2016 年福州市 普通 高中畢業(yè)班 綜合 質(zhì)量檢 測(cè) 理科數(shù)學(xué)能力測(cè)試 （完卷時(shí)間： 120 分鐘；滿分： 150 分） 本試卷分第卷和第卷兩部分第卷 1 至 2 頁(yè)，第卷 3 至 4 頁(yè)，滿分 150 分 考生注意： 1. 答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致 2. 第卷每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)第卷用 米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答若在試題卷上作答，答案無(wú)效 3. 考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回 第 卷 一、 選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1、 已知全集為 R，集合 1,1, 2, 4M , 2 | 2 3N x x x ，則 ()I （ A） 1,1,2 （ B） 1,2 （ C） 4 （ D） 12剟 2、 復(fù)數(shù) z 滿足 (1 i) | 1 i |z ，則復(fù)數(shù) （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 3、 函數(shù) ( ) s )f x A x （ 0A ）在 3x處取得最小值， 則 （ A） ()3奇函數(shù) （ B） ()3偶函數(shù) （ C） ()3奇函數(shù) （ D） ()3偶函數(shù) 4、 在 中， 5C 4C則 （ A） 9 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 5、 已知某工程在很大程度上受當(dāng)?shù)啬杲邓康挠绊?，施工期間的年降水量 X（單位： 工期延誤天數(shù) Y 的影響及相應(yīng)的概率 P 如下表所示： 在降水量 X 至少是 100 的條件下，工期延誤不超過(guò) 15天的概率 為 （ A） （ B） （ C） （ D） 6、 若 , 0 ,2 0 ,2 2 0 , 且 目標(biāo)函數(shù) z ax y取得最大值的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，則 z 的最小值等于 降水量 X 100X 100 200X 200 300X 300X 工期延誤天數(shù) Y 0 5 15 30 概率 P （ A） 2 （ B） 32（ C） 12（ D） 127、 執(zhí)行右面的程序框圖， 若 輸入 n 值為 4，則輸出的結(jié)果 為 （ A） 8 （ B） 21 （ C） 34 （ D） 55 8、 512的展開(kāi)式中， 2x 的系數(shù)為 （ A） 45 （ B） 60 （ C） 90 （ D） 120 9、 正項(xiàng)等比數(shù)列 a,2 6 3 5a a a a128，則下列結(jié)論正確的是 （ A） n*N ，12n n na a a（ B ） n*N ，212n n na a a（ C） n*N ，1（ D） n*N ，3 1 2n n n na a a a 10、 雙曲線 22: 1 ( 0 , 0 )a 的左 、 右焦點(diǎn)分別為1F,2F， P 是 1 2 F，直線2 2 2x y a相切，則 E 的離心率為 （ A） 54（ B） 3 （ C） 53（ D） 23311、 一個(gè) 三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積等于 （ A） 2 （ B） 423（ C） 433（ D） 3 12、 設(shè) mR ，函數(shù) 2 2 2( ) ( ) ( e 2 )xf x x m m 若存在0()5立，則 m （ A） 15（ B） 25（ C） 35（ D） 45第 卷 本卷包括必考題和選考題兩部分第（ 13）題 第（ 21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答第（ 22）題 第（ 24）題為選考題，考生根據(jù)要求做答 二、填空題：本大題 4小題，每小題 5分，共 20分把答案填在答題卡相應(yīng)位置 13、 知函數(shù) 1 , 0 2 ,() 1 , 2 0 x 剟若 , 2 , 2g x f x a x x 為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 14、 所有棱長(zhǎng)均為 2 的 正四棱錐的 外接球的 表面積等于 正視圖 側(cè)視圖俯視圖212215、 拋物線 2:4C y x 的準(zhǔn)線與 x 軸交于點(diǎn) M ，過(guò)焦點(diǎn) F 作傾斜角為 60 的直線與 C 交于 , = 16、 數(shù)列 n 項(xiàng)和 為知1 2a,1 ( 1) 2 n ，則100S _ 三、 解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17、 （本小題滿分 12 分） 的內(nèi) 角 A ,B ,C 所對(duì)的邊分別為 ,知 1 （ ）求 A ； （ ） 若 上的中線 22，高線 3，求 的面積 18、 （本小題滿分 12 分） 為 了 研究某學(xué)科成績(jī)是否與 學(xué)生 性別有關(guān)，采用分層抽樣的方法，從高三年級(jí)抽取了 30 名男生和20 名女生的該學(xué)科 成績(jī)，得到如下所示男生成績(jī)的 頻率 分布直方圖和女生成績(jī)的莖葉圖 ， 規(guī)定 80分以上為優(yōu)分 (含 80 分 ) （ ）（ i） 請(qǐng) 根據(jù) 圖示 ， 將 2 2 列聯(lián)表補(bǔ)充完整； （ 此列聯(lián)表判斷，能 否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò) 10%的前提下認(rèn)為 “該學(xué) 科成績(jī)與性別有關(guān) ”？ （ ） 將 頻率視作概率 ， 從高三年級(jí)該學(xué)科成績(jī)中任意抽取 3 名學(xué)生的成績(jī) ，求至少 2 名學(xué)生的成績(jī)?yōu)閮?yōu)分的概率 附 ： )()()()( 22 19、 （本小題滿分 12 分） 如圖所示，四棱錐 P 的底面是梯形，且 /D , 平面 E 是 點(diǎn)，12C D P D A D A B （ ）求證： 平面 （ ）若 3， 4，求 直線 平面 成角的大小 20、 （本小題滿分 12 分） 優(yōu)分 非優(yōu)分 總計(jì) 男生 女生 總計(jì) 50 2P K k k D 面 直角坐標(biāo)系 ，已知點(diǎn) , 2, 0 , 2, 0 直線 ,交于點(diǎn) P ，且它們的斜率之積是 14記 點(diǎn) P 的軌跡 為 （ ）求 的方程； （ ）已知直線 ,別交直線 :4于點(diǎn) ,跡 在 點(diǎn) P 處的切線與線段 于點(diǎn) Q ，求 21、 （本小題滿分 12 分） 已知 aR ，函數(shù) 1( ) e xf x 的 圖象與 x 軸相切 （ ）求 ()單調(diào)區(qū)間； （ ）當(dāng) 1x 時(shí)， ( ) ( 1) x m x x，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 請(qǐng)考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三題中任選一題做答 ，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào) 22、 （本小題滿分 10 分）選修 4何證明選講 如圖所示， 內(nèi)接于圓 O， D 是 中點(diǎn) ， 平分線分別交 于點(diǎn) E ,F （ ）求證： 外接圓的切線 ； （ ） 若 3, 2， 求 22A 的值 23、 （本小題滿分 10 分） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系 ，曲線1 2 c o s ,2 （ 為參數(shù)）以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸，并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系 （ ）寫(xiě)出1 （ ）設(shè)曲線 222 :14經(jīng)伸縮變換 1 ,2后得到曲線3C， 射線 3（ 0 ） 分別與1 ,B 兩點(diǎn)，求 | 24、 （本小題滿分 10 分） 選修 4等式選講 已知不等式 | 3 | 2 1 的解集為 | x x m （ ）求 m 的值 ； （ ）設(shè) 關(guān)于 x 的方程 1| | | |x t x （ 0t ）有解， 求實(shí)數(shù) t 的值 2016 年福州市 普通 高中畢業(yè)班 綜合 質(zhì)量檢 測(cè) 評(píng)分說(shuō)明： 1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則 2對(duì)計(jì) 算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù) 4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題和填空題不給中間分 一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算每小題 5分，滿分 60分 （ 1） A （ 2） D （ 3） B （ 4） B （ 5） D （ 6） C （ 7） C （ 8） D （ 9） C （ 10） C （ 11） A （ 12） B 二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算每小題 5分，滿分 20分 （ 13） 12（ 14） 8 （ 15） 43 （ 16） 198 三、解答題：本大題共 6小題，共 70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 （ 17）本小題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等滿分 12 分 解：（ ）因?yàn)?1，所以 s i n c o s 2 s i i n c o s s i B， 2 分 即 s i n ( ) 2 s i ns i n c o s s i B ， 因?yàn)?s i n ( ) s i n 0A B C ， B ， 所以 1 4 分 又因?yàn)?(0,)A ， 所以 3A 5 分 （）由 M 是 點(diǎn) ， 得 1 ()2A M A B A C 即 2 2 21 ( 2 )4A M A B A C A B A C u u u ur u u ur u u ur u u ur u u 所以 22 32c b ， 7 分 由 11 s i H B C A B A C A ， 得 3 32 bc a，即 2bc a ， 9 分 又根據(jù)余弦定理，有 2 2 2a b c ， 10 分 聯(lián)立 ，得2( ) 3 2 22bc ， 解得 8 所以 面積 1 s i n 2 32S b c A 12 分 （ 18） 本小題主要考查 頻率 分布直方圖 、 莖葉圖 、 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 、 獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)，考查必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想 滿分 12 分 解：（ ） 根據(jù) 圖示 ， 將 2 2 列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下 ： 2 分 假設(shè)0H：該學(xué)科成績(jī)與性別無(wú)關(guān)， 2K 的觀測(cè)值 22( ) 5 0 ( 9 9 1 1 2 1 ) 3 . 1 2 5( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 3 0 2 0 3 0n a d b ck a b c d a c b d ， 因?yàn)?，所以 能 在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò) 10%的前提下認(rèn)為該學(xué)科成績(jī)與性別有關(guān) 6 分 （ ）由于有較大的把握 認(rèn)為該學(xué)科成績(jī)與性別有關(guān) ， 因此需要將男女生成績(jī)的優(yōu)分頻率20 視作概率 7 分 設(shè) 從高三年級(jí)中任意抽取 3 名學(xué)生的該學(xué)科成績(jī)中，優(yōu)分人數(shù)為 X ， 則 X 服從二項(xiàng)分布(3, ， 9 分 所求概率 2 2 3 333( 2 ) ( 3 ) 0 . 4 0 . 6 0 . 4 0 . 3 5 2P P X P X C C 12 分 （ 19）本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等滿分 12 分 （ ）證 明 ： 取 中點(diǎn) F ，連結(jié) ,如圖所示 因?yàn)?D ，所以 P 1 分 因?yàn)?平面 平面 所以 F 又因?yàn)?B AI ， 所以 平面 3 分 因?yàn)辄c(diǎn) E 是 點(diǎn) ， 所以 /B ，且2 4 分 又因?yàn)?/D ，且2 所以 /D ，且 D ， 所以四 邊形 平行四邊形， 所以 /F ，所以 平面 6 分 （ ）解 ：設(shè)點(diǎn) O， G 分別為 結(jié) 則 /B ， 因?yàn)?平面 平面 所以 D ，所以 D 7 分 因?yàn)?3，由 （ ） 知， 3, 又因?yàn)?4，所以 2， 所以 2 2 22 2 2 2 3 2 ,A P A F A D D F 所以 為正三角形，所以 D ， 因?yàn)?平面 平面 所以 O 又因?yàn)?B AI ，所以 平面 8 分 故 ,G 兩垂直 ，可以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，分別以 ,G 方向?yàn)?,的正方向，優(yōu)分 非優(yōu)分 總計(jì) 男生 9 21 30 女生 11 9 20 總計(jì) 20 30 50 建立空間直角坐標(biāo)系 O ，如圖所示 (0,0, 3)P ， ( 1 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 )， 13( , 2, )22E ， 所以 ( 1, 0 , 3 ) ( 1, 2 , 3 ) 33( , 0 , )22 9 分 設(shè)平面 法向量 ( , , )x y zn ， 則 0,0, 0 ,2 3 0 ,y z 取 1z ，則 ( 3, 0,1)n ， 10 分 設(shè) 平面 成的角為 ， 則 31s i n | c o s , | | |232 nu u 11 分 因?yàn)?0, 2，所以 6， 所以 平面 成角的大小為 6 12 分 （ 20）本小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想等滿分 12 分 解法一： （）設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ,則 直線 斜率2AP yk x （ 2x ）； 直線 斜率2BP yk x （ 2x ） 2 分 由已知有 12 2 4 （ 2x ）， 3 分 化簡(jiǎn)得點(diǎn) P 的軌跡 的方程為 22 14x y（ 2x ） 4 分 （注：沒(méi)寫(xiě) 2x 或 2x 扣 1 分） （）設(shè) 00,P x y（0 2x ），則 220 0 14x y 5 分 直線 方程為 0022，令 4x ，得點(diǎn) M 縱坐標(biāo)為006 2x ； 6 分 直線 方程為 0022，令 4x ，得點(diǎn) N 縱坐標(biāo)為002 2x ； 7 分 設(shè)在點(diǎn) P 處的切線方程為 00y y k x x ， 由 0022 ,4 4 ,y k x x 得 2220 0 0 01 4 8 4 4 0k x k y k x x y k x 8 分 由 0 ，得 22220 0 0 06 4 1 6 1 4 1 0k y k x k y k x ， 整理得 2 2 2 20 0 0 02 1 4y k x y k x k 將 22 2 200 0 01 , 4 14xy x y 代入上 式并整理得 200202，解得004xk y ， 9 分 所以切線方程為 00004xy y x 令 4x 得，點(diǎn) Q 縱坐標(biāo)為 220 0 00 0 0 000 0 0 04 4 14 4 14 4 4Qx x xy x x y y y 10 分 設(shè) N， 所以 Q M N Qy y y y ， 所以0 0 0 00 0 0 01 6 2 122x y y xy x x y 11 分 所以 220 0 0 0 0 00 0 0 01 2 6 2 1 222x x y y x xy x y x 將 22 00 1 4代入上式，002 + ( 2 + )22 ， 解得 1 ，即1 12 分 解法二：（）同解法一 （）設(shè) 00,P x y（0 2x ），則 220 0 14x y 5 分 直線 方程為 0022，令 4x ，得點(diǎn) M 縱坐標(biāo)為006 2x ； 6 分 直線 方程為 0022，令 4x ，得點(diǎn) N 縱坐標(biāo)為002 2x ； 7 分 設(shè)在點(diǎn) P 處的切線方程為 00y y k x x ， 由 0022 ,4 4 ,y k x x 得 2220 0 0 01 4 8 4 4 0k x k y k x x y k x 8 分 由 0 ，得 22220 0 0 06 4 1 6 1 4 1 0k y k x k y k x ， 整理 得 2 2 2 20 0 0 02 1 4y k x y k x k 將 22 2 200 0 01 , 4 14xy x y 代入上式并整理得 200202，解得004xk y ， 9 分 所以切線方程為 00004xy y x 令 4x 得，點(diǎn) Q 縱坐標(biāo)為 220 0 00 0 0 000 0 0 04 4 14 4 14 4 4Qx x xy x x y y y 10 分 所以 0 0 0 00 0 0220 0 0 0 08 1 8 16 2 1222 2 4 4M N Qx y x yy y xy y yx x x y y ， 11 分 所以 Q 為線段 中點(diǎn)，即1 12 分 （ 21）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等滿分 12 分 解：（ ） 1e xf x a ，設(shè)切 點(diǎn)為0( ,0)x， 1 分 依題意，00( ) 0,( ) 0, 即 001 01e 0,e 0, 解得0 1,1, 3 分 所以 1 當(dāng) 1x 時(shí)， 0 ；當(dāng) 1x 時(shí)， 0 故 ,1) ，單調(diào)遞增區(qū)間為 (1, ) 5 分 （ ）令 ( ) ( ) ( 1 ) l ng x f x m x x ， 0x 則1 1( ) e ( l n ) 1x xg x m x x ， 令 ( ) ( )h x g x ， 則1 211( ) e ( )xh x m ， 6 分 （ ）若 12m， 因?yàn)楫?dāng) 1x 時(shí) ， 1 ，211( ) 1m ， 所以 ( ) 0 ， 所以 () ()在 (1, ) 上 單調(diào)遞增 又因?yàn)?(1) 0g ， 所以當(dāng) 1x 時(shí) ， ( ) 0 ， 從而 ()1, ) 上 單調(diào)遞增， 而 (1) 0g ，所以 ( ) 0， 即 ( ) ( 1) x m x x成立 9 分 （ ）若 12m， 可得1 211( ) e ( )xh x m 在 (0, ) 上單調(diào)遞增 因?yàn)?(1) 1 2 0 ，211( 1 l n ( 2 ) ) 2 01 l n ( 2 ) 1 l n ( 2 ) h m m m ， 所以存在1 (1,1 2 )， 使得1( ) 0， 且當(dāng)1(1, ) ， ( ) 0 ， 所以 () ()在1(1, )調(diào)遞減， 又因?yàn)?(1) 0g ， 所以當(dāng)1(1, ) ， ( ) 0 ， 從而 (), )調(diào)遞減， 而 (1) 0g ，所以 當(dāng)1(1, ) ， ( ) 0， 即 ( ) ( 1) x m x x不成立 縱上所述 ， k 的取值范圍是 1( , 2 12 分 請(qǐng)考生在第（ 22） ,（ 23） ,（ 24）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào) （ 22） 選修 41 ：幾何證明選講 本小題主要 考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等滿分 10 分 解： （ ） 設(shè) 外接圓的圓心為 O ， 連結(jié) 并延長(zhǎng)交圓 O 于 G 點(diǎn) ， 連結(jié) 則 90 ， 因?yàn)?分 所以 =C ，所以 ， 2 分 所以 1 8 0 9 0F B G F