- 1 - 目錄 （基礎復習部分） 第十五章 矩陣與變換 . 2 第 01課 幾種常見的變換 . 2 第 02課 矩陣的復合、乘法與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量 . 6 - 2 - 第十五章 矩陣與變換 第 01課 幾種常見的變換 已知矩陣 A 2 屬于特征值 的一個特征向量為 1 1 （ 1）求實數 b， 的值； （ 2）若曲線 C 在矩陣 A 對應的變換作用下，得到的曲線為 C： 22，求曲線 C 的方程 解： （ 1）因為矩陣 A 2 屬于特 征值 的一個特征向量為 1 1 ， 所以 2 1 1 1 1 ，即 2 b 2 3 分 從而 2 b ， 2 解得 b 0， 2 5 分 （ 2）由（ 1）知， A 2 01 3 設曲線 C 上任一點 M(x， y)在矩陣 A 對應的變換作用后變?yōu)榍€ C上一點 P( 則 2 01 3 23y ， 從而 2x，x 3y 7 分 因為點 P 在曲線 C上，所以 22，即 (2x)2 2(x 3y)2 2， 從而 3691 所以曲線 C 的方程為 3691 10 分 已知曲線2:2y x，在矩陣 對應的變換作用下得到曲線1C，1在矩陣 對應的變換作用下得到曲線2，求曲線2 解 ：設 A 則 1 0 0 21 0 0 2 1 0 ， 3 分 設 , P x y 是曲線 C 上任一點，在兩次變換下，在曲線2,Px y ， - 3 - 則 0 2 2 10 x x yy y x ， 即2 ,1 7 分 又點 , P x y 在 曲線2:2C x上， 21( ) 22 ， 即218 10 分 已知矩陣 1002A ， 1201B ，若矩陣 1對應的變換把直線 l 變?yōu)橹本€ : 2 0l x y ，求直線 l 的方程 1201B ， 1 1201B ， 1 1 0 1 2 1 20 2 0 1 0 2 5 分 設直線 l 上任意 一點 ( , )矩陣 1對應的變換下為點 ( , ) 1202 ， 2,2,x x 代入 : ( 2 ) ( 2 ) 2 0l x y y ，化簡后得 :2 10 分 求曲線 1在矩陣 M 10103對應的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積 解：設點00( , )線 1上的任一點，在矩陣 10103M對應的變換作用下得到的點為 ( , )， 則由 0010103x xy y ， 3 分 得： 00,1 ,3 即00,3, 5 分 所以曲線 1在矩陣 10103M對應的變換作用下得到的曲線為31， 8 分 所圍成的圖形為菱形，其面積為 1 2 222 3 3 10 分 - 4 - （南京鹽城模擬一） 求直線 10 在矩陣22222222M的變換下所得曲線的方程 解：設 ( , )P x y 是所求曲線上的任一點，它在已知直線上的對應點為 ( , )Q x y， 則22 ,2222 ,22x y xx y y 解得2 ( ) ,22 ( ) ,2x x yy y x 5 分 代入 10 中，得 22( ) ( ) 1 0x y y x ， 化簡可得 所求曲線方程為 22x. 10 分 （揚州期末） A （本小題滿分 10 分，矩陣與變換）在平面直角坐標系 ，設曲線 矩陣 A= 1010 2對 應的變換作用下得到曲線 2 2 14x y，求曲線 方程 設 ( , )P x y 是曲線1 ( , )P x y 在矩陣 A 對應的變換下變?yōu)辄c ( , )P x y ， 則有 1010 2 ，即 , 5 分 又因為點 ( , )P x y 曲線 2 22 :14上， 故 2 2() ( ) 14x y ，從而 2 2() ( ) 142， 所以曲線124 （鎮(zhèn)江期末） 已知矩陣 1002M ， 1 0201N，試求曲線 xy 在矩陣 換下的函數解析式 解： 10021 0201= 1 0202， 4 分 即在矩陣 換下 110220 2 2x x x xy y y y ， 6 分 - 5 - 12， 2 ， 8 分 代入得： 1 2 ， 即曲線 在矩陣 換下的函數解析式為 2 10 分 （蘇北四市期末） 已知 ,a b R ，矩陣 1 3 所對應的變換10 變換為自身 ， 求 a,b 的值。 設直線 01 任意一點 ( )Px y， 在變換 )P x y ， ， 由 13a x xb y y ，得 ,3.x x bx y 4 分 因為 ( )P x y ， 在直線 01 ， 所以 10- - = ，即 01)3()1 ， 6 分 又因為 ( )Px y， 在直線 01 ，所以 01 8 分 因此 1 1,3 - = - = ,2 10 分 （泰州二模） 已知矩陣 010A a ，矩陣 020B b ，直線 04:1 矩陣 A 所對應的變換得到直線 2l ，直線 2l 又經矩陣 B 所對應的變換得到直線 04:3 （ 1）求 , 2） 求直線 2l 的方程 解：（ 1） 0 2 0 1 2 00 0 0b a b 設 ( , )P x y 是1在 , )， 得1 2x ，則 2 4 0a x b y 即為直線 1 : 4 0l x y，則得 1 ,12 5 分 （ 2） 0210B ，同理可得2 4 0 ，即 2 4 0 10 分 （蘇北三市調研三） 已知矩陣 A 的逆矩陣 122222222A 求曲線 1在矩陣 A 所對應的變換作用下所得的曲線方程 設 1上任意一點 ,矩陣 A 所對應的變換作用下 對應 的點 , ，則 - 6 - 122222222x x y y ， 4 分 由此得 2 ,22 ,2x x yy y x 6 分 代入方程 1，得 222. 所以 1在矩陣 A 所對應的線性變換作用下的曲線方程為 222 10 分 解法二： 22222222A 4 分 設 1上任意一點 ,矩陣 A 所對應的線性變換作用下的像為點 ,，則 22222222 ， 其坐標變換公式為22,2222,22x x yy x y 由此得 2 ,22 ,2x x yy y x 6 分 代入方程 1，得 222. 所以 1在矩陣 A 所對應的線性變換作用下的曲線方程為 222 10 分 第 02課 矩陣的復 合、乘法與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量 已知矩陣 00 i i ，其中 (1i il， 2)是互不相等的實常數， (1i i， 2)是非零的平面列向量，1 1l ，211，求矩陣 M B選 修 4 2：矩陣與變換 解：由題意，1l，2) 0af a 的兩根 因為1 1l ，所以 1 2 分 又因為2 2 2l，所以20 1 10 1 1ab l ，從而22,5 分 - 7 - 所以 22 1 因為12所以2 1l 從而 1 8 分 故矩陣 0110 M 10 分 已知矩陣 1 0202M，試求 （ 1）矩陣 M 的逆矩陣 M 1； （ 2）直線 2在矩陣 M 1 對應的變換作用下的曲線方程 . （南通調研一） 已知矩陣273 的逆矩陣1 27nM m ，求實數 m ， n （蘇州期末） 已知矩陣 1211A ，向量 21，求向量 ，使得 2A ,，由 2A 得 3 4 22 3 1 ， - 8 - 3 4 2 ,2 3 1, 2,1,21 （南京鹽城二模） 已知矩陣 A 3 02 a ， A 的逆矩陣 A 113 0b 1 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）求 A 的特征值 解 ：（ 1）因為 A A 1 3 02 a 13 0b 1 1 023 a 1 00 1 所以a 1，23 0解得 a 1， b 23 5 分 （ 2）由（ 1）得 A 3 02 1 ， 則 A 的特征多項式 f() 3 0 2 1 ( 3)( 1) 令 f() 0，解得 A 的特征值 1 1， 2 3 10 分 （南通調研二） 設 23是矩陣 232a 實數 a 的值 解：設 23是 矩陣 M 屬于特征值 的一個特征向量， 則 232a23 23， 5 分 故 2 6 2 12 3 a ，解得 4 1. a= ， 10 分 （南京三模） 已知矩陣 A a 11 a ，直線 l： x y 4 0 在矩陣 A 對應的變換作用下變?yōu)?直線 l： x y 2a 0 （ 1）求實數 a 的值； （ 2）求 解： （ 1）設直線 l 上一點 M0(矩陣 A 對應的變換作用下變?yōu)?l 上點 M(x， y)， - 9 - 則 a 11 a 所以 x y0，y 3 分 代入 l 方程得 ( ( 2a 0， 即 (a 1)(a 1)2a 0 因為 (足 4 0， 所以 21 4，解得 a 2 6 分 （ 2）由 A 2 11 2 ，得 2 11 2 2 11 2 5 44 5 10 分 （鹽城三模） 若 矩陣 21 的一個特征向量為 11，求矩陣 M 的逆矩陣 1M . 解：由題意，得 2 1 131 1 1 ，解得 12，所以 1221 M. 設 1 M，則 1 1 2 1 02 1 0 1 解得 1 2 2 1, , ,3 3 3 3x y z w ，即 112332133M . 10 分 （蘇錫常鎮(zhèn)二模） - 10 - （南師附中四校聯考） 二階矩陣 A 有特征值 6 ，其對應的 一個特征向量為 11e，并且矩陣 A 對應的變換將點（ 1,2）變換成點（ 8,4），求矩陣 A. 設所求二階矩陣 A= dc 48216 4 分 482266428266 8 分 解方程組得 A= 28 24