2 5等比數(shù)列前n項(xiàng)和 回顧舊知 1 等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 注意 當(dāng)q 1時(shí) 等比數(shù)列 an 為常數(shù)列 2 求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的方法 觀察歸納法 累乘法 3 回想一下解等比數(shù)列題的一些技巧與方法 國(guó)際象棋起源于古印度 關(guān)于國(guó)際象棋還有一個(gè)傳說(shuō) 國(guó)王獎(jiǎng)賞發(fā)明者 問(wèn)他有什么要求 他答道 在棋盤第一個(gè)格放1顆麥粒 在第二個(gè)格放2顆麥粒 在第三個(gè)格放4顆麥粒 在第四個(gè)格放8顆麥粒 以此類推 每個(gè)格子放的麥粒數(shù)是前一個(gè)格子的2倍 直到64個(gè)格子 國(guó)王覺(jué)得這太容易了 就欣然答應(yīng)了他的要求 你認(rèn)為國(guó)王能滿足他的要求嗎 新課導(dǎo)入 設(shè)問(wèn) 同學(xué)們 你們知道他要的是多少小麥嗎 1 2 4 8 263 18446744073709551615 粒 已知麥子每千粒約為40克 則折合約為737869762948382064克 7378 7億噸 經(jīng)過(guò)計(jì)算 我們得到麥?？倲?shù)是 那么這是怎么計(jì)算的呢 其實(shí)是一個(gè)比較大小的問(wèn)題 則實(shí)質(zhì)上是求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題 發(fā)明者要求的麥粒總數(shù)是 S64 1 2 22 23 263 上式有何特點(diǎn) 如果 式兩端同時(shí)乘以2得 2S64 2 22 23 263 264 比較 兩式 有什么關(guān)系呢 S64 1 2 22 23 263 2S64 2 22 23 263 264 兩式上下相對(duì)的項(xiàng)完全相同 把兩式相減 就可以消去相同的項(xiàng) 則 得 S64 264 1 18446744073709551615 設(shè)問(wèn) 縱觀全過(guò)程 式兩邊為什么要乘以2呢 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及推導(dǎo) 在等比數(shù)列 an 中首先要考慮兩種情況 當(dāng)q 1時(shí) Sn a1 a2 a3 an 1 an 我們視目以待 看接下來(lái)的解答 S1 a1S2 a1 a2 a1 a1q a1 1 q S3 a1 a2 a3 a1 a1q a1q2 a1 1 q q2 S4 a1 a2 a3 a4 a1 a1q a1q2 a1q3 a1 1 q q2 q3 分析 Sn a1 a1q a1q2 a1q3 a1qn 2 a1qn 1 qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn 2 a1qn 1 a1qn 得 Sn 1 q a1 a1qn 這就是乘公比錯(cuò)位相減法求和 當(dāng)q 1時(shí) 則等比數(shù)列 an 前n項(xiàng)和公式為 注意點(diǎn) 1 注意q 1與q 1兩種情況 2 q 1時(shí) 通過(guò)上面的講解 對(duì)于等差數(shù)列的相關(guān)量a1 d n an sn 一般確定幾個(gè)量就可以確定其他量 例1 等比數(shù)列 an 的公比q a8 1 求它的前8項(xiàng)和S8 解法1 因?yàn)閍8 a1q7 所以 因此 這是公式法求和 解法2 把原數(shù)列的第8項(xiàng)當(dāng)作第一項(xiàng) 第1項(xiàng)當(dāng)作第8項(xiàng) 即順序顛倒 也得到一個(gè)等比數(shù)列 bn 其中b1 a8 1 q 2 所以前8項(xiàng)和 分析 數(shù)列9 99 999 不是等比數(shù)列 不能直接用公式求和 但將它轉(zhuǎn)化為10 1 100 1 1000 1 就可以解決了 例2 原式 10 1 100 1 1000 1 10n 1 10 100 1000 10n n 解 例3 2 這是分組法求和 某工廠去年1月份的產(chǎn)值為a元 月平均增長(zhǎng)率為p p 0 求這個(gè)工廠去年全年產(chǎn)值的總和 解 該工廠去年2月份的產(chǎn)值為a 1 p 元 3月 4月 的產(chǎn)值分別為a 1 p 2元 a 1 p 3元 所以12個(gè)月的產(chǎn)值組成一個(gè)等比數(shù)列 首項(xiàng)為a 公比為1 p 例4 答 該工廠去年全年的總產(chǎn)值為元 求和 例5 這是錯(cuò)位相減法求和 注意 當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的通項(xiàng)公式中有參數(shù) 求前n項(xiàng)和時(shí)要注意公比是否為1 例6 求和 例7 一尺之棰 日取其半 萬(wàn)世不竭 怎樣用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)說(shuō)明它 解 這句古語(yǔ)用現(xiàn)代文敘述是 一尺長(zhǎng)的木棒 每天取它的一半 永遠(yuǎn)也取不完 如果每天取出的木棒的長(zhǎng)度排成一個(gè)數(shù)列 則得到一個(gè)首項(xiàng)為a1 公比q 的等比數(shù)列 思考與余味 它的前n項(xiàng)和為 這說(shuō)明一尺長(zhǎng)的木棒 每天取它的一半 永遠(yuǎn)也取不完 課堂小結(jié) 本節(jié)課主要講述了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 以及他們的推導(dǎo)過(guò)程 在具體使用時(shí) 不一定完全套用公式 要靈活變通 1 推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法 2 公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想 錯(cuò)位相加法 方程思想 3 公式中五個(gè)量a1 d an n sn 已知其中三個(gè)量 可以求其余兩個(gè) 知三求二 07年廣東 等比數(shù)列 an 中 a1 3 an 96 sn 189 求n的值 解 由 得 q 2 所以 高考鏈接 隨堂練習(xí) 解 2 某商場(chǎng)第1年銷售計(jì)算機(jī) 臺(tái) 如果平均每年的銷售量比上一年增加10 那么從第1年起 約幾年內(nèi)可使總銷售量達(dá)到 臺(tái) 保留到個(gè)位 分析 由題意可知 每年銷售量比上一年增加的百分率相同 所以從第1年起 每年的銷售量組成一個(gè)等比數(shù)列 總產(chǎn)量則為等比數(shù)