難點(diǎn) 7 奇偶性與單調(diào)性 (一 ) 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣 調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識(shí)單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象 . 難點(diǎn)磁場(chǎng) ( )設(shè) a0,f(x)=是 R 上的偶函數(shù)， (1)求 a 的值； (2)證明： f(x)在 (0， + )上是增函數(shù) . 案例探究 例 1已知函數(shù) f(x)在 ( 1， 1)上有定義， f(21)= 1,當(dāng)且僅當(dāng) 00,1 ，12121 xx 0, 又 ( (1 (1)()32a+ 01). (1)證明：函數(shù) f(x)在 ( 1， + )上為增函數(shù) . (2)用反證法 證明方程 f(x)=0 沒有負(fù)數(shù)根 . 6.( )求證函數(shù) f(x)=223)1( x 1， + )上是減函數(shù) . 7.( )設(shè)函數(shù) f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿足： (i)f()()( 1)()( 12 21 ； (在正常數(shù) a 使 f(a)= (1)f(x)是奇函數(shù) . (2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是 4a. 8.( )已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R，且對(duì) m、 n R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且 f(21)=0,當(dāng) x21時(shí)， f(x)0. (1)求證： f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)； (2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證 . 參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng) (1)解：依題意，對(duì)一切 x R,有 f(x)=f( x),即+ (a(ex a,即 ,又 a0, a=1 (2)證法一：設(shè) 0 f( f( )11)(1121122121 )1( 由 ,x2 112 0,1 e 21 0, f( f( 0,即 f( f( f(x)在 (0,+ )上是增函數(shù) 證法二：由 f(x)=ex+e x，得 f (x)=e x=e x (1).當(dāng) x (0,+ )時(shí)， e x0,10. 此時(shí) f (x)0,所以 f(x)在 0， + )上是增函數(shù) . 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、 f( x)=)0( )()0( )()0( )0( 2222= f(x)，故 f(x)為奇函數(shù) . 答案： C f( x)= f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 . 答案： C 二、 t=|x+1|,則 t 在 ( , 1 上遞減，又 y=f(x)在 R 上單調(diào)遞增， y=f(|x+1|)在 ( , 1 上遞減 . 答案： ( , 1 f(0)=f(f(0, f(0)=d=0.f(x)=ax(x x a(x1+x2)x2+ b= a(x1+又 f(x)在 ) 單調(diào)遞增，故 a x,得 x1+, b= a(x1+ 0. 答案： ( ,0） 三、 ： (1）設(shè) 1 + ,則 , 12 1 且 10, )1( 12112 0,又 0,0 )1)(1( )(3)1)(1( )1)(2()1)(2(1212 21 1221 21121122 xx , 于是 f( f( 12 xx +1212 1122 f(x)在 ( 1， +）上為遞增函數(shù) . (2）證法一：設(shè)存在 0( 1)滿足 f(0,則12000 0 1 得 01200 1,即21 2 與 0 矛盾，故 f(x)=0 沒有負(fù)數(shù)根 . 證法二：設(shè)存在 0( 1)使 f(0,若 1 0,則1200 2, 0 1, f( 1 與 f(0 矛盾， 若 1,則1200 , 00， f(0 與 f(0 矛盾，故方程 f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根 . x 0, f(x)=22422322 )11(1)1(1)1(1, 設(shè) 1 + ,則01111,111 21222122 2211222222112222)11(1)11(1()11( f(f( f(x)在 (1， +）上是減函數(shù) .(本題也可用求導(dǎo)方法解決） (1）不 妨令 x= f( x)=f()()( 1)()()()( 1)()( 12 2121 12 = f( f(x). f(x)是奇函數(shù) . (2）要證 f(x+4a)=f(x),可先計(jì)算 f(x+a),f(x+2a). f(x+a)=f x ( a) =)1)(1)( 1)()()( 1)()()()( 1)()( ).(111)( 1)(11)( 1)(1)(1)()()2( f(x+4a)=f (x+2a)+2a =)2( 1 =f(x),故 f(x)是以 4a 為周期的周期函數(shù) . 8.