- 1 - 目錄 （基礎(chǔ)復(fù)習(xí)部分） 第十六章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 . 2 第 01 課 極坐標(biāo)方程 . 2 第 02 課 常用曲線的參數(shù)方程 . 5 - 2 - 第十六章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第 01課 極坐標(biāo)方程 （南京三模） 在極坐標(biāo)系中， 設(shè)圓 C： 4 與直線 l： 4 ( R)交于 A， B 兩點(diǎn) ， 求以 直徑的圓的極坐標(biāo)方程 解： 以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 極軸為 x 軸的正半軸， 建立直角坐標(biāo)系，則由題意，得 圓 C 的直角坐標(biāo)方程 4x 0， 直線 l 的直角坐標(biāo)方程 y x 4 分 由 4x 0，y x， 解得 x 0，y 0， 或 x 2，y 2 所以 A(0， 0)， B(2， 2) 從而以 直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為 (x 1)2 (y 1)2 2，即 2x 2y 7 分 將其 化為極坐標(biāo)方程為： 2 2( 0， 即 2( 10 分 已知曲線13 ，曲線2 c ，判斷兩曲線的位置關(guān)系 解： 將曲線12,化為直角坐標(biāo)方程得： 1 : 3 2 0C x y ， 222 : 2 2 0x x y 即 222 : 1 1 2x y ， 圓心到直線的距離 221 3 2 332213d ， 曲線12 已知半圓 C 的參數(shù)方程為 co s ,1 （ 為參數(shù) ） ， , 22 . （ 1）在直角坐標(biāo)系 ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù) 半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求半圓 C 的極坐標(biāo)方程； - 3 - （ 2）在（ 1）的條件下，設(shè) T 是半圓 C 上的一點(diǎn)，且 3，試寫出 T 點(diǎn)的極坐標(biāo) . （南京鹽城模擬一） 在極坐標(biāo)系中，求圓 2 的圓心到直線 2 s ) 13的距離 解：將 2 化為普通方程為 2220x y x ，圓心為 (1,0) ， 4 分 又 2 s ) 13即 132 ( s i n c o s ) 122 ， 所以直線的普通方程為 3 1 0 8 分 故所求的圓心到直線的距離 312d 10 分 （蘇州期末） 在極坐標(biāo)系中，已知圓 3 與直線 2 c o s 4 s i n 0a 相切，求實數(shù) a 的值 . 圓 3 的普通方程為 223x y x，即 2239()24 . 直線 2 c o s 4 s i n 0a 的普通方程為 2 4 0x y a . 又 直線 與圓 相切， 所以223| 2 |32224a ，解得 3 3 5a . （金海南三校聯(lián)考） 在極坐標(biāo)系中，已知 A(1, )3， B(9, )3，線段 垂直平分線 l 與極軸交于點(diǎn) C，求 l 的極坐標(biāo)方程及 面積 . 解： 易得線段 中點(diǎn)坐標(biāo)為 (5， 3)， 2 分 設(shè)點(diǎn) P(， )為直線 l 上任意一點(diǎn)， 在直角三角形 ， 3) 5， 所以， l 的極坐標(biāo)方程為 3) 5， 6 分 - 4 - 令 0，得 10，即 C(10， 0) 8 分 所以， 面積為： 12(9 1)1020 3 10 分 （泰州二模） 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與 x 軸的正半軸重合若直線 l 的極坐標(biāo)方程為 s i n 3 24 （ 1）把直線 l 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （ 2）已知 P 為橢圓 2211 6 9: 上一點(diǎn)，求 P 到直線 l 的距離的最小值 解：（ 1）直線 l 的極坐標(biāo)方程 s i n 3 24 ，則 22s i n c o s 3 2 ， 即 s i n c o s 6 ，所以直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 60 ； 5 分 （ 2） P 為橢圓 2211 6 9:上一點(diǎn)，設(shè) ( 4 c o s 3 s P , ，其中 02,，則 P 到直線 l 的距離| 4 c o s 3 s i n 6 | | 5 c o s ( ) 6 |22d ，其中 4 ， 3 ， 當(dāng) co s( ) 1 時， d 的最小值為 22 10 分 （南通調(diào)研二） 在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線 3與曲線 2 1 0 c o s 4 0 相交于 A ， B 兩點(diǎn)，求線段 的極坐標(biāo) 解：（方 法 1）將直線 3化為普通方程得， 3， 將曲線 2 1 0 c o s 4 0 化為普通方程得， 221 0 4 0x y x , 4 分 聯(lián)立2231 0 4 0y x ， 并消去 y 得， 22 5 2 0 ， 解得1 12x ，2 2x ， 所以 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 12524，縱坐標(biāo)為 5 32， 8 分 化為極坐標(biāo)為 5 23， 10 分 - 5 - （方 法 2） 聯(lián)立 直線 l 與曲線 C 的方程組231 0 c o s 4 0 ， 2 分 消去 ，得 2 5 4 0 ， 解得1 1，2 4， 6 分 所以線段 點(diǎn)的極坐標(biāo)為 12 23 ，即 5 23， 10 分 （注：將線段 點(diǎn)的極坐標(biāo)寫成 5 2 ( )23 Z，的不扣分 ） （蘇北三市調(diào)研三） 已知曲線1 2 c o s ,2 （ 為參數(shù)）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線2o s 2 24求 1C 與 2C 交點(diǎn)的極坐標(biāo) ，其中 0 , 0 2 解 法一 ：將 2 2 c o s ,2 消去參數(shù) ，得 2 224 ， 所以12240x y x 4 分 將曲線240 6 分 由 224 0 ,4 0 ,x y 解得 4,0或 2, 8 分 所以1 4,0 或 72 2 ,4 10 分 解 法二 ：將 2 2 c o s ,2 消去參數(shù) ，得 2 224 ， 所以12240x y x 4 分 所以1 6 分 代入 c o s 2 24，得 2c o s ( 2 )42 ， 8 分 所以1 4,0 或 72 2 ,4 10 分 第 02課 常用曲線的參數(shù)方程 已知兩個動點(diǎn) P ， Q 分別在兩條直線1 :l y x和2 :l y x上運(yùn)動，且它們的橫坐標(biāo)分別為角 q 的正弦，余弦， 0,q 記 O M O P O Q，求動點(diǎn) M 的軌跡的普通方程 C選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解： 設(shè) ( , )M x y ，則 s in c o s ,s in c o s ,2 分 - 6 - 兩式平方相加得 222 5 分 又 2 s )4x q， 2 s )4y q， 0,q ， 所以 1, 2x ， 1, 2y 8 分 所以動點(diǎn) M 軌跡的普通方程為 222（ x ， 1, 2y ） 10 分 在平面直角坐標(biāo)系 ，已知直線 l 的參數(shù)方程為x 3 32 t，y 2 12t(t 為參數(shù) )，圓 C 的參數(shù)方程為x3 y 為參數(shù) )若點(diǎn) P 是 圓 C 上的動點(diǎn)，求點(diǎn) P 到直線 l 的距離的最小值 解： （方法一） 直線 l 的普通方程為 x 3y 3 0 3 分 因為點(diǎn) P 在 圓 C 上，故設(shè) P( 3 從而點(diǎn) P 到直線 l 的距離 d | 3 33|12 ( 3)2|2 3 2 6)|2 7 分 所以 3 1 即點(diǎn) P 到直線 l 的距離的最小值為 3 1 10 分 (方法二 ) 直線 l 的普通方程為 x 3y 3 0 3 分 圓 C 的圓心坐標(biāo)為 ( 3， 0)，半徑為 1 從而圓心 C 到直線 l 的距離為 d | 3 0 3|12 ( 3)2 3 6 分 所以點(diǎn) P 到直線 l 的距離的最小值為 3 1 10 分 已知在平面直角坐標(biāo)系 ，圓 O 的參數(shù)方程為 2 （ 為參數(shù)）；以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 (s in c o s ) 1 ，直線 l 與圓 O 相交于 兩點(diǎn)，求弦 長 圓 O ： 224，直線 l ： 10 ， 5 分 圓心 O 到直線 l 的距離 1222d ，弦長 2222 2 ( ) 1 42 10 分 在極坐標(biāo)系中，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 2 c o s 2 s q q，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸 - 7 - 建立平面直角坐標(biāo)系，直線 l 的參數(shù)方程為 1,3(t 為參數(shù) )，求直線 l 被曲線 C 所截得的弦長 解：曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 22 2 2 0x y x y ， 圓心為 (1,1) ，半徑為 2 ， 3 分 直線的直角坐標(biāo)方程為 3 3 0 ， 5 分 所以圓心到直線的距離為 3 1 3 122d， 8 分 所以弦長 12 2 74 10 分 （南通調(diào)研一） 在平面直角坐標(biāo) ，已知曲線 C 的參數(shù)方程為21 ,214 （ t 為參數(shù)） ，曲線與直線 l ： 12相交于 A ， B 兩點(diǎn)，求線段 長 （揚(yáng)州期末） 已知曲線 極坐標(biāo)方程為 2c o s ( )42 ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線 參數(shù)方程為2求曲線 曲線 點(diǎn)的直角坐標(biāo) - 8 - 由 2c o s ( )42 ，得曲線10 ， 3 分 由2得曲線2 1 ( 1 1 )x y x ， 7 分 由21 0 ,1 得 2 20 ，即 2x （舍去）或 1x ， 所以 曲線1 1,0) （鎮(zhèn)江期末） 已知直線 l 的極坐標(biāo)方程為 s ) 63，圓 C 的參數(shù)方程為 10 10 ( 為參數(shù) ) （ 1）請分別把直線 l 和圓 C 的方程化為直角坐標(biāo)方程； （ 2）求直線 l 被圓截得的弦長 解：（ 1）由 ) 63，得 13( s i n c o s ) 623 ， 3 1 2 ，即 3 1 2 0 4 分 圓的方程為 22100 6 分 （ 2） 6d ， 10r ， 弦長 2 1 0 0 3 6 1 6l 10 分 己知直線 l 的參數(shù)方程為 ,21（ t 為參數(shù)） ,圓 C 的參數(shù)方程為 ,.(a0. 為參數(shù) )，點(diǎn)P 是圓 C 上的任意一點(diǎn)，若點(diǎn) P 到直線 l 的距離的最大值為 5 15 ，求 a 的值。 因為直線2 1, =+消去參數(shù) t ，得 直線 2 3 分 又因為圓（ ,0a為參數(shù)）， 所以圓 的普通方程為 222 6 分 因為圓d， 8 分 故依題意，得 15555 a，解得 1a . 10 分 （南京鹽城二模） 在平面直角坐標(biāo)系 ，已知曲線 C： x s，y s 為參數(shù)），直線 l：x 2 110t，y 4 310t（ t 為參數(shù)）設(shè) C 與 l 交于 A， B 兩點(diǎn)，求線段 長度 - 9 - 解： 由 x s，y 去 s 得曲線 C 的普通方程為 y 由x 2 110t，y 4 310t 得直線 l 的普通方程為 y 3x 2 5 分 聯(lián)立直線方程與曲線 C 的方程，即 y x2，y 3x 2， 解得交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (1， 1)， (2， 4) 所以線段 長度為 (2 1)2 (4 1)2 10 10 分 （鹽城三模） 在極坐標(biāo)系中，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 2 2 c o s ( )4，以極點(diǎn) O 為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線 l 的參數(shù)方程為 1314 （ t 為參數(shù)），試判斷直線 的位置關(guān)系，并說明理由 . 解：將直線 l 與曲線 C 的方程化為普通方程， 得直線 l ： 4 3 1 0 ，曲線 C ： 22 2 2 0x y x y ，所以曲線 C 是以 (1,1) 為圓心，半徑為2 的圓，所以圓心到直線 l 的距離 2 25d ，因此，直線 l 與曲線 C 相交 . 10 分 （蘇錫常鎮(zhèn)二模） 故 P 點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (0,0). （南師附中四校聯(lián)考） 已知直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， C 的極坐標(biāo)方程為 02s ，直線 l 與圓 C 相交于點(diǎn) A、B. （ 1）將圓 C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； - 10 - （ 2）求線段 長度 . （ 1） 02422 4 分 （ 2）直線 l 的普