第 1 頁（共 21 頁） 2016 年山東省泰安市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 10小題，每小題 5分，共 50分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A=x|y= ， B=x|2x 0，則（ ） A AB=B A B=BAB 3設(shè) ， ， 是非零向量，已知：命題 p： ， ，則 ；命題 q：若 =0， =0 則 =0，則下列命題中真命題是（ ） A p p p） （ q） D p q 4 =（ ） A B 1C D 1 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出 i 的值為（ ） A 4B 5C 6D 55 6在二項(xiàng)式 的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是 32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（ ） A 32B 0C 32D 1 7如圖，四棱錐 S 底面為正方形， 底面 下列結(jié)論中不正確的是（ ） A 平面 平面 成的角等于 平面 成的角 第 2 頁（共 21 頁） D 成的角等于 成的角 8已知 x， y 滿足條件 ，若 z=mx+y 取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù) ） A 1 或 B 1 或 2C 1 或 2D 2 或 9已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上，則雙曲線的方程為（ ） A =1B =1 C =1D =1 10將函數(shù) f（ x） =圖象向右平移 （ 0 ）個(gè)單位后得到函數(shù) g（ x）的圖象若對(duì)滿足 |f（ g（ |=2 的 |x2|，則 =（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 5小題，每小題 5分 . 11長(zhǎng)方形 ， ， ， O 為 中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形 隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到 O 的距離大于 1 的概率為 12已知直線 ax+6=0（ a 0， b 0）被圓 x2+2x 4y=0 截得的弦長(zhǎng)為 2 ，則 13如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是 14已知函數(shù) f（ x） = ，若存在 ，當(dāng) 042 時(shí)，f（ =f（ 則 最大值是 第 3 頁（共 21 頁） 15給出下列命題： 已知 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2），且 P（ 22） = P（ 2） = 函數(shù) f（ x 1）是偶函數(shù)，且在（ 0， +）上單調(diào)遞增，則 f（ 2 ） f（ f（ ）2 已知直線 y 1=0， x+=0，則 3， 其中正確命題的序號(hào)是 （把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上） 三、解答題：本大題共 6小題，滿分 75分 明過程或演算步驟 . 16已知 a， b， c 分別為 個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且 （ ）求 B 的大小； （ ）若 a+c=5 ， b=7，求 的值 17某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校 200 名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行調(diào)查，將收集到的數(shù)據(jù)分成 0， 10）， 10，20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60）六組，并作出頻率分布直方圖（如圖）將日均課外體育鍛煉時(shí)間不低于 40 分鐘的學(xué)生評(píng)價(jià)為 “課外體育達(dá)標(biāo) ” （ 1）請(qǐng)根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的 22 列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過 前提下認(rèn)為 “課外體育達(dá)標(biāo) ”與性別有關(guān)？ 課外體育不 達(dá)標(biāo) 課外體育達(dá)標(biāo) 合計(jì) 男 60 女 110 合計(jì) （ 2）現(xiàn)按照 “課外體育達(dá)標(biāo) ”與 “課外體育不達(dá)標(biāo) ”進(jìn)行分層抽樣，抽取 12 人，再從這 12 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 3 人參加體育知識(shí)問卷調(diào)查，記 “課外體育達(dá)標(biāo) ”的人數(shù)為 ，求 得分布列和數(shù)學(xué)期望 附參考公式與數(shù)據(jù)： P（ K2 4 頁（共 21 頁） 18已知正項(xiàng)等差數(shù)列 首項(xiàng)為 ，前 n 項(xiàng)和為 ， 2， 成等比數(shù)列 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）記 + + + ， + + + ，證明： n 19如圖，三棱柱 ， D、 M 分別為 1B 的中點(diǎn)， 的正三角形， ， （ 1）證明： 平面 （ 2）證明： 平面 3）求二面角 B 余弦值 20已知函數(shù) f（ x） = x2+x （ 1）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）令 g（ x） =f（ x） 問過點(diǎn) P（ 1， 3）存在多少條直線與曲線 y=g（ x）相切？并說明理由 21已知橢圓 C： + =1，（ a b 0）的離 心率為 ， 別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，過點(diǎn) 直線 l 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn) A、 B，若 長(zhǎng)為 4 （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 （ 2） P 是 y 軸上一點(diǎn)，以 鄰邊作平行四邊形 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0， 2）， 1，求平行四邊形 角 長(zhǎng)度取值范圍 第 5 頁（共 21 頁） 2016 年山東省泰安市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 10小題，每小題 5分，共 50分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，得出其共軛復(fù)數(shù) 【解答】 解： = = ， 復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是 + 故選： A 2已知集合 A=x|y= ， B=x|2x 0，則（ ） A AB=B A B=BAB 【考點(diǎn)】 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用 【分析】 求 出集合 A， B，根據(jù)集合包含關(guān)系的定義，可得答案 【解答】 解： 集合 A=x|y= =（ ， 2， B=x|2x 0=（ 0， 2）， 故 BA， 故選： C 3設(shè) ， ， 是非零向量，已知：命題 p： ， ，則 ；命題 q：若 =0， =0 則 =0，則下列命題中真命題是（ ） A p p p） （ q） D p q 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 根據(jù)向量共線的性質(zhì)以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，判斷 真假即可 【解答】 解： ， ， 是非零向量， 若 ， ，則 ；則命題 p 是真命題， 若 =0， =0，則 =0，不一定成立， 比如設(shè) =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， =（ 2， 0），滿足 =0， =0，但 =20，則 =0 不成立， 即命題 q 是假命題， 則 p q 為真命題 ， pq 為假命題，（ p） （ q）， p q 都為假命題， 故選： A 4 =（ ） 第 6 頁（共 21 頁） A B 1C D 1 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值 【分析】 由條件利用兩角和差的三角公式化簡(jiǎn)所給的式子，求得結(jié)果 【解答】 解： =2 =21， 故選： D 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出 i 的值為（ ） A 4B 5C 6D 55 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序，可得程序作用是對(duì)平方數(shù)列求和，當(dāng) i 的值為 5 時(shí)滿足條件，退出循環(huán)，即可得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得程序作用是對(duì)平方數(shù)列求和， 容易得到 0， 5 50， 故輸出 i 的值為 5 故選： B 6在二項(xiàng)式 的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是 32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（ ） A 32B 0C 32D 1 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出 n 的值，再令 x=1 求出展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和 【解答】 解：二項(xiàng)式 的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是 32， 2n=32，解得 n=5； 令 x=1，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（ 312 ） 5=32 第 7 頁（共 21 頁） 故選： C 7如圖，四棱錐 S 底面為正方形， 底面 下列結(jié)論中不正確的是（ ） A 平面 平面 成的角等于 平面 成的角 D 成的角等于 成的角 【考點(diǎn)】 直線與平面垂直的性質(zhì) 【分析】 根據(jù) 底面 面 正 方形，以及三垂線定理，易證 據(jù)線面平行的判定定理易證 平面 據(jù)直線與平面所成角的定義，可以找出 平面 成的角， 平面 成的角，根據(jù)三角形全等，證得這兩個(gè)角相等；異面直線所成的角，利用線線平行即可求得結(jié)果 【解答】 解： 底面 面 正方形， 連接 據(jù)三垂線定理，可得 A 正確； 面 面 平面 B 正確； 底面 平面 成的角， 平面 成的， 而 平面 成的角等于 平面 成的角，故 C 正確； 成的角是 成的角是 而這兩個(gè)角顯然不相等，故 D 不正確； 故選 D 8已知 x， y 滿足條件 ，若 z=mx+y 取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù) ） A 1 或 B 1 或 2C 1 或 2D 2 或 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，得到直線 y=ax+z 斜率的變化，從而求出 a 的取值 第 8 頁（共 21 頁） 【解答】 解：作出不等式組 對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分 由 z=mx+y 得 y= mx+z，即直線的截距最大， z 也最大 若 m 0，目標(biāo)函數(shù) y= mx+z 的斜率 k= m 0，要使 z=mx+y 取得最大值的最優(yōu)解不唯 一， 則直線 z=mx+y 與直線 x y+1=0 平行，此時(shí) m= 2， 若 m 0，目標(biāo)函數(shù) y= mx+z 的斜率 k= m 0，要使 z=y 得最大值的最優(yōu)解不唯一， 則直線 z=mx+y 與直線 x+y 2=0，平行，此時(shí) m= 1， 綜上 m= 2 或 m=1， 故選： B 9已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上，則雙曲線的方程為（ ） A =1B =1 C =1D =1 【考點(diǎn)】 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10，可得 =2，結(jié)合 c2=a2+出 a， b，即可求出雙曲線的方程 【解答】 解： 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上， 第 9 頁（共 21 頁） 令 y=0，可 得 x= 5，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 5， 0）， c=5， 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10， =2， c2=a2+ ， 0， 雙曲線的方程為 =1 故選： A 10 將函數(shù) f（ x） =圖象向右平移 （ 0 ）個(gè)單位后得到函數(shù) g（ x）的圖象若對(duì)滿足 |f（ g（ |=2 的 |x2|，則 =（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 利用三角函數(shù)的最值，求出自變量 后判斷選項(xiàng)即可 【解答】 解：因?yàn)閷⒑瘮?shù) f（ x） =周期為 ，函數(shù)的圖象向右平移 （ 0 ）個(gè)單位后得到函數(shù) g（ x）的圖象若對(duì)滿足 |f（ g（ |=2 的可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為 2，有 |x2|， 不妨 ， ，即 g（ x）在 ，取得最小值， 2 2） = 1，此時(shí) = ，不合題意， ， ，即 g（ x）在 ，取得最大值， 2 2） =1，此時(shí) = ，滿足題意 故選： D 二、填空題：本大題共 5小題，每小題 5分 . 11長(zhǎng)方形 ， ， ， O 為 中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形 隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到 O 的距離大于 1 的概率為 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 本題利用幾何概型 解決，這里的區(qū)域平面圖形的面積欲求取到的點(diǎn)到 O 的距離大于 1 的概率，只須求出圓外的面積與矩形的面積之比即可 【解答】 解：根據(jù)幾何概型得： 取到的點(diǎn)到 O 的距離大于 1 的概率： 第 10 頁（共 21 頁） = = 故答案為： 12已知直線 ax+6=0（ a 0， b 0）被圓 x2+2x 4y=0 截得的弦長(zhǎng)為 2 ，則 【考點(diǎn)】 直線與圓相交的性質(zhì) 【分析】 由圓的方程得到圓的半徑為 ，再由弦長(zhǎng)為 2 得到直線過圓心，即得到 a 與 利用基本不等式即可得到結(jié)論 【解答】 解：圓 x2+2x 4y=0 可化為（ x 1） 2+（ y 2） 2=5，則圓心為（ 1， 2），半徑為 ， 又由直線 ax+6=0（ a 0， b 0）被圓 x2+2x 4y=0 截得的弦長(zhǎng)為 2 ， 則直線 ax+6=0（ a 0， b 0）過圓心，即 a+2b 6=0，亦即 a+2b=6， a 0， b 0， 所以 6=a+2b2 ，當(dāng)且僅當(dāng) a=2b 時(shí)取等號(hào)， 所以 ，所以 最大值為 ， 故答案為： 13如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是 15 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體：左邊是三棱柱、右邊是三棱錐，由三視圖求出幾何元素的長(zhǎng)度，由柱體、錐體的體積公式求出幾何體的體積 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè) 組合體：左邊是三棱柱、右邊是三棱錐， 三棱柱底面是側(cè)視圖：等腰直角三角形，兩條直角邊是 3，三棱柱的高是 3； 三棱錐的底面也是側(cè)視圖，高是 1， 第 11 頁（共 21 頁） 所以幾何體的體積是 V= =15， 故答案為： 15 14已知函數(shù) f（ x） = ，若存在 ，當(dāng) 042 時(shí)，f（ =f（ 則 最大值是 【考點(diǎn)】 分段 函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 由題意作函數(shù) f（ x） = 的圖象，從而可得 1， = ，記 g（ = ，則 g（ = 3 +8 338），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而求得 【解答】 解：由題意作函數(shù) f（ x） = 的圖象如下， ， 結(jié)合圖象可知， 3 +4， 解得， 1， 故 = = +4= ， 記 g（ = ， g（ = 3 +8 338）， 故 g（ 1， 上是增函數(shù)，在（ ， 3上是減函數(shù)， 故 最大值是 g（ ） = ， 故答案為： 第 12 頁（共 21 頁） 15給出下列命題： 已知 服從 正態(tài)分布 N（ 0， 2），且 P（ 22） = P（ 2） = 函數(shù) f（ x 1）是偶函數(shù)，且在（ 0， +）上單調(diào)遞增，則 f（ 2 ） f（ f（ ）2 已知直線 y 1=0， x+=0，則 3， 其中正確命題的序 號(hào)是 （把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上） 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 根據(jù)隨機(jī)變量 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（ 0， 2），得到正態(tài)曲線關(guān)于 =0 對(duì)稱，利用 P（ 2 2） =可求出 P（ 2） 確定函數(shù) f（ x）圖象關(guān)于 x= 1 對(duì)稱，在（ 1， +）上單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論； 已知直線 y 1=0， x+=0，則 a+3b=0 【解答】 解： 隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2）， 正態(tài)曲線關(guān)于 =0 對(duì)稱， P（ 2 2） = P（ 2） = （ 1 =確； 函數(shù) f（ x 1）是偶函數(shù)， f（ x 1） =f（ x 1）， 函數(shù) f（ x）圖象關(guān)于 x= 1 對(duì)稱， 函數(shù) f（ x 1）在（ 0， +）上單調(diào)遞增， 函數(shù) f（ x）在（ 1， +）上單調(diào)遞增， f（ =f（ 3） =f（ 1），（ ） 2 1 2 ， f（ 2 ） f（ f（ ） 2，正確； 已知直線 y 1=0， x+=0，則 a+3b=0，故不正確 故答案為： 三、解答題：本大題共 6小題，滿分 75分 明過程或演算步驟 . 16已知 a， b， c 分別為 個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且 （ ）求 B 的大??； （ ）若 a+c=5 ， b=7，求 的值 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）根據(jù)兩角和差的正弦公式以及正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求 B 的大??； （ ）由余弦定理可求 |42，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解 【解答】 解：（ I）在 ， ， ， B+C）， 由于 ，可得： ， B（ 0， ）， B= ； 第 13 頁（共 21 頁） （ ） B= ， a+c=5 ， b=7， 由余弦定理 b2=a2+2得： 49=a2+ a+c） 2 375 3 解得： 2，即 |42， = |BC| 42 = 21 17某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校 200 名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：分 鐘）進(jìn)行調(diào)查，將收集到的數(shù)據(jù)分成 0， 10）， 10，20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60）六組，并作出頻率分布直方圖（如圖）將日均課外體育鍛煉時(shí)間不低于 40 分鐘的學(xué)生評(píng)價(jià)為 “課外體育達(dá)標(biāo) ” （ 1）請(qǐng)根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的 22 列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過 前提下認(rèn)為 “課外體育達(dá)標(biāo) ”與性別有關(guān)？ 課外體育不達(dá)標(biāo) 課外體育達(dá)標(biāo) 合計(jì) 男 60 30 90 女 90 20 110 合計(jì) 150 50 200 （ 2）現(xiàn)按照 “課外體育達(dá)標(biāo) ”與 “課外體育不達(dá)標(biāo) ”進(jìn)行分層抽樣，抽取 12 人，再從這 12 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 3 人參加體育知識(shí)問卷調(diào)查，記 “課外體育達(dá)標(biāo) ”的人數(shù)為 ，求 得分布列和數(shù)學(xué)期望 附參考公式與數(shù)據(jù)： P（ K2 考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型 隨機(jī)變量的期望與方差 【分析】 （ 1）由題意得 “課外體育達(dá)標(biāo) ”人數(shù)為 50，則不達(dá)標(biāo)人數(shù)為 150，由此列聯(lián)表，求出，從而得到在犯錯(cuò)誤的概率不超過 前提下沒有理由認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo) ”與性別有關(guān) （ 2）由題意得在不達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取的人數(shù)為 9 人，在達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取人數(shù)為 3 人，則 的可能取值為 0， 1， 2， 3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 的分布列和 E（ ） 【解答】 解：（ 1）由題意得 “課外體育達(dá)標(biāo) ”人數(shù)為： 第 14 頁（共 21 頁） 200（ 10=50， 則不達(dá)標(biāo)人數(shù)為 150， 列聯(lián)表如下： 課外體育不達(dá)標(biāo) 課外體育達(dá)標(biāo) 合計(jì) 男 60 30 90 女 90 20 110 合計(jì) 150 50 200 = ， 在犯錯(cuò)誤的概率不超過 前提下沒有理由認(rèn)為 “課外體育達(dá)標(biāo) ”與性別有關(guān) （ 2）由題意得在不達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取的人數(shù)為： 12 =9 人， 在達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取人 數(shù)為： 12 =3 人， 則 的可能取值為 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 的分布列為： 0 1 2 3 P E（ ） = = 18已知正項(xiàng)等差數(shù)列 首項(xiàng)為 ，前 n 項(xiàng)和為 ， 2， 成等比數(shù)列 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）記 + + + ， + + + ，證明： n 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 【分析】 （ 1）通過設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列 公差為 d，并利用首項(xiàng)和公差 d 表示出 過 ， 2， 成等比數(shù)列構(gòu)造方程，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論； 第 15 頁（共 21 頁） （ 2）通過（ 1）可知 = ，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算可知 ，通過裂項(xiàng)可知 = ，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論 【解答】 （ 1）解：設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列 公差為 d，則 d0， 依題意， +d， +5d， ， 2， 成等比數(shù)列， （ 6+2d） 2=（ 2+3）（ 10+5d）， 整理得： 36+24d+40+25d，即 4d 14=0， 解得： d=2 或 d= （舍）， 數(shù)列 通項(xiàng)公式 n； （ 2）證明：由（ 1）可知 = = ， 由等比數(shù)列的求和公式可知 + + + = =1 ， = = ， + + + =1 + + =1 ， 顯然，當(dāng) n1 時(shí) ，故 n 19如圖，三棱柱 ， D、 M 分別為 1B 的中點(diǎn)， 的正三角形， ， （ 1）證明： 平面 （ 2）證明： 平面 3）求二面角 B 余弦值 第 16 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）取 中點(diǎn) H，連接 據(jù)線面平行的判定定理即可證明 平面 （ 2）根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系證明三角形是直角三角形，然后結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明 平面 3）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角 B 【解答】 （ 1）證明：取 中點(diǎn) H，連接 D、 M 分別為 1B 的中點(diǎn)， D， D， 則四邊形 平行四邊形， 則 M 面 面 平面 （ 2）證明：取 中點(diǎn) E， 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形， ， ， = ， 則 1+1=5= 則 則 在正三角形 ， ， +1=4= 則 直角三角形， 則 即 11， 平面 3）建立以 E 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 反向延長(zhǎng)線， 別為 x， y， z 軸的空間直角坐標(biāo)系如圖： 則 E（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， C（ 1， 0， 1）， A（ 2， ， 0）， 0， ， 0）， 則設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， =（ 1， ， 0）， =（ 0， 0， 1）， 則 ，即 ， 令 y=1，則 x= ， z=0，即 =（ ， 1， 0）， 平面 （ x， y， z）， =（ 1， ， 1）， =（ 2， 0， 0）， 第 17 頁（共 21 頁） 則 ，得 ，即 ， 令 y=1，則 z= ， x=0，即 =（ 0， 1， ）， 則 ， = = = = ， 即二面角 B 余弦值是 20已知函數(shù) f（ x） = x2+x （ 1）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）令 g（ x） =f（ x） 問過點(diǎn) P（ 1， 3）存在多少條直線與曲線 y=g（ x）相切？并說明理由 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 m 的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （ 2）設(shè)切點(diǎn)為（ x0+求出切線斜率 K，求出切線方程，切線過點(diǎn) P（ 1， 3） ，推出關(guān)系式，構(gòu)造函數(shù) g（ x）（ x 0），求出導(dǎo)函數(shù)，通過討論 當(dāng) m 0 時(shí)，判斷 g（ x）單調(diào)性，說明方程 g（ x） =0 無解，切線的條數(shù)為 0， 當(dāng) m 0 時(shí)，類比求解，推出當(dāng) m 0時(shí)，過點(diǎn) P（ 1， 3）存在兩條切線， 當(dāng) m=0 時(shí)， f（ x） =x，說明不存在過點(diǎn) P（ 1， 3）的切線 【解答】 解：（ 1） f（ x） = x2+x，（ x 0）， f（ x） =x+ +1= = ， m0 時(shí)， f（ x） 0，函數(shù)在（ 0， +）遞增， m 0 時(shí)，令 f（ x） 0，解得： x ， 令 f（ x） 0，解得： x ， f（ x）在（ 0， ）遞減，在（ ， +）遞增； 第 18 頁（共 21 頁） （ 2）設(shè)切點(diǎn)為（ x0+則切線斜率 k=1+ ， 切線方程為 y（ x0+=（ 1+ ）（ x 因?yàn)榍芯€過點(diǎn) P（ 1， 3），則 3（ x0+=（ 1+ ）（ 1 即 m（ 1） 2=0 令 g（ x） =m（ 1） 2（ x 0），則 g（ x） =m（ ） = ， 當(dāng) m 0 時(shí)，在區(qū)間（ 0， 1）上， g（ x） 0， g（ x）單調(diào)遞增； 在區(qū)間（ 1， +）上， g（ x） 0， g（ x）單調(diào)遞減， 所以函數(shù) g（ x）的最大值為 g（ 1） = 2 0 故方程 g（ x） =0 無解，即不存在 足 式 因此當(dāng) m 0 時(shí)，切線的條數(shù)為 0 當(dāng) m 0 時(shí)，在區(qū) 間（ 0， 1）上， g（ x） 0， g（ x）單調(diào)遞減， 在區(qū)間（ 1， +）上， g（ x） 0， g（ x）單調(diào)遞增， 所以函數(shù)