交 點(diǎn) G， F 的長(zhǎng)度為 x， 弦 長(zhǎng)度和為 y， 則 圖 20 中的圖象中 ， 能表示 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是 ( ) 圖 19 圖 20 二、由函數(shù)圖象判斷運(yùn)動(dòng)情況 6 2015海淀一模 小明在書(shū)上看到了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)盛了水的圓柱形容器內(nèi) ， 有一個(gè)頂端拴了一根細(xì)繩的實(shí)心鐵球 ， 將鐵球從水面下沿豎直方向慢 慢地勻速向上拉動(dòng) 小 明將此實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了改進(jìn) ， 他把實(shí)心鐵球換成了材質(zhì)相同的別的物體 ， 記錄實(shí)驗(yàn)時(shí)間 t 以及容器內(nèi)水面的高度 h， 并畫(huà)出表示 h 與 t 的函數(shù)關(guān)系的大致圖象 ， 如 圖 21 所示 小明選擇的物體可能是 ( ) 圖 21 圖 22 7 2015燕山一模 李阿姨每天早晨從家慢跑到小區(qū)公園 ， 鍛煉一陣后 ， 再慢跑回家 表示李阿姨離開(kāi)家的距離 y(單位：米 )與時(shí)間 t(單位：分 )的函數(shù)關(guān) 系的圖象大致如 圖 23所示 ， 則李阿姨跑步的路線可能是 (用 P 點(diǎn)表示李阿姨家的位置 )( ) 圖 23 圖 24 8 2014海淀二模 如 圖 25 ， 半圓 O 的直徑 ， 正方形 對(duì)角線 B 垂直且相等 ， Q 是 中點(diǎn) 一只機(jī)器甲蟲(chóng)從點(diǎn) A 出發(fā)勻速爬行 ， 它先沿直徑爬到點(diǎn) B， 再沿半 圓爬回到點(diǎn) A， 一臺(tái)微型記錄儀記錄了甲蟲(chóng)的爬行過(guò)程 設(shè)甲蟲(chóng)爬行的時(shí)間為t， 甲蟲(chóng)與 微型記錄儀之間的距離為 y， 表示 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖 所示 ， 那么微型記錄儀可能位于圖 中的 ( ) 圖 25 A 點(diǎn) M B 點(diǎn) N C 點(diǎn) P D 點(diǎn) Q 9 2015海淀二模 如 圖 26 ， 在矩形 ， C， 于點(diǎn) 為線段 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， 連接 過(guò) E 作 點(diǎn) E x， 圖 中某條線段的長(zhǎng)為 y， 若表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖 所示 ， 則這條線段可能是圖 中的 ( ) 圖 26 A 線段 B 線段 線段 D 線段 0 2014房山一模 如 圖 27 ， 菱形 對(duì)角線交于點(diǎn) O， 2點(diǎn) O 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， 過(guò)點(diǎn) P 作 垂線交菱形的邊于 M， N 兩點(diǎn) 設(shè) x， 面積為 y， 表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖 所示 ， 則菱形的周長(zhǎng)為 ( ) 圖 27 A 2 B 2 3 C 4 D 2 5 三、幾何體 的折疊與展開(kāi) 11 2008北京 已知 O 為圓錐的頂點(diǎn) ， M 為圓錐底面上一點(diǎn) ， 點(diǎn) P 在 一只蝸牛從 P 點(diǎn)出發(fā) ， 繞圓錐側(cè)面爬行 ， 回到 P 點(diǎn)時(shí)所爬過(guò)的最短路線的痕跡如 圖 28 所示 若沿 圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展開(kāi) ， 所得側(cè)面展開(kāi)圖是 ( ) 圖 28 圖 29 12 2014西城二模 圖 30 表示一個(gè)正方體的展開(kāi)圖 ， 圖 31 中的四個(gè)正方體中只有一個(gè)符合要求 ， 那么這個(gè)正方 體是 ( ) 圖 30 圖 31 13 2014門(mén)頭溝二模 如 圖 32， 把此圖形折疊起來(lái) ， 它會(huì)變?yōu)?圖 33 中的哪個(gè)立體圖形 ( ) 圖 32 圖 33 14 2012密云一模 在正方體的表面上畫(huà)有如 圖 34 中所示的粗線 ， 圖 是其展開(kāi)圖的示意圖 ， 但只在 A 面上畫(huà)有粗線 ， 那么將圖 中剩余兩個(gè)面中的粗線畫(huà)入圖 中 ，畫(huà)法正確的是 ( ) 圖 34 圖 35 15 2013西城二模 如 圖 36， 點(diǎn) A， B， C 是正方體三條相鄰的棱的中點(diǎn) ， 沿著A， B， C 三點(diǎn)所在的平面將該正方體的一個(gè)角切掉 ， 然后將其展開(kāi) ， 其展開(kāi)圖可能是 ( ) 圖 36 圖 37 參考答案 北京真題體驗(yàn) 解析 A 項(xiàng) ， 從 A 點(diǎn)到 O 點(diǎn) y 隨 x 增大一直減小 ， 故 A 不符合題意； B 項(xiàng) ， 從 B 點(diǎn)到 A 點(diǎn) y 隨 x 增大先減小再增大 ， 從 A 到 C 點(diǎn) y 隨 x 的增大先減小再增大 ， 在 A 點(diǎn) y 最大 ， 故 B 不符合題意； C 項(xiàng) ， 從 B 點(diǎn)到 O 點(diǎn) y 隨 x 增大先減小再增大 ， 從 O 點(diǎn)到 C 點(diǎn) y 隨 x 的增大先減小再增大 ， 在 B， C 點(diǎn) y 最大 ， 故 C 符合題意； D 項(xiàng) ， 從 C 點(diǎn)到 M 點(diǎn) y 隨 x 的增大而減 小 ， 一直到 y 為 0， 從 M 點(diǎn)到 B 點(diǎn) y 隨 x 的增大而增大 ， 明顯與圖象不符 ， 故 D 不符合題 意 2 A 解析 根據(jù)等邊三角形、菱形、正方形、圓的性質(zhì) ， 分析得到 y 隨 x 的增大而的變化的關(guān)系 ， 然后選擇答案即可 A 項(xiàng) ， 等邊三角形 ， 點(diǎn) P 在開(kāi)始與結(jié)束的兩邊上勻速變化 ， 在點(diǎn) A 的對(duì)邊上時(shí) ， y 先變速減小 ， 再變速增加 ， 符合題中圖象； B 項(xiàng) ， 菱形 ， 點(diǎn) P 在開(kāi)始與結(jié)束的兩邊上勻速變化 ， 在另兩邊上時(shí) ， y 都是先變速減小 ，再變速增加 ， 題中圖象不符合； C 項(xiàng) ， 正方形 ， 點(diǎn) P 在開(kāi)始與結(jié)束的兩邊上勻速變化 ， 在另兩邊上 ， y 先變速增加至點(diǎn)P 到 A 的對(duì)角 頂點(diǎn) ， 再變速減小至另一個(gè)頂點(diǎn) ， 題干圖象不符合； D 項(xiàng) ， 圓 ， 長(zhǎng)度 ， 先變速增加至 直徑 ， 然后再變速減小至點(diǎn) P 回到 A 時(shí)為0， 題中圖象不符合 3 A 解析 作 根據(jù)垂徑定理得 1212x， 再根據(jù)勾股定理可計(jì)算出12 4 然后根據(jù)三角形面積公式得到 y 14x 4 x 2)， 再根據(jù)解析式對(duì)四個(gè)圖形進(jìn)行判斷 4 D 解析 分別假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn) M， N， P， Q， 然后結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷 利用排除法即可得出答案 A 項(xiàng) ， 假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn) M， 則從 A 至 B 這段時(shí)間 ， y 不隨時(shí)間的變化改變 ， 與函數(shù)圖象不符 ， 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B 項(xiàng) ， 假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn) N， 則從 A 到 C 這段時(shí)間 ， A 點(diǎn)與 C 點(diǎn)對(duì)應(yīng) y 的大小應(yīng)該相同 ， 與函數(shù)圖象不符 ， 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C 項(xiàng) ， 假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn) P， 則由函數(shù)圖象可 得 ， 從 A 到 C 的過(guò)程中 ， 會(huì)有一個(gè)時(shí)刻 ，教練到小翔的距離等于經(jīng)過(guò) 30 秒時(shí)教練到小翔的距離 ， 而點(diǎn) P 不符合這個(gè)條件 ， 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D 項(xiàng) ， 經(jīng)判斷點(diǎn) Q 符合函數(shù)圖象 ， 故本選項(xiàng)正確 故選 D. 5 B 解析 本題需先根據(jù)題意 ， 求出 長(zhǎng) ， 再分別計(jì)算出當(dāng) x 0 和 x 2時(shí) y 的值 ， 即可求得 y 與 x 的函數(shù)圖象 90 ， 30 ， 2， 1， 3， 當(dāng) x 0 時(shí) ， y 的值是 3， 當(dāng) x 1 時(shí) ， y 的值是 2 33 ， 當(dāng) x 2 時(shí) 垂線與 行 ， 雖然 x 不能取到 2， 但 y 應(yīng)該是無(wú)窮大 ， y 與 x 的函數(shù)關(guān)系圖象大致是 B. 6 B 北京專題訓(xùn)練 一、動(dòng)點(diǎn)生成函數(shù)圖象 1 D 解析 先分析 增減情況 ， 再確定 大的過(guò)程用的時(shí)間要大于 小的過(guò)程用的時(shí)間即可得到答案 蜜蜂按照箭頭所示的方向沿 P A B P C D P 的路徑勻速飛行 ， 度數(shù)是由 0 先增大再減小到 0 再增大再減小到 0 ， 當(dāng)直線 圓相切時(shí) 大 ， 角度增大的過(guò)程中蜜蜂所經(jīng)過(guò)的路程圓的優(yōu)弧長(zhǎng)大于角度減小的過(guò)程中蜜蜂所經(jīng)過(guò)的路程 ， 蜜蜂按照著箭頭所示的方向沿 P A B P C D P 的路徑勻速飛行 ， 大的過(guò)程用的時(shí)間要大于 小的過(guò)程用的時(shí)間 2 B 3 C 解析 如圖 ， 當(dāng) 圓 O 相切時(shí) ， 四邊形 正方形 ， 6， 6 2， 當(dāng)點(diǎn) P 在圓 O 上運(yùn)動(dòng)時(shí) ， y 與 x 之間的關(guān)系既不是一次函數(shù)也不是二次函數(shù) ， 并且在 x 6 2時(shí) ， 函數(shù)取得最大值 6， 因?yàn)?6 6 2 12， 故選 C. 4 D 解析 解法一：應(yīng)用特殊元素法和排除法求解 當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) O 重合時(shí) ， x 0， y 選項(xiàng)； 當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) O 重合時(shí) ， y 選項(xiàng)； 當(dāng) x 2， 即 x 軸時(shí) ， 2， 即 y 選項(xiàng) 故選 D. 解法二：常規(guī)解法 ， 如圖 ， 設(shè) Q(0， q) 90 ， 又 若 x 2， 則 23 3 2， 化簡(jiǎn)可得 ， q 13 2 S 12(2 x) 3 12(3 q) 2 12x q， S 12 y， 則 12(2 x) 3 12(3 q) 2 12x q 12 y， 整理 ， 得 y (3 q)x 2q， 則 y 9452x 1699 28x 263 ， 所以 y 13（ 4x 13） 2(4x 13)， y 213 4x 13 2 1313 （ x 2） 2 9， 當(dāng) x 2 時(shí) ， y 有最小值 若 0 x 2， 則 23 q 32 x， 化簡(jiǎn)可得 ， q 13 2 同理： y 213 4x 13 2 1313 （ x 2） 2 9， 則在 0 x 2 范圍內(nèi) ， y 隨 x 增大而減小 綜上所述 ， 只有 D 選項(xiàng)符合題意 故選 D. 5 D 解析 如圖 ， 作 點(diǎn) M， 點(diǎn) E 是矩形 邊 中點(diǎn) ， 點(diǎn) M 是 中點(diǎn) ， 設(shè) a， 2b， 則 b， a， O 的直徑 ， 90 . x， 2b x， BF CFa（ 2b x） 2 定值 ， 2 故選 D. 二、由函數(shù)圖象判斷運(yùn)動(dòng)情況 6 B 解析 由圖象可知 ， 水面高度先不變 ， 再下降 ， 又不變 ， 后以固定速度下降 ， 由結(jié)尾可知 A， C 錯(cuò)誤 ， 由中間不變可知 ， D 錯(cuò)誤 故選 B. 7 D 解析 由函數(shù)圖象的變化趨勢(shì) ， 得路程變遠(yuǎn) ， 路程不變 ， 路程變近 ， 故 D 符合題意 故選 D. 8 D 解析 由圖可知 ， A 項(xiàng) ， 甲蟲(chóng)與點(diǎn) M 的距離選逐漸增大 ， 至點(diǎn) B 時(shí)最大 ， 然后逐漸變小再變大 ， 與圖 不符合； B 項(xiàng) ， 甲蟲(chóng)與點(diǎn) N 的距離從 A 到 O 逐漸變小 ， 從 O 到 B 逐漸變大 ， 從 B 到 半圓的交點(diǎn)逐漸變小 ， 然后至點(diǎn) A 逐漸變大 ， 且甲蟲(chóng)在點(diǎn) A， B 與點(diǎn) N 的距離相等 ， 與圖 不符合 C 項(xiàng) ， 甲蟲(chóng)與點(diǎn) P 的距離從點(diǎn) A 至點(diǎn) B 減小 ， 從點(diǎn) B 至 半圓的交點(diǎn)減小 ， 然后增大直至到點(diǎn) A， 與圖 不符合； D 項(xiàng) ， 甲蟲(chóng)與點(diǎn) Q 的距離 ， 從點(diǎn) A 到點(diǎn) Q 與 垂線的垂足減小 ， 再至點(diǎn) B 增大 ，從點(diǎn) B 到 半圓 的交點(diǎn)減小 ， 然后至點(diǎn) A 一直增大 ， 與圖 符合 故選 D. 9 B 解析 A 選項(xiàng) ， 線段 長(zhǎng)度隨著