第 1 頁（共 17 頁） 2015年河北省廊坊市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求 . 1若命題 p： x R， 3x+5 0，則該命題的否定是（ ） A x R， 3x+5 0 B x R， 3x+5 0 C x R， 3x+5 0 D x R， 3x+5 0 2拋物線 的焦點坐標是（ ） A（ 0， 1） B C D 3某商場有 A、 B、 C、 D 四類產(chǎn)品， A、 B、 C、 D 分別有 40， 10， 30， 20 種，現(xiàn)從這抽取一個容量為 20 的樣本，則抽取的 B、 D 兩類產(chǎn)品種數(shù)之和是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 4根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程必過點（ ） x 0 1 2 3 4 y 1 3 4 5 7 A（ 2， 2） B（ 2） C（ 2， 4） D（ 4） 5 “ 是第一象限角 ”是 “關(guān)于 x， y 的方程 所表示的曲線是橢圓 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 6已知雙曲線 的一條漸近線方程為 y=2x，則雙曲線的離心率為（ ） A B C 或 D 2 7閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（ ） 第 2 頁（共 17 頁） A 2 B 4 C 8 D 16 8已知橢圓 與雙曲線 有相同的焦點，則動點 P（ n， m）的軌跡是（ ） A橢圓的一部分 B雙曲線的一部分 C拋物線的一部分 D圓的一部分 9一個圓內(nèi)有一個內(nèi)接等邊三角形， 一動點在圓內(nèi)運動，則此點落在等邊三角形內(nèi)部的概率為（ ） A B C D 10在空間四邊形 ， ， P 在線段 ，且 C 的中點，則 =（ ） A B C D 11在直三棱柱 ABC中，所有的棱長都相等， M 為 BC的中點， N 為 AB的中點，則 成角的余弦值為（ ） A B C D 12設(shè) 別為橢圓 的左右兩個焦點，點 P 為橢圓上任意一點，則使得成立的 P 點的個數(shù)為（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13已知空間向量 ，若 ，則x= 14連續(xù)拋擲 2 顆骰子，則出現(xiàn)朝上的點數(shù)之和等于 8 的概率為 15已知 f（ x） =x5+x+1，應(yīng)用秦九韶算法計算 x=2 時的值時， 值為 16下列四個命題中： 若 p q 為真命題，則 p 與 q 至少有一個為真命題； 統(tǒng)計中用相關(guān)系數(shù) r 來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱，且 r 越大相關(guān)性越強； “若 ，則 x=1”的否命題為真命題； 雙曲線 與雙曲線 有相同的焦點其中真命題的序號為 第 3 頁（共 17 頁） 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17 5000 輛汽車通過某一段公路時的時速頻率分布直方圖如圖所示問： （ 1）求汽車速度在 50， 70）的頻率； （ 2）根據(jù)頻率分布直方圖估算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù) 18如圖， 邊長為 2 的正方形， 平面 平面 成角為 45， G， H 分別為 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求二面角 F E 的大小 19已知橢圓 ，焦點在直線 x 2y 2=0 上，且離心率為 （ 1）求橢圓方程； （ 2）過 P（ 3， 1）作直線 l 與橢圓交于 A， B 兩點， P 為線段 中點，求直線 l 的方程 20某商家開展迎新春促銷抽獎活動 ，小張、小李兩人相約同一天上午去參加抽獎活動 （ 1）若抽獎規(guī)則是從一個裝有 3 個紅球和 4 個白球的袋中又放回地抽取 2 個球，當兩球同色時則中獎，求中獎的概率； （ 2）若小張計劃在 10： 00 10： 40 之間趕到，小李計劃在 10： 20 11： 00 之間趕到，求小張比小李提前到達的概率 21已知拋物線 y2=a 0），過動點 P（ m， 0）且斜率為 1 的直線與該拋物線交于不同的兩點 A， B， | a （ 1）求 m 的取值范圍； （ 2）若線段 垂直平分線交 x 軸于點 Q，求 積的最大值 22如圖所示，在四棱 柱 ，底面 等腰梯形， 0，若 直于平面 ， M 是線段 中點 （ 1）求證： （ 2）設(shè) N 是線段 的一個動點，問當 的值為多少時，可使得 平面 成角的正弦值為 ，并證明你的結(jié)論 第 4 頁（共 17 頁） 第 5 頁（共 17 頁） 2015年河北省廊坊市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求 . 1若命題 p： x R， 3x+5 0，則該命題的否定是（ ） A x R， 3x+5 0 B x R， 3x+5 0 C x R， 3x+5 0 D x R， 3x+5 0 【考點】 命題的否定 【分析】 根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可 【解答】 解：命題是全稱命 題，則命題的否定是特稱命題， 即 x R， 3x+5 0， 故選： A 2拋物線 的焦點坐標是（ ） A（ 0， 1） B C D 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 先根據(jù)標準方程求出 p 值，判斷拋物線 y 的開口方向及焦點所在的坐標軸，從而寫出焦點坐標 【解答】 解： 拋物線 ，即 y 中， p=1， = ，焦點在 y 軸上，開口向上， 焦點坐標為（ 0， ）， 故選： B 3某商場有 A、 B、 C、 D 四類產(chǎn)品， A、 B、 C、 D 分別有 40， 10， 30， 20 種，現(xiàn)從這抽取一個容量為 20 的樣本，則抽取的 B、 D 兩類產(chǎn)品種數(shù)之和是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考點】 分層抽樣方法 【分析】 先計算分層抽樣的抽樣比，再求抽取的 B、 D 兩類產(chǎn)品種數(shù)之和即可 【解答】 解：共有產(chǎn)品 100 種，抽取容量為 20 的樣本，各抽取 = ，故抽取的 B、 D 兩類產(chǎn)品種數(shù)之和為（ 10+10） =6 故選： C 4根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程必過點（ ） x 0 1 2 3 4 第 6 頁（共 17 頁） y 1 3 4 5 7 A（ 2， 2） B（ 2） C（ 2， 4） D（ 4） 【考點】 線性回歸方程 【分析】 由已知表格中的數(shù)據(jù)，我們根據(jù)平均數(shù)公式計算出變量 x， y 的平均數(shù)，根據(jù)回歸直線一定經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)中心點，可得結(jié)論 【解答】 解：由表中數(shù)據(jù)可得： = （ 0+1+2+3+4） =2， = （ 1+3+4+5+7） =4， 回歸直線一定經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)中心點， 故選： C 5 “ 是第一象限角 ”是 “關(guān)于 x， y 的方程 所表示的曲線是橢圓 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合橢圓的方程進行判斷即可 【解答】 解：若 表示的曲線是橢圓， 則滿足 0， 0，且 即 2 2，且 2， k Z， 則 “是第一象限角 ”是 “關(guān)于 x， y 的方程 所表示的曲線是橢圓 ”必要不充分條件， 故選： B 6已知雙曲線 的一條漸近線方程為 y=2x，則雙曲線的離心率為（ ） A B C 或 D 2 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 求出雙曲線的漸近線方程，可得 b=2a，由 a， b， c 的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值 【解答】 解：雙曲線 的漸近線方程為 y= x， 由題意可得 =2，即有 b=2a， c= = a， 可得 e= = ， 故選： A 7閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（ ） 第 7 頁（共 17 頁） A 2 B 4 C 8 D 16 【考點】 循環(huán)結(jié)構(gòu) 【分析】 根據(jù)程序框圖可知，程序運行時，列出數(shù)值 S 與 n 對應(yīng)變化情況，從而求出當 S=2時，輸出的 n 即可 【解答】 解：由框圖可知，程序運行時，數(shù)值 S 與 n 對應(yīng)變化如下表： S 1 2 n 2 4 8 故 S=2 時，輸出 n=8 故選 C 8已知橢圓 與雙曲線 有相同的焦點，則動點 P（ n， m）的軌跡是（ ） A橢圓的一部分 B雙曲線的一部分 C拋物線的一部分 D圓的一部分 【考點】 軌跡方程 【分析】 由橢圓雙曲 線方程可求得焦點坐標，進而根據(jù)有相同的焦點，建立等式求得 m 和 【解答】 解： 橢圓 與雙曲線 有相同的焦點， 9 + m2+（ 0 n 3）這是圓的一部分， 故選： D 第 8 頁（共 17 頁） 9一個圓內(nèi)有一個內(nèi)接等邊三角形，一動點在圓內(nèi)運動，則此點落在等邊三角形內(nèi)部的概率為（ ） A B C D 【考點】 幾何概型 【分析】 根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)的面積進行計算即可 【解答】 解：設(shè)圓的半徑為 R，則圓內(nèi)接等邊三角形的邊長為 R， 則正三角形的面積 S= （ R） 2 = 圓的面積 S= 則點落在等邊三角形內(nèi)部的概率為 P= = ， 故選： B 10在空間四邊形 ， ， P 在線段 ，且 C 的中點，則 =（ ） A B C D 【考點】 空間向量的加減法 【分析】 由于 = ， = ， = ，即可得出 【解答】 解： = ， = = ， = = ， = + + 11在直三棱柱 ABC中，所有的棱長都相等， M 為 BC的中點， N 為 AB的中點，則 成角的余弦值為（ ） A B C D 【考點】 異面直線及其所成的角 【分析】 以 A 為原點，在平面 ，過 A 作 垂線為 x 軸， y 軸， 立空間直角坐標系，利用向量法能求出 成角的余弦值 【解答】 解：以 A 為原點，在平面 ，過 A 作 垂線為 x 軸， y 軸， z 軸， 第 9 頁（共 17 頁） 建立空間直角坐標系， 設(shè)直三棱柱 ABC中，所有的棱長都為 2， 則 A（ 0， 0， 0）， M（ ， ， 2）， B（ ， 1， 0）， N（ ， ， 2）， =（ ）， =（ ， ， 2）， 設(shè) 成角為 ， 則 = = 故選： B 12設(shè) 別為橢圓 的左右兩個焦點，點 P 為橢圓上任意一點，則使得成立的 P 點的個數(shù)為（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) P（ 由 和 P（ 橢圓上任意一點，列出方程組，能求出使得 成立的 P 點的個數(shù) 【解答】 解：設(shè) P（ 別為橢圓 的左右兩個焦點，點 P 為橢圓上任意一點， 4， 0）， 4， 0）， =（ 4 =（ 4 ， （ 4 4 +（ 2= 7，即 =9， 第 10 頁（共 17 頁） 又 設(shè) P（ 橢圓上任意一點， ， 聯(lián)立 ，得： 或 ， 使得 成立的 P 點的個數(shù)為 2 個 故選： C 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13已知空間向量 ，若 ，則 x= 4 【考點】 空間向量的數(shù)量積運算 【分析】 利用向量垂直的性質(zhì)求解 【解答】 解： 空間向量 ， ， = 2（ 1 x） x 2=0， 解得 x=4 故答案為： 4 14連續(xù)拋擲 2 顆骰子，則出現(xiàn)朝上的點數(shù)之和等于 8 的概率為 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 先求出基本事件總數(shù)，再用列舉法求出出現(xiàn)朝上的點數(shù)之和等于 8 的基本事件個數(shù)，由此能求出出現(xiàn)朝上的點數(shù)之和等于 8 的概率 【解答】 解：連續(xù)拋擲 2 顆骰子，基本事件總數(shù) n=6 6=36， 出現(xiàn)朝上的點數(shù)之和等于 8 的基本事件有： （ 2， 6），（ 6， 2），（ 3， 5），（ 5， 3），（ 4， 4），共 5 個， 出現(xiàn)朝上的點數(shù)之和等于 8 的概率為 p= 故答案為： 15已知 f（ x） =x5+x+1，應(yīng)用秦九韶算法計算 x=2 時的值時， 值為 8 【考點】 秦九韶算法 【分析】 由 f（ x） =x5+x+1=（ x+1） x+2） x+4） x+1，即可得出 【解答】 解： f（ x） =x5+x+1=（ x+1） x+2） x+4） x+1， x=2 時， ， 2+1） 2=6， +2=8 故答案為： 8 16下列四個命題中： 若 p q 為真命題，則 p 與 q 至少有一個為真命題； 第 11 頁（共 17 頁） 統(tǒng)計中用相關(guān)系數(shù) r 來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱，且 r 越大相關(guān)性越強； “若 ，則 x=1”的否命題為真命題； 雙曲線 與雙曲線 有相同的焦點其中真命題的序號為 【考點】 復(fù)合命題的真假 【分析】 根據(jù)復(fù)合命題判斷 ，根據(jù)線性關(guān)系判斷 ，根據(jù)對數(shù)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷 ，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷 【解答】 解： 若 p q 為真命題，則 p 與 q 至少有一個為真命題，故 正確； 用相關(guān)指數(shù) |r|來刻畫回歸效果， |r|越大，說明模型的擬合效果越好，故 錯誤； “若 ，則 x=1”的否命題是：若 0，則 x 1 為真命題，故 正確； 雙曲線 中 3，雙曲線 中 3，有相同的焦點，故 正確； 其中真命題的 序號為： ， 故答案為： 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17 5000 輛汽車通過某一段公路時的時速頻率分布直方圖如圖所示問： （ 1）求汽車速度在 50， 70）的頻率； （ 2）根據(jù)頻率分布直方圖估算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù) 【考點】 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；頻率分布直方圖 【分析】 （ 1）由頻率分布直方圖分別求出 50， 60）的頻率和 60， 70）的頻率，由此能求出汽車速度在 50， 70）的頻 率 （ 2）設(shè)中位數(shù)為 x，由頻率分布直方圖可知中位數(shù)落在 60， 70）之間，由此能求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù) 【解答】 解：（ 1）由頻率分布直方圖得 50， 60）的頻率為 10= 60， 70）的頻率為 10= 汽車速度在 50， 70）的頻率為 （ 2）設(shè)中位數(shù)為 x，由頻率分布直方圖可知中位數(shù)落在 60， 70）之間， x 60） 解得 x= 樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 18如圖， 邊長為 2 的正方形， 平面 平面 成角為 45， G， H 分別為 中點 （ 1）求證： 平面 第 12 頁（共 17 頁） （ 2）求二面角 F E 的大小 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中點 P，連接 明四邊形 平行四邊形，可得 用線面平行的判定定理證明： 平面 （ 2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式 ，即可求二面角 FE 的大小 【解答】 （ 1）證明：取 中點 P，連接 中位線， ， 四邊形 平行四邊形 又 面 平面 平面 （ 2）解：如圖建立空間直角坐標系， 由條件可知 B（ 2， 2， 0）， F（ ， 0， 1） 平面 成角為 45，且 平面 D=2 ， E（ 0， 0， 2 ） =（ ， 0， 1）， =（ 2， 2， 0） 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z），則 ， 取 =（ 1， 1， ） 正方形， 又 平面 E=D， 平面 =（ 2， 2， 0）可作為面 一個法向量 ， = 又 二面角 F E 為銳二面角， 其大小為 45 第 13 頁（共 17 頁） 19已知橢圓 ，焦點在直線 x 2y 2=0 上，且離心率為 （ 1）求橢圓方程； （ 2）過 P（ 3， 1）作直線 l 與橢圓交于 A， B 兩點 ， P 為線段 中點，求直線 l 的方程 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）由焦點在直線 x 2y 2=0 上，令 y=0，得焦點（ 2， 0），再由離心率 e= = ，能求出橢圓方程 （ 2）設(shè) A（ B（ 利用點差法能求出 l 的方程 【解答】 （本題滿分 12 分） 解：（ 1） 橢圓 ，焦點在直線 x 2y 2=0 上， 令 y=0，得焦點 （ 2， 0）， c=2， 離心率 e= = ， ，解得 a=4， 6 4=12， 橢圓方程為 （ 2）設(shè) A（ B（ 過 P（ 3， 1）作直線 l 與橢圓交于 A， B 兩點， P 為線段 中點， 由題意， x1+， y1+， ， + =0， = ， 第 14 頁（共 17 頁） l 的方程為： y 1= ，即 9x+4y 31=0 20某商家開展迎新春促銷抽獎活動，小張、小李兩人相約同一天上午去參加抽獎活動 （ 1）若抽獎規(guī)則是從一個裝有 3 個紅球和 4 個白球的袋中又放回地抽取 2 個球，當兩球同色時則中獎，求中獎的概率； （ 2）若小張計劃在 10： 00 10： 40 之間趕到，小李計劃在 10： 20 11： 00 之間趕到，求小張比小李提前到達的概率 【考點】 幾何概型；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 （ 1）根據(jù)古典概型的概率公式進行計算即可 （ 2）根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)事件對應(yīng)區(qū)域的面積進行計算即可 【解答】 解：（ 1）從袋中 7 個球中的摸出 2 個，試驗的結(jié)果共有 7 7=49（種） 中獎的情況分為兩種： （ i） 2 個球都是紅色，包含的基本事件數(shù)為 4 4=16； （ 2 個球都是白色，包含的基本事件數(shù)為 3 3=9 所以，中獎這個事件包含的基本事件數(shù)為 16+9=25 因此，中獎概率為 （ 2）設(shè)小張和小李到達的時間分別為 10 點到 11 點之間的 x， y 分鐘 用（ x， y）表示每次試驗的結(jié)果， 則所有可能結(jié)果為 =（ x， y） |0 x 4 或 0 y 60； 記小張比小李提前到達為事件 A，則事件 A 的可能結(jié)果為 A=（ x， y） |x y， 0 x 4 或 0 y 60； 如圖所示，試驗全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域 為正方形 事件 A 所構(gòu)成區(qū)域是正方形內(nèi)的陰影部分 根據(jù)幾何概型公式，得到 P（ A） = = = 所以，小張比小李提前到達的概率為 21已知拋物線 y2=a 0），過動點 P（ m， 0）且斜率為 1 的直線與該拋物線交于不同的兩點 A， B， | a （ 1）求 m 的取值范圍； （ 2）若線段 垂直平分線交 x 軸于點 Q，求 積的最大值 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 第 15 頁（共 17 頁） 【分析】 （ 1）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去 y，設(shè)直線 l 與拋物線兩個不同的交點坐標為 A， B，進而根據(jù)判別是對大于 0，及 x