貨物配送的最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 一 問(wèn)題的提出 一公司有二廠 分處 a b 兩市 另外還有 4 間具有存貯機(jī)構(gòu)的庫(kù)房 分別在 p q r 和 s 市 公司出售產(chǎn)品給 6 家客戶 c1 c2 c3 c6 由各庫(kù)房或直接由工廠向客 戶供貨 配送貨物的費(fèi)用由公司負(fù)擔(dān)單價(jià)見(jiàn)下表 受貨者 供貨者 a 市廠 b 市廠 p 庫(kù)房 q r s p 庫(kù)房 0 5 q 庫(kù)房 0 5 0 3 r 庫(kù)房 1 0 0 5 s 庫(kù)房 0 2 0 2 客戶 c1 1 0 2 0 1 0 c2 1 5 0 5 1 5 c3 1 5 0 5 0 5 2 0 0 2 c4 2 0 1 5 1 0 1 5 c5 0 5 0 5 0 5 c6 1 0 1 0 1 5 1 5 注 單位 元 噸 劃 表示無(wú)供貨關(guān)系 某些客戶表示喜歡由某廠或某庫(kù)房供貨 計(jì)有 c1 a 市廠 c2 p 庫(kù)房 c5 q 庫(kù)房 c6 r 庫(kù)房或 s 庫(kù)房 a 市廠月供貨量不能超過(guò) 150 千噸 b 市廠月供貨量不能超過(guò) 200 千噸 各庫(kù)房 的月最大流通量千噸數(shù)為 庫(kù)房 p q r s 流通量 70 50 100 40 各客戶每月所必須滿足的供貨量為 單位 千噸 客戶 c1 c2 c3 c4 c5 c6 要求貨量 50 10 40 35 60 20 公司希望確定以下事項(xiàng) 1 如何配貨 總費(fèi)用最低 2 增加工廠和庫(kù)房的生產(chǎn)能力對(duì)配送費(fèi)用的影響是什么 3 費(fèi)用單價(jià) 工廠和庫(kù)房生產(chǎn)能力以及客戶對(duì)供貨量的最低要求等 各微小變化 對(duì)配貨方案的影響是什么 4 能不能滿足各客戶對(duì)供貨者的喜好選擇 如果滿足 會(huì)引起配送費(fèi)用提高多少 二 摘要 在公司給客戶配送貨物的過(guò)程中 有兩種情況 一種是由工廠直接向客戶提供貨 物 另一種是由庫(kù)房向客戶提供貨物 再結(jié)合運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用問(wèn)題我們建立了這個(gè)貨 物配送的最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 在這個(gè)模型中 我們考慮到了以下幾點(diǎn) 1 為了保證模型的一般性 我們不考慮不能配送的問(wèn)題 對(duì)所有可能的運(yùn)輸都設(shè) 了未知量來(lái)建立模型 然后根據(jù)模型的條件在處理單價(jià)時(shí)將不可能運(yùn)貨路線的運(yùn) 輸價(jià)格設(shè)為 無(wú)窮大 在實(shí)際處理中給予比一般數(shù)據(jù)高數(shù)量級(jí)的數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算 2 我們將模型中的對(duì)象分為三層 第一層為供貨者 第三層為受貨者 第二層既可 以為供貨者也可以為受貨者 為了使模型更直觀 我們?cè)诘诙永镆?a b 兩個(gè) 工廠加入庫(kù)房的行列 然后將 a b 向 a b 運(yùn)貨設(shè)為不可能運(yùn)貨路線 3 在模型解答中 因?yàn)橛?jì)算量龐大 為了節(jié)約時(shí)間 我們調(diào)用了 matlab 里的最優(yōu) 化方法的函數(shù)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算 4 另外 在模型的解答過(guò)程中 由于運(yùn)輸?shù)膯蝺r(jià)的相同 我們還發(fā)現(xiàn)在滿足配 送費(fèi)用最低的情況下配送方案并不唯一 其主要不確定因素我們?cè)谀Ｐ椭薪o予 了討論 5 在模型推廣中 我們討論了模型在公司考慮顧客滿意度 運(yùn)輸費(fèi)用以及公司 本身受益情況下的推廣 模型適用于任何情況下的配送問(wèn)題的解決 針對(duì)問(wèn)題里提出的不同情況 我們 只適當(dāng)改變了少許參數(shù) 建立了模型一和模型二來(lái)分別對(duì)方案里的變化進(jìn)行討 論 三 問(wèn)題的重述 一公司有二廠 分處 a b 兩市 另外還有 4 間具有存貯機(jī)構(gòu)的庫(kù)房 分別在 p q r 和 s 市 公司出售產(chǎn)品給 6 家客戶 c1 c2 c3 c6 由各庫(kù)房或直接由工廠向客 戶供貨 配送貨物的費(fèi)用由公司負(fù)擔(dān)單價(jià)見(jiàn)下表 受貨者 供貨者 a 市廠 b 市廠 p 庫(kù)房 q r s p 庫(kù)房 0 5 q 庫(kù)房 0 5 0 3 r 庫(kù)房 1 0 0 5 s 庫(kù)房 0 2 0 2 客戶 c1 1 0 2 0 1 0 c2 1 5 0 5 1 5 c3 1 5 0 5 0 5 2 0 0 2 c4 2 0 1 5 1 0 1 5 c5 0 5 0 5 0 5 c6 1 0 1 0 1 5 1 5 注 單位 元 噸 劃 表示無(wú)供貨關(guān)系 某些客戶表示喜歡由某廠或某庫(kù)房供貨 計(jì)有 c1 a 市廠 c2 p 庫(kù)房 c5 q 庫(kù)房 c6 r 庫(kù)房或 s 庫(kù)房 a 市廠月供貨量不能超過(guò) 150 千噸 b 市廠月供貨量不能超過(guò) 200 千噸 各庫(kù)房 的月最大流通量千噸數(shù)為 庫(kù)房 p q r s 流通量 70 50 100 40 各客戶每月所必須滿足的供貨量為 單位 千噸 客戶 c1 c2 c3 c4 c5 c6 要求貨量 50 10 40 35 60 20 在配送過(guò)程中 我們需要建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)計(jì)算在什么情況下公司的運(yùn)輸費(fèi) 用最低 在什么情況下 既能滿足客戶的要求 又能為公司節(jié)約足夠的資金 設(shè)計(jì)出來(lái)的方案還能體現(xiàn)公司在什么樣的改進(jìn)下能獲得更高的經(jīng)濟(jì)效益 四 問(wèn)題分析 在整個(gè)配送問(wèn)題中 所有的對(duì)象包括三種 一種就是 a b 兩個(gè)市廠 它是貨 物的產(chǎn)源 它所生產(chǎn)的貨物 可以放到 p q r s 四個(gè)庫(kù)房里存放 也可以 直接運(yùn)給客戶 第二種就是庫(kù)房 它一方面接受工廠的貨物 另一方面把貨物 提供給客戶 第三種就是客戶 它只是受體 接收由工廠或庫(kù)房提供的貨物 整個(gè)供應(yīng)關(guān)系可由下面兩個(gè)關(guān)系表表出 在問(wèn)題的解決過(guò)程中 我們大膽地假設(shè) a b 也收入第二種對(duì)象中即假設(shè) a b 也為庫(kù)房 則整個(gè)關(guān)系圖就簡(jiǎn)化為一個(gè)圖 建立合理的配送方案的處理模型 然后 將從 a 到 a a 到 b b 到 a b 到 b 的情況和其他不能運(yùn)輸?shù)那闆r放到一起處理 由于這個(gè)問(wèn)題只提及運(yùn)輸費(fèi)用的問(wèn)題 而不考慮公司在貨物賣出時(shí)的收益問(wèn)題 所以我們只對(duì)運(yùn)輸上的經(jīng)濟(jì)情況進(jìn)行討論 不管運(yùn)輸時(shí)各個(gè)運(yùn)輸路線的單價(jià)如 何變化 我們的模型都能將最好的方案給出來(lái) 五 符號(hào)的定義 1 工廠向各庫(kù)房和客戶的供貨量以及庫(kù)房向客戶的供貨量如下表 單位 千噸 供貨者 受貨者 a 市廠 b 市廠 p 庫(kù)房 q 庫(kù)房 r 庫(kù)房 s 庫(kù)房 a 市廠 x011 x012 x013 x014 x015 x016 b 市廠 x021 x022 x023 x024 x025 x026 受貨者 供貨者 a 市廠 b 市廠 p 庫(kù)房 q 庫(kù)房 r 庫(kù)房 s 庫(kù)房 客戶 c1 x11 x21 x31 x41 x51 x61 客戶 c2 x12 x22 x32 x44 x52 x62 客戶 c3 x13 x23 x33 x43 x53 x63 客戶 c4 x14 x24 x34 x44 x54 x64 客戶 c5 x15 x25 x35 x45 x55 x65 客戶 c6 x16 x26 x36 x46 x56 x66 六 模型的建立和求解 模型 假設(shè) 庫(kù)房的月最大流通量保持不變 即在庫(kù)房有貨物剩余的情況下 月最大 流通量不因此而加大 模型構(gòu)成 1 在配貨過(guò)程中 可以由 a 市廠和 b 市廠直接向客戶直接供貨 也可以把兩廠的 貨物運(yùn)到 p q r s 四個(gè)倉(cāng)庫(kù)之后再向客戶供貨 所以在這個(gè)模型中 我們 首先把 a b 看成生產(chǎn)地 同時(shí)又把它們作為與 p q r s 一樣的庫(kù)房來(lái)看待 并規(guī)定產(chǎn)地 a b 不向庫(kù)房 a b 運(yùn)送貨物 在處理的時(shí)候 如果相互之間沒(méi)有 配送關(guān)系 我們可以認(rèn)為配送貨物的費(fèi)用為 無(wú)窮大 在具體運(yùn)算時(shí) 我們?cè)?對(duì) 無(wú)窮大 賦予一個(gè)比較大的具體值 模型要求公司在配貨時(shí)的最小運(yùn)輸費(fèi)用 即 minz i 表示 h 的行數(shù) j 表示 xt 的列數(shù) 1 其中 2 每月 a 廠供貨量不能超過(guò) 150 千噸 b 廠供貨量不能超過(guò) 200 千噸 又由每 月庫(kù)房的最大流通量已知 可得出約束式 各客戶每月必須滿足的供貨量為 客戶 c1 c2 c3 c4 c5 c6 要求貨量 50 10 40 35 60 20 從而有 3 總結(jié)以上的模型 可得配貨的最小運(yùn)輸費(fèi)用問(wèn)題實(shí)際上為一個(gè)線性規(guī)劃模型 模型求解 在模型求解的過(guò)程中 我們調(diào)用了 matlab 的最優(yōu)化軟件包 在調(diào)用過(guò)程中 我們 對(duì)不能配送的費(fèi)用賦值為比一般價(jià)格要高一個(gè)或幾個(gè)數(shù)量級(jí)的數(shù)值 例如 當(dāng)令 100 時(shí) 程序清單和所得的結(jié)果如下 f 100 0 100 0 0 5 0 5 1 0 0 2 100 0 100 0 100 0 0 3 0 5 0 2 1 0 100 0 1 5 2 0 100 0 1 0 2 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 10 0 0 1 5 0 5 1 5 100 0 1 0 1 0 0 5 0 5 1 0 0 5 100 0 100 0 1 5 2 0 100 0 0 5 1 5 100 0 100 0 0 2 1 5 0 5 1 5 a 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 b 70000 50000 40000 50000 10000 40000 35000 60000 20000 0 0 0 0 lb zeros 48 1 x fval exitflag output lambda linprog f a b lb 結(jié)果為 x 1 0e 004 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 2 7272 0 0000 0 0000 0 0000 5 0000 5 5000 1 2728 5 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 2 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 1 0000 0 0000 3 5000 0 5000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 5 5000 0 0000 0 0000 0 0000 4 0000 0 0000 0 0000 0 0000 fval 1 9850e 005 即最小配送費(fèi)用為 元 配送方案如圖 在運(yùn)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn) 對(duì) 無(wú)窮大 賦予不同的值 a b 市廠供給 s 倉(cāng)庫(kù)的貨物量也 隨之改變 而總的運(yùn)輸費(fèi)用不變 事實(shí)上 a b 市廠向 s 庫(kù)房配送貨物的費(fèi)用 單價(jià)相同 所以在滿足條件的情況下 a b 對(duì) s 的配送關(guān)系不唯一 模型討論 1 增加工廠和庫(kù)房的生產(chǎn)能力對(duì)配送費(fèi)用的影響 通過(guò)模型一的解答我們可以看出 在配貨過(guò)程中 q 庫(kù)房和 s 庫(kù)房都已達(dá)到最 大流通倆 而 p 庫(kù)房和 r 庫(kù)房卻沒(méi)有 所以 我們?cè)谀Ｐ椭袊L試只增大 q 的最 大流通量 則 c4 的貨物全由 q 提供 最低費(fèi)用降低到 18750 元 當(dāng)只增大 s 的最大流通量的時(shí) c4 的貨物全由 s 提供 最低費(fèi)用降低到 18150 元 當(dāng)兩 個(gè)都增大時(shí) c4 的貨物還是全由 s 提供 最低費(fèi)用降低到 18150 元 所以我 們得出結(jié)論 如果要進(jìn)一步節(jié)約配送費(fèi)用 就要提高 s 庫(kù)房的流通量 其流通 量的最大值可以增到噸 此時(shí)總費(fèi)用為最低費(fèi)用 18150 元 而工廠的生產(chǎn)能 力則可以根據(jù)倉(cāng)庫(kù)的流通量來(lái)提高 2 費(fèi)用單價(jià) 工廠和庫(kù)房的生產(chǎn)能力以及客戶對(duì)供貨量的最低要求等的微小 變化對(duì)配貨方案的影響 1 由上圖可知 配貨方案中的每個(gè)客戶的貨物運(yùn)輸都是由單價(jià)最少的路線所 提供 所以 單價(jià)的微小變化 如果不使得改路徑的費(fèi)用比其他路徑高 就不 會(huì)對(duì)方案產(chǎn)生影響 否則 所得出的方案中將會(huì)改變?yōu)槠渌麊蝺r(jià)更低的貨物運(yùn) 輸路線供給客戶的貨物 2 工廠和庫(kù)房的生產(chǎn)能力的增加對(duì)方案的影響在上一個(gè)問(wèn)題中已經(jīng)給予了討 論 而到生產(chǎn)能力減少時(shí) 稍微減少 a b 的生產(chǎn)能力和 p r 庫(kù)房的流通量對(duì) 配貨不會(huì)造成影響 減少 q s 的流通量時(shí)將會(huì)使得 q s 不能提供的貨物改為 其他兩個(gè)庫(kù)房或工廠提供 3 分析模型所求出的解我們可以得出 c1 和 c6 的微小變化對(duì)結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生 影響 而 c3 的需求量的減少會(huì)使得 c4 部分改由 s 庫(kù)房提供 參照配送方案關(guān) 系圖我們同樣可以分析出其他客戶需求量的變化對(duì)整個(gè)方案的影響 模型 模型構(gòu)成 考慮到某些客戶的喜好 我們?cè)诖嘶A(chǔ)上進(jìn)行一定的假設(shè) 并引入相關(guān)參數(shù) 得到模型二 1 在模型一的基礎(chǔ)上 我們先優(yōu)先考慮客戶的喜好 1 c1 喜歡 a 市廠的貨物 運(yùn)輸費(fèi)用為 50000 1 0 0 5 105 元 2 c2 喜歡 p 庫(kù)房的貨物 而 p 庫(kù)房的貨物只能由 a 市廠提供 運(yùn)輸費(fèi)用為 0 5 10000 1 5 10000 0 2 105 元 3 c5 喜歡由 q 庫(kù)房的貨物 而 q 庫(kù)房每月最大流通量為 50000 噸 c5 月基本 需求量為 60000 噸 則 q 庫(kù)房的貨物只能供給 c5 而由模型一可知 q 庫(kù)房的貨 物由 b 市廠供給費(fèi)用較少 則有 q 庫(kù)房配送 50000 噸貨物給 c5 的費(fèi)用為 0 3 50000 0 5 50000 0 4 105 而 c5 所需的另 10000 噸貨物由其他市 廠或庫(kù)房提供 2 因?yàn)?c1 c2 的配送已經(jīng)確定 c5 的配送部分確定 而 c6 的貨物只能由 r 庫(kù) 房和 s 庫(kù)房提供 所以系數(shù)矩陣變?yōu)?模型求解 結(jié)合模型將程序清單進(jìn)行改變 f 100 0 100 0 0 5 0 5 1 0 0 2 100 0 100 0 100 0 0 3 0 5 0 2 1 0 100 0 1 5 2 0 100 0 100 0 2 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 1 5 0 5 1 5 100 0 100 0 1 0 0 5 0 5 1 0 0 5 100 0 100 0 1 5 2 0 100 0 0 5 1 5 100 0 100 0 0 2 1 5 0 5 1 5 a 與模型一中的 a 一致 b 60000 0 40000 0 0 40000 35000 10000 20000 0 0 0 0 lb zeros 48 1 x fval exitflag output lambda linprog f a b lb 結(jié)果為 x 0 0000 0 0000 2 0323 0 0000 0 0000 0 1945 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 3 0000 3 8055 0 0000 0 0000 0 0000 1 4677 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 2 0323 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 1 0000 2 0000 0 0000 0 0000 4 0000 0 0000 0 0000 0 0000 fval 1 3600e 005 由確定部分以及求解的結(jié)果得到總的配送費(fèi)用為 24600 元 即為了盡最大程度 滿足客戶的喜好選擇 配送費(fèi)用提高了 4750 元 七 誤差分析 1 在模型的求解過(guò)程中 所給出的運(yùn)貨為零的方案在實(shí)際計(jì)算中并非真正為 0 而是計(jì)算機(jī)在計(jì)算過(guò)程中采取了舍入的方法 這些對(duì)模型結(jié)果的影響并不 大 因?yàn)閿?shù)據(jù)足夠小 而且在實(shí)際中 如果運(yùn)送的貨物很少的話 對(duì)資源反而