課后強化訓練 41 探索型問題 基礎(chǔ)訓練 1 填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律 ， 根據(jù)此規(guī)律 ， m 的值是 (D) ,(第 1 題圖 ) A. 38 B. 52 C. 66 D. 74 解： 除右下方格外 ， 其余三個方格中數(shù) 字的排列規(guī)律比較明顯：左上方格中數(shù)字是 0， 2， 4， 6；左下方格中的數(shù)字應是 2， 4， 6， 8；右上方格中的數(shù)字應是 4， 6， 8， 個正方形中四個數(shù)字間的關(guān)系可知 ， 6 m 8 10， m 74. 2 如圖 ， 在 平面直角坐標系中 ， 頂點 A 在 x 軸的正半軸上 ， 頂點 B 的坐標為 (3， 3)， 點C 的坐標為 12， 0 ， 點 P 為斜邊 的一動點 ， 則 B) (第 2 題圖 ) A. 132 B. 312 192 D 2 7 (第 3 題圖 ) 3 如圖 ， 在一張 片中 ， C 90， B 60， 中位線 ， 現(xiàn)把紙片沿中位線 開 ，計劃拼出以下四個圖形： 鄰邊不等的矩形； 等腰梯形； 有一個角為銳角的菱形； 正方形 那么以上圖形一定能被拼成的個數(shù)為 (C) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 將該三角形剪成兩部分 ， 拼圖使得 直角梯形 同的邊重合 ， 即可解題 (1)使得 合 ， 即可構(gòu)成鄰邊不等的矩形 ， 如解圖 ； ,(第 3 題圖解 ) (2)使得 合 ， 即可構(gòu)成等腰梯形 ， 如解圖 ； (3)使得 合 ， 即可構(gòu)成有一個角為銳角的菱形 ， 如解圖 . 故選 C. 4 如圖是用長度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案 ， 第 1 個圖案中有 6 根小棒 ， 第 2 個圖案中有 11 根小棒 ， ， 則第 n 個圖案中有 _5n 1 根小棒 (第 4 題圖 ) 解： 第 1 個圖中共有 6 根小棒 ， 第 2 個圖中共有 6 5 11 根小棒 ， 第 3 個圖中共有 6 5 5 16(根 )小 棒 ， 第 4 個圖中共有 6 5 5 5 21(根 )小棒 第 n 個圖有 6 5 5 5(n 1) 5n 1 根小棒 故答案為 5n 1. 5 觀察數(shù)表： 根據(jù)表中數(shù)的排列規(guī)律 ， 則 處所表示的數(shù)是 10_ 6 有一組數(shù)： 2， 3， 2， 3， 2， 3， 2， 3， ， 根據(jù)這個規(guī)律 ， 那么第 2016 個數(shù)是 _ 3_ 解： 數(shù)列中 2 和 3 成對 出現(xiàn) ， 又 2016 2 1008， 因此 ， 第 2016 個數(shù)是 3. 故答案為 3. 7 已知正數(shù) a 和 b， 有下列命題： 若 a b 2， 則 1； 若 a b 3， 則 32； 若 a b 6， 則 3. 根據(jù)以上三個命題所提供的規(guī)律猜想：若 a b 9， 則 _92_ 并就此規(guī)律寫出其一般表達式 a 解： 考慮到 1 22； 3 a 8 已知點 P 的坐標為 (m， 0)， 在 x 軸上存在點 Q(不與 P 點重合 )， 以 邊作正方形 使點M 落在反比例函數(shù) y 2 小明對上述問題進行了探究 ， 發(fā)現(xiàn)不論 m 取何值 ， 符合上述條件的正方形只有兩個 ， 且一個 正方形的頂點 M 在第四象限 ， 另一個正方形的頂點 ,(第 8 題圖 ) (1)如圖所示 ， 若反比例函數(shù)表達式為 y 2x， P 點坐標為 (1， 0)， 圖中已畫出一個符合條件的正方形請你在圖中畫出符合條件的另一 個正方形 并寫出點 _( 1，2)_ (2)請你通過改變 P 點坐標 ， 對直線 的表達式 y b 進行探究可得 k _ 1_， 若點 P 的坐標為 (m， 0)時 ， 則 b _ (3)依據(jù) (2)的規(guī)律 ， 如果點 P 的坐標為 (6， 0)， 請你求出點 的坐標 解： (1)如解圖；點 坐標為 ( 1， 2) ,(第 8 題圖解 ) (2)k 1， b m. (3)由 (2)知 ， 直線 的表達式為 y x 6， 則點 M(x， y)滿足 x( x 6) 2. 解得 3 11 ， 3 11， 3 11， 3 11 ， 點 M 的坐標分別為 (3 11， 3 11 )， (3 11， 3 11 ) 9 一節(jié)數(shù)學課后 ， 老師布置了一道課后練習： 如圖 ， 已知在 ， 90 ， 點 O， 點 P， D 分別在 C 上 ，點 E. (第 9 題圖 ) 求證： (1)理清思路 ， 完成解答： 本題證明的思路可以用下 列框圖表示： 根據(jù)上述思路 ， 請你完整地書寫本題的證明過程 (2)特殊位置 ， 證明結(jié)論： 若 分 其余條件不變 求證： (3)知識遷移 ， 探索新知： 若點 P 是一個動點 ， 當點 P 運動到 中點 P時 ， 滿足題中條件的點 D 也隨之在直線 運動到點 D， 請直接 寫出 數(shù)量關(guān)系 (不必寫解答過程 ) 解： (1)證明： 2. 90 ， C 45 . 點 O， 1 45 . 1 C 45 . 3 1， 4 2 C， 3 4. 又 90 . 在 ， 3 4， P (2)由 (1)可得 3 4， 分 3. 4. 又 A C， (3) 數(shù)量關(guān)系是： 23 . 拓展提高 10 將自然數(shù)按以下規(guī)律排列 ， 則 2008 所在的位置是第 _18_行第 _45_列 . 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 9 10 第二行 4 3 8 11 第三行 5 6 7 12 第四行 16 15 14 13 第五行 17 解： 觀察表格可得：奇數(shù)的平方數(shù)都在第一行 ， 偶數(shù)的平方數(shù)都在第一列；由于 2008 452 17， 因此 ， 2008 在第 18 行 ， 第 45 列 故答案為 18， 45. 11 在由 m n(m n 1)個小正方形組成的矩形網(wǎng)格中 ， 研究它的一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)f， (1)當 m， n 互質(zhì) (m， n 除 1 外無其他公因數(shù) )時 ， 觀察下列圖形并完成下表： ,(第 11 題圖 ) m n m n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 3 4 7 猜想：當 m， n 互質(zhì)時 ， 在 m n 的矩形網(wǎng)格中 ， 一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù) f 與 m， n 的關(guān)系式是 _f m n 1_(不需要證明 ) (2)當 m， n 不互質(zhì)時 ， 請畫圖驗證你猜想的關(guān)系式是否依然成立 解： (1)通過題中所給網(wǎng)格圖形 ， 先計算出 2 5， 3 4 網(wǎng)格的對角線所穿過的小正方形個數(shù) f， 再對照表中數(shù)值歸納 f 與 m， n 的關(guān)系式 (2)根據(jù)題意 ， 畫出當 m， n 不互質(zhì)時 ， 結(jié)論不成立的反例即可 ， 如 2 4. 12 已知在矩形 ， a， b， 動點 M 從點 A 出發(fā)沿邊 點 D 運動 (第 12 題圖 ) (1)如圖 ， 當 b 2a， 點 M 運動到邊 請證明 90 . (2)如圖 ， 當 b 2a 時 ， 點 M 在運動的過程中 ， 是否存在 90 ？若存在 ， 請證明；若不存在 ， 請說明理由 (3)如圖 ， 當 b 2a 時 ， (2)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由 解： (1)證明： b 2a， 點 M 是 中點 ， a. 又 在矩形 ， A D 90 ， 45 ， 90 . (2)存在 理由如下： 若 90 ， 則 90 . 又 90 ， 又 A D 90 ， 設(shè) x， 則 x， 整理 ， 得 0. b 2a， a 0， b 0， 40. 方程有兩個不相等的實數(shù)根 ， 且兩根均大于零 ， 符合題意 當 b 2a 時 ， 存在 90 . (3)不成立 理由如下： 若 90 ， 由 (2)可知 0， b 2a， a 0， b 0， 40. 方程沒有實數(shù)根 當 b 2a 時 ， 不存在 90 ， 即 (2)中的結(jié)論不成立 13 如圖 ， 拋物線 y c(a0)的頂 點為 M， 直線 y m與 x 軸平行 ， 且與拋物線交于點 A，B， 若三角形 等腰直角三角形 ， 我們把拋物線上 A， B 兩點之間的部分與線段 成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶形 (如圖 )， 線段 為碟寬 ， 頂點 M 稱為碟頂 ， 點 M 到線段 距離 稱為碟高 (第 13 題圖 ) (1)拋物線 y 12_；拋物線 y 4_；拋物線 y a0)對應的碟寬為 _；拋物線 y a(x 2)2 3(a0)對應的碟寬 _ (2)若拋物線 y 453(a0)對應的碟寬為 6， 且在 x 軸上 ， 求 a 的值 (3)將拋物線 cn()的對應準蝶形 記為 Fn(n 1， 2， 3， )， 定義 ， 相似準蝶形 ， 相應的碟寬之比即為相似比 若 n 1的相似比為 12， 且 n 1的碟寬的中點 ，現(xiàn)在將 (2)中求得的拋物線記為 其對應的準蝶形記為 求拋物線 若 ， 則 _， _； ， 是 ， 直接寫出該直線的表達式；若不是 ，請說明理由 解： (1)4； 12； 2a； 2a. (第 13 題圖解 ) a 0， y 圖象大致如解圖 ， 其必經(jīng)過原點 O. 記線段 其準蝶形碟寬 ， y 軸的交點為 C， 連結(jié) 等腰直角三角形 ， x 軸 ， 12 12 90 45 ， 即 為等腰直角三角形 ， 即 A， B 兩點 x 軸和 y 軸坐標絕 對值相同 代入 y 得方程 x 解得 x 1a. 由圖象可知 ， 點 A 1a， 1a ， B 1a， 1a ， C 0， 1a ， 即 1a， 1a 1a 2a， 即 y 碟寬為 2a. 拋物線 y 12應的 a 12， 得碟寬 2a 4； 拋物線 y 4應的 a 4， 得碟寬 2a 12； 拋物線 y a 0)的 碟寬為 2a； 拋物線 y a(x 2)2 3(a 0)可看成 y 個單位長度 ， 再向上平移 3 個單位長度后得到的圖形 ， 平移不改變形狀、大小、方向 ， 拋物線 y a(x 2)2 3(a 0)的準碟形 拋物線 y 拋物線 y a 0)的碟寬為 2a， 拋物線 y a(x 2)2 3(a 0)的碟寬為 2a. (2) y 453 a(x 2)2 (4a 53)， 同 (1)得其碟寬為 2a. y 453的碟寬為 6， 2a 6， 解得 a 13. y 13(x 2)2 3. (3) 碟寬 碟寬 2 1， 222 1. 13， 23. 13(x 2)2 3 的碟寬 x 軸上 (點 A 在點 B 左邊 )， 點 A( 1， 0)， B(5， 0)， 2， 0)， 23(x 2)2. 準碟形為等腰直角三角形 ， 碟寬為 2 21 12， 121 1222 1233 12n 1 3， 12n 1 3. 1， 且都過 1的碟寬中點 ， ， 1， 線 x 2 上 ， 1， x 2 上 ， 12n 1 3. ， 碟寬右端點是在一條直線上 ， 該直線的表達為 y x 5. 14 如圖 是兩個相似比為 1 2的等腰直角三角形 ， 將兩個三角形如圖 放置 ， 小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合 (1)在圖 中 ， 繞點 D 旋轉(zhuǎn)小直角三角形 ， 使兩直角邊分別與 于點 E， F， 如圖 . 求證： (2)若在圖 中 ， 繞點 C 旋轉(zhuǎn)小直角三角形 ， 使它的斜邊和 長線分別與 于點 E， F， 如圖 ， 此時結(jié)論 成立 ， 請給出證明；若不成立 ， 請說明理由 (3)如圖 ， 在正方形 ， E， F 分別 是邊 的點 ， 滿足 周長等于正方形 別與對角線 于 M， N， 試問線段 否構(gòu)成三角形的三邊長？若能 ， 指出三角形的形狀 ， 并給出證明；若不能 ， 請說明理由 ,(第 14 題圖 ) 解： (1) 在解圖 中 ， 由于 將 點 D