學(xué)而思教育 學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來(lái) 學(xué)而思教育 小學(xué)二年級(jí) 第四講 幾何圖形認(rèn)知 生活中我們常常碰到簡(jiǎn)單的幾何圖形所表示的指示標(biāo)識(shí)，例如馬路上的各種交通標(biāo)識(shí)，汽車(chē)上不同的車(chē)牌符號(hào)標(biāo)識(shí)，甚至于在天氣預(yù)報(bào)，安全通道等等都有通用的圖形標(biāo)識(shí)。圖形可以很方便地告訴我們要表達(dá)的意思，而且圖形可以跨越語(yǔ)言的界限，在每個(gè)國(guó)家也基本上都大同小異。看下面幾組常見(jiàn)的標(biāo)識(shí)，每一個(gè)都表達(dá)什么意思呢？ 第一組是交通指示標(biāo)識(shí)，依次是：禁止駛?cè)搿⒓佑驼?、限制高?、避車(chē)道、前面有天橋。 挑戰(zhàn)例題 例 1 分析解答 學(xué)而思教育 學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來(lái) 學(xué)而思教育 小學(xué)二年級(jí) A C D E F L J K J M J N J J G H I J 第二組是由簡(jiǎn)單圖形組成的國(guó)旗，依次 是希臘國(guó)旗、以色列國(guó)旗，瑞士國(guó)旗。 第三組是汽車(chē)標(biāo)識(shí)，依次是豐田、奔馳、東風(fēng)、紅旗、長(zhǎng)安。 第四組是天氣預(yù)報(bào)和銀行標(biāo)志，依次是多云、雨轉(zhuǎn)晴、陰天、中國(guó)銀行、中國(guó)工商銀行。 右圖所示的是一塊用來(lái)鋪墻的瓷磚，由于是對(duì)稱(chēng)的，兩塊瓷磚可以自然地拼接起來(lái)。問(wèn)題是：想要構(gòu)成這種瓷磚，至少需要幾種圖形呢？ 盡管看上去無(wú)論如何都至少要有兩種不同大小的黃色正方形才能構(gòu)成，但事實(shí)上用一種就足夠了。這是因?yàn)槲覀兊难劬倳?huì)把簡(jiǎn)單而明顯的東西當(dāng)作圖形，而把剩下的當(dāng)作背景。假如反過(guò)來(lái)，將整個(gè)瓷磚中的黃色看作是背景的話(huà) ，全部的圖案就是由左邊這些紫色的小東西構(gòu)成的。排除掉干擾，你看出來(lái)了嗎？ 在下面的每個(gè)三角形中，畫(huà)出三條高。 這三個(gè)三角形分別是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。我們知道，在三角形中，如果有一個(gè)是直角，就叫做 直角三角形 ；如果有一個(gè)叫是鈍角，叫 鈍角三角形 ；如果三個(gè)角都是銳角，則叫做 銳角三角形 。 三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，還有三條高，所謂 高 ，就是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吽鞯拇咕€(xiàn)。和高對(duì)應(yīng)的邊叫做 底 ，三角形的三條邊都可以當(dāng)作底。 通常我們用大寫(xiě)字母來(lái)標(biāo)記三角形的頂點(diǎn)，例如三角形 可以 直接寫(xiě)作 圖，從 A 點(diǎn)向底邊 垂線(xiàn)，垂足是 D， 做 三角形 同樣地，可以做出其他兩條高 對(duì)于直角三角形 于其中已經(jīng)有一個(gè)直角，即這表示如果從頂點(diǎn) G 向 垂線(xiàn)或從頂點(diǎn) I 向 垂線(xiàn)，垂足都是 H，于是在這里兩條直角邊 別就是兩條高，另外一條高是 J。 在鈍角三角形 ，最長(zhǎng)例 2 分析解答 例 3 分析解答 學(xué)而思教育 學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來(lái) 學(xué)而思教育 小學(xué)二年級(jí) 邊 上的高容易做出，從 M 點(diǎn)向?qū)呉咕€(xiàn) 可。其他兩條比較麻煩，因?yàn)閺?K 點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€(xiàn)，沒(méi)法作到 間去，于是只能延長(zhǎng) 垂線(xiàn) 足是 P，這樣 是 上的高，同樣地可以作出 上的高 作三角形的高是研究幾何的基本功，在以后幾何問(wèn)題的學(xué)習(xí)中非常重要。大家一定要對(duì)三角形的高非常熟悉，要做到無(wú)論在哪個(gè)方向，以哪條邊為底，都能迅速判斷出三角形的高是哪條。 請(qǐng)用直尺分別畫(huà)出一個(gè)正方形、長(zhǎng)方形、菱形、平行四邊形、梯形，再畫(huà)一個(gè)不屬于上面幾類(lèi)的任意四邊形，說(shuō)說(shuō)這幾類(lèi)四邊形的關(guān)系，哪種包含哪種？ 如下圖，這幾種圖形我們都非常熟悉了，但要描述好每個(gè)圖形還確實(shí)不容易。 梯形 是只有一條對(duì)邊平行的四邊形，在梯形中，我們管平行的上下兩 條邊叫 上底 和 下底 。如右圖，在這上下兩底之間，可以作出無(wú)數(shù)條垂線(xiàn)，都是梯形的高。 若四邊形兩組對(duì)邊都平行，則是 平行四邊形 ，它同樣有無(wú)數(shù)條高，但因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊長(zhǎng)度相等，所以不分上下底，統(tǒng)稱(chēng)為 底 。平行四邊形的每條邊都可以做底。 長(zhǎng)方形 也叫 矩形 （讀 是一種特殊的平行四邊形，即四個(gè)內(nèi)角都是直角的平行四邊形，在矩形中，底和高分別被叫做長(zhǎng)和寬。 菱形 也是一種特殊的平行四邊形，即四條邊都相等的平行四邊形。 正方形 是特殊的矩形，也是特殊的菱形。它集合了菱形和矩形的特點(diǎn)，即四個(gè)角都是直角的菱形，或者說(shuō)長(zhǎng)和寬相等的 矩形。在正方形中，長(zhǎng)和寬統(tǒng)稱(chēng)為 邊長(zhǎng) 。 右面用圖形的包含來(lái)描述一下這幾種四邊形的關(guān)系。 注意：平行四邊形不是一種特殊的梯形，梯形是 只有一對(duì)邊平行 的四邊形。 分析解答 例 4 四邊形 梯形 平行四邊形 菱形 長(zhǎng)方形 正 方 形 學(xué)而思教育 學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來(lái) 學(xué)而思教育 小學(xué)二年級(jí) 我們?cè)谌粘Ｉ钪忻刻於紩?huì)看到各種各樣的多邊形，例如在家里的墻上、地板磚上，現(xiàn)在觀察下面這些圖，多邊形有如此之多的組合方式，確實(shí)讓人眼花繚亂。 請(qǐng)問(wèn)：上面 12幅圖中哪些是正多邊形，哪些是不閉合多邊形、閉合多邊形、簡(jiǎn)單多邊形、復(fù)雜多邊形、復(fù)合多邊形、凸多邊形、凹多邊形？ 一個(gè)多邊形如果 下面兩個(gè)條件我們叫它 正多邊形 ： 1、各條邊都相等； 2、各個(gè)內(nèi)角都相等。例如在圖中， 6、 12 號(hào)是正五邊形和正八邊形。我們最常見(jiàn)的兩種正多邊形是正三角形和正方形，一般也可以把圓看作是有無(wú)數(shù)條邊的正多邊形。 如果圖形的最后一條邊的終點(diǎn)和第一條邊的起點(diǎn)不重合，稱(chēng)之為 不閉合多邊形 ；反過(guò)來(lái)，如果最后一條邊的終點(diǎn)和第一條邊的起點(diǎn)重合，我們叫它 閉合多邊形 。在上圖中，只有 1 和 8 是不閉合多邊形，其他的都是閉合多邊形。通常我們見(jiàn)到的基本圖形都是閉合多邊形。 任意兩條邊都不相交（頂點(diǎn)不算相交）的多邊形稱(chēng)之為 簡(jiǎn)單多邊形 。簡(jiǎn)單多邊形 將平面分為兩個(gè)部分，里面和外面，在上圖中， 4、 5、 6、 10、 11、 12 都是簡(jiǎn)單多邊形。 多邊形的邊存在相交我們稱(chēng)之為 復(fù)雜多邊形 ，復(fù)雜多邊形把平面分成兩個(gè)以上的部分。上圖中，2、 3、 7、 9 都是復(fù)雜多邊形。 復(fù)合多邊形 則是幾個(gè)簡(jiǎn)單多邊形疊加所形成的多邊形，有重疊的部分，例如上圖中的 3、 9。 多邊形內(nèi)任意兩點(diǎn)連成的線(xiàn)段都在多邊形里面，這樣的多邊形稱(chēng)作 凸多邊形 ；反之若多邊形內(nèi)存在兩點(diǎn)，它們的連線(xiàn)在多邊形外，則稱(chēng)作 凹多邊形 。例如上圖中的 5、 6、 10、 12 是凸多邊形，其余的是凹多邊形。 一個(gè)正方體有（ ）個(gè)頂點(diǎn)，（ ）條棱，（ ）個(gè)面？下面哪些圖形是正方體的平面展開(kāi)圖？ 例 5 分析解答 例 6 學(xué)而思教育 學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來(lái) 學(xué)而思教育 小學(xué)二年級(jí) 如右圖，一個(gè)正方體有 8 個(gè)頂點(diǎn)， 12條棱， 6 個(gè)面。我們可以想象一個(gè)正方體的盒子，將它展開(kāi)成平面后會(huì)是六個(gè)正方形連在一起的圖案。試著將上面的每一個(gè)平面圖合回來(lái)，如果實(shí)在想不出來(lái)的話(huà)，不妨找一張紙做做看嘍。前 11個(gè)都是可以的，最后 4 個(gè)不是正方體的展開(kāi)圖。 通常在描述右面這個(gè)正方體時(shí)，我們用 上面、下面、左面、右面、前面、后面 來(lái)描述正方體的 6 個(gè)面，其中“后面”是我們看不到的，在畫(huà)圖中應(yīng)當(dāng)用虛線(xiàn)表示。 分析解答 學(xué)而思教育 學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來(lái) 學(xué)而思教育 小學(xué)二年級(jí) 請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)面積是 36 平方厘米的菱形。 解答：畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為 6 厘米的正方形即可。 圖 1 是由某個(gè)英文字母形狀的紙片，折疊一次后形成 的樣子。請(qǐng)你說(shuō)出 是哪個(gè)英文字母，除了“ L”還有可能是別的嗎？ 解答：還有可能是