第 1 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 2015年河南省駐馬店市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題（每小題 5 分，共 60 分） 1已知集合 ， B=y|y=2x+1， x R，則 R（ AB） =（ ） A（ ， 1 B（ ， 1） C（ 0， 1 D 0， 1 2已知復(fù)數(shù) i，則下列命題中錯(cuò)誤的是（ ） A |C D 為共軛復(fù)數(shù) 3某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（ ） A B 4 C 2 D 4已知等比數(shù)列 公比分別為 q1= an+等比數(shù)列的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 5執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的 N=10，那么輸出的 S=（ ） 第 2 頁(yè)（共 24 頁(yè)） A B C D 6平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（ 3， t）和（ 2t， 4）分別在頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為 x 軸的非負(fù)半軸的角 ， +45的終邊上，則 t 的值為（ ） A 6 或 1 B 6 或 1 C 6 D 1 7已知實(shí)數(shù) x， y 滿(mǎn)足 ，則 z= 的取值范圍是（ ） A 0， B ， 2） C ， D ， +） 8將函數(shù) f（ x） =圖象向右平 移 （ 0 ）個(gè)單位后得到函數(shù) g（ x）的圖象若對(duì)滿(mǎn)足 |f（ g（ |=2 的 |x2|，則 =（ ） A B C D 9已知雙 曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，若其漸進(jìn)線(xiàn)與圓 x2+6y+3=0 相切，則此雙曲線(xiàn)的離心率等于（ ） A B C D 10有 5 盆菊花，其中黃菊花 2 盆、白菊花 2 盆、紅菊花 1 盆，現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2 盆黃菊花必須相鄰， 2 盆白菊花不能相鄰，則這 5 盆花不同的擺放種數(shù)是（ ） 第 3 頁(yè)（共 24 頁(yè)） A 12 B 24 C 36 D 48 11四面體 四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為 2 的球面上，若 兩垂直， =2，則該四面體體積的最大值為（ ） A B C 2 D 7 12若曲線(xiàn) y=a 0）與 曲線(xiàn) y=在公共切線(xiàn)，則 a 的取值范圍為（ ） A B C ， +） D 二、填空題（本大題有 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13如圖，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 1， 0），點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 2， 4），函數(shù) f（ x） =在矩形 隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于 14如圖，在平行四邊形 ，已知 ， ， =3 ， =2，則 的值是 15已知 f（ x） =x，則 f（ x）的最小值為 16數(shù)列 通項(xiàng) an= ，其前 n 項(xiàng)和為 三、解答題（ 6 小題， 70 分） 17如圖， A、 B、 C、 D 為平面四邊形 四個(gè)內(nèi)角 （ ）證明： （ ）若 A+C=180， ， ， ， ，求 值 18某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲，乙兩種芯片，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于 82 為合格品，小于 82 為次品現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種芯片各 100 件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表： 第 4 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 測(cè)試指標(biāo) 70， 76） 76， 82） 82， 88） 88， 94） 94， 100 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 （ I）試分別估計(jì)芯片甲，芯片乙為合格品的概率； （ ）生產(chǎn)一件芯片甲，若是合格品可盈利 40 元，若是次品則虧損 5 元；生產(chǎn)一件芯片乙，若是合格品可盈利 50 元，若是次品則虧損 10 元在（ I）的前提下， （ i）記 X 為生產(chǎn) 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ 生產(chǎn) 5 件芯片乙所獲 得的利潤(rùn)不少于 140 元的概率 19如圖，四棱柱 ， 底面 邊形 梯形， C、 D 三點(diǎn)的平面記為 ， 的交點(diǎn)為 Q （ ）證明： Q 為 中點(diǎn)； （ ）若 ， ，梯形 面積為 6， 0，求平面 與底面 成銳二面角的大小 20已知橢圓 ，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(xiàn) 別于橢圓交于 A、 B 和 C、 D，記得到的平 行四邊形 面積為 S （ 1）設(shè) A（ C（ 用 A、 C 的坐標(biāo)表示點(diǎn) C 到直線(xiàn) 距離，并證明 S=2| （ 2）設(shè) 斜率之積為 ，求面積 S 的值 21設(shè)函數(shù) f （ x） =（ x+1） a （ x 1）在 x=e 處的切線(xiàn)與 y 軸相交于點(diǎn)（ 0， 2 e） （ 1）求 a 的值； （ 2）函數(shù) f （ x）能否在 x=1 處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 （ 3）當(dāng) 1 x 2 時(shí)，試比較 與 大小 選做題（請(qǐng)?jiān)?22、 23、 24 三題中任選一題作答，若多做，則按所做的第一題計(jì)分） 幾何證明選講 22已知 半圓 O 的直徑， ， C 為半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) C 作半圓的切線(xiàn) 點(diǎn)A 作 D，交半圓于點(diǎn) E， （ ）求證： 分 （ ）求 長(zhǎng) 第 5 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23在極坐標(biāo)系中，已知圓 C 的圓心 C（ ， ），半徑 r= （ ）求圓 C 的極坐標(biāo)方程； （ ）若 0， ），直線(xiàn) l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），直線(xiàn) l 交圓 C 于 A、B 兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng) |取值范圍 不等式選講 24函數(shù) f（ x） = （ ）若 a=5，求函數(shù) f（ x）的定義域 A； （ ）設(shè) B=x| 1 x 2，當(dāng)實(shí)數(shù) a， b B（ ，求證： |1+ | 第 6 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 2015年河南省駐馬店市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（每小題 5 分，共 60 分） 1已知集合 ， B=y|y=2x+1， x R，則 R（ AB） =（ ） A（ ， 1 B（ ， 1） C（ 0， 1 D 0， 1 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 求出 A 中不等式的解集確定出 A，求出 B 中 y 的范圍確定出 B，求出 A 與 B 的解集，進(jìn)而確定交集的補(bǔ)角即可 【解答】 解：由 A 中不等式變形得： x（ x 1） 0，且 x 1 0， 解得： x 0 或 x 1，即 A=（ ， 0 （ 1， +）， 由 B 中 y=2x+1 1，即 B=（ 1， +）， AB=（ 1， +）， 則 R（ AB） =（ ， 1， 故選： A 2已知復(fù)數(shù) i，則下列命題中錯(cuò)誤的是（ ） A |C D 為共軛復(fù)數(shù) 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 復(fù)數(shù) i，可得 =| ， =0即可判斷出 【解答】 解 ： 復(fù)數(shù) i， =| ，因此 A， B， D 正確 對(duì)于 C： =0 故選： C 3某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（ ） 第 7 頁(yè)（共 24 頁(yè)） A B 4 C 2 D 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知：該三棱錐的側(cè)面 底面 交線(xiàn) ， ， ， ， B=2據(jù)此即可計(jì)算出其體積 【解答】 解：由三視圖可知：該三棱錐的側(cè)面 底面 交線(xiàn) ， ， ， ， B=2 = =4 故選 B 4已知等比數(shù)列 公比分別為 q1= an+等比數(shù)列的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 利用等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、充要條件的判定即可得出 【解答】 解：等比數(shù)列 公比分別為 q1=q2=q= =q，因此 an+等比數(shù)列； 第 8 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 反之也成立，設(shè) an+公比為 q 等比數(shù)列，則 an+， + = ，對(duì)于 n N*恒成立， q1=q2=q q1= an+等比數(shù)列 的充要條件 故選： C 5執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的 N=10，那么輸出的 S=（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 從賦值框給出的兩個(gè)變量的值開(kāi)始，逐漸分析寫(xiě)出程序運(yùn)行的每一步，便可得到程序框圖表 示的算法的功能 【解答】 解：框圖首先給累加變量 S 和循環(huán)變量 i 賦值， S=0+1=1， k=1+1=2； 判斷 k 10 不成立，執(zhí)行 S=1+ ， k=2+1=3； 判斷 k 10 不成立，執(zhí)行 S=1+ + ， k=3+1=4； 判斷 k 10 不成立，執(zhí)行 S=1+ + + ， k=4+1=5； 第 9 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 判斷 i 10 不成立，執(zhí)行 S= ， k=10+1=11； 判斷 i 10 成立，輸出 S= 算法結(jié)束 故選 B 6平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（ 3， t）和（ 2t， 4）分別在頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為 x 軸的非負(fù)半軸的角 ， +45的終邊上，則 t 的值為（ ） A 6 或 1 B 6 或 1 C 6 D 1 【考點(diǎn)】 兩角和與差的 正切函數(shù)；任意角的三角函數(shù)的定義 【分析】 根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義分別求出 +45），然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值得到一個(gè)關(guān)于 出 后利用 和 +45是始邊為 x 軸的非負(fù)半軸的角，得到滿(mǎn)足題意 t 的值即可 【解答】 解：由題意得 ， +45） = = 而 +45） = = = ，化簡(jiǎn)得： t 6=0 即（ t 1）（ t+6） =0，解得 t=1， t= 6 因?yàn)辄c(diǎn)（ 3， t）和（ 2t， 4）分別在頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為 x 軸的非負(fù)半軸的角 ， +45的終邊上，所以 t= 6 舍去 則 t 的值為 1 故選 D 7已知實(shí)數(shù) x， y 滿(mǎn)足 ，則 z= 的取值范圍是（ ） A 0， B ， 2） C ， D ， +） 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，化 z= =1+ ，由其幾何意義（動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率）得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， A（ 1， 0） z= = ， 第 10 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn) P（ 1， 1）連線(xiàn)的斜率， z 的取值范圍為 ， +） 故選： D 8將函數(shù) f（ x） =圖象向右平移 （ 0 ）個(gè)單位后得到函數(shù) g（ x）的圖象若對(duì)滿(mǎn)足 |f（ g（ |=2 的 |x2|，則 =（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 利用三角函數(shù)的最值，求出自變量 值，然后判斷選項(xiàng)即可 【解答】 解：因?yàn)閷⒑瘮?shù) f（ x） =周期為 ，函數(shù)的圖象向右平移 （ 0 ）個(gè)單位后得到函數(shù) g（ x）的圖象若對(duì)滿(mǎn)足 |f（ g（ |=2 的可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為 2，有 |x2|， 不妨 ， ，即 g（ x）在 ，取得最小值， 2 2） = 1，此時(shí) = ， 不合題意， ， ，即 g（ x）在 ，取得最大值， 2 2） =1，此時(shí) = ，滿(mǎn)足題意 故選： D 9已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，若其漸進(jìn)線(xiàn)與圓 x2+6y+3=0 相切，則此雙曲線(xiàn)的離心率等于 （ ） A B C D 第 11 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 利用雙曲線(xiàn) =1（ a 0， b 0）的一條漸近線(xiàn) y= x 與圓 x2+6y+3=0相切 圓心（ 0， 3）到漸近線(xiàn)的距離等于半徑 r，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和離心率的計(jì)算公式即可得出 【解答】 解：取雙曲線(xiàn) =1（ a 0， b 0）的一條漸近線(xiàn) y= x，即 由圓 x2+6y+3=0 化為 y 3） 2=6圓心（ 0， 3），半徑 r= 漸近線(xiàn)與圓 x2+6y+3=0 相切， = 化為 該雙曲線(xiàn)的離心率 e= = = = 故選： C 10有 5 盆菊花，其中黃菊花 2 盆、白菊花 2 盆、紅菊花 1 盆，現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2 盆黃菊花必須相鄰， 2 盆白菊花不能相鄰，則這 5 盆花不同的擺放種數(shù)是（ ） A 12 B 24 C 36 D 48 【考點(diǎn)】 排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題 【分析】 由題設(shè)中的條件知，可以先把黃 1 與黃 2 必須相鄰，可先將兩者綁定，又白 1 與白2 不相鄰，可把黃 1 與黃 2 看作是一盆菊花，與白 1 白 2 之外的菊花作一個(gè)全排列，由于此兩個(gè)元素隔開(kāi)了三個(gè)空，再由插空法將白 1 白 2 菊花插入三個(gè)空，由分析過(guò)程知，此題應(yīng)分為三步完成，由計(jì)數(shù)原理計(jì)算出結(jié)果即可 【解答】 解：由題意，第一步將黃 1 與黃 2 綁定，兩者的 站法有 2 種，第二步將此兩菊花看作一個(gè)整體， 與除白 1，白 2 之外的一菊花看作兩個(gè)元素做一個(gè)全排列有 站法， 此時(shí)隔開(kāi)了三個(gè)空，第三步將白 1，白 2 兩菊花插入三個(gè)空，排法種數(shù)為 不同的排法種數(shù)為 2 2 6=24 故選 B 11四面體 四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為 2 的球面上，若 兩垂直， =2，則該四面體體積的最大值為（ ） A B C 2 D 7 【考點(diǎn)】 向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 由題意， =c =，進(jìn)而可得 a2+4 2可求出四面體體積的最大值 第 12 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【解答】 解：由題 意， =c =， a2+b2+6， a2+4 2 7， = ， 四面體體積的最大值為 ， 故選： A 12若曲線(xiàn) y=a 0）與曲線(xiàn) y=在公共切線(xiàn)，則 a 的取值范圍為（ ） A B C ， +） D 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程 【分析】 求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo) 函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)相等列方程，再由方程有根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)求得 a 的范圍 【解答】 解：由 y=a 0），得 y=2 由 y= y= 曲線(xiàn) y=a 0）與曲線(xiàn) y=在公共切線(xiàn)，則 設(shè)公切線(xiàn)與曲線(xiàn) 于點(diǎn)（ ），與曲線(xiàn) 于點(diǎn)（ ）， 則 ，將 代入 ，可得 2x2=， a= ，記 ， 則 ，當(dāng) x （ 0， 2）時(shí)， f（ x） 0 當(dāng) x=2 時(shí)， a 的范圍是 ） 故選： C 第 13 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 二、填空題（本大題有 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13如圖，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 1， 0），點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 2， 4），函數(shù) f（ x） =在矩形 隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于 【考點(diǎn)】 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用；幾何概型 【分析】 分別求出矩形和陰影部分的面積，利用幾何概型公式，解答 【解答】 解：由已知，矩形的面積為 4 （ 2 1） =4， 陰影部分的面積為 =（ 4x ） | = ， 由幾何概型公式可得此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于 ； 故答案為： 14如圖，在平行四邊形 ，已知 ， ， =3 ， =2，則 的值是 22 【考點(diǎn)】 向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 由 =3 ，可得 = + ， = ，進(jìn)而由 ， ， =3 ， =2，構(gòu)造方程，進(jìn)而可得答案 【解答】 解： =3 ， = + ， = ， 又 ， ， =（ + ） （ ） =| |2 | |2=25 12=2， 故 =22， 故答案為： 22 15已知 f（ x） =x，則 f（ x）的最小值為 第 14 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 函數(shù)的最值及其幾何意義 【分析】 化簡(jiǎn) f（ x） =x=10x+10 x），從而利用基本不等式求最值 【解答】 解： f（ x） =x =10x+10 x） （當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)，等號(hào)成立）； 故答案為： 16數(shù)列 通項(xiàng) an= ，其前 n 項(xiàng)和為 470 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和 【分析】 利用二倍角公式對(duì)已知化簡(jiǎn)可得， an= =然后代入到求和公式中可得， +32+302出 特殊角的三角函數(shù)值之后，利用平方差公式分組求和即可求解 【解答】 解： an= = +32+302 + = 1+22 2 32） +（ 42+52 62 2） + = （ 12 32） +（ 42 62） +（ 22 32） +（ 52 62） + = 2（ 4+10+16+58）（ 5+11+17+59） = 2 =470 故答案為： 470 三、解答題（ 6 小題， 70 分） 17如圖， A、 B、 C、 D 為平面四邊形 四個(gè)內(nèi)角 （ ）證明： （ ）若 A+C=180， ， ， ， ，求 值 第 15 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)恒等式的證明 【分析】 （ ）直接利用切化弦以及二倍角公式化簡(jiǎn)證明即可 （ ）通過(guò) A+C=180，得 C=180 A， D=180 B，利用（ ）化簡(jiǎn) ，連結(jié) ，利用余弦定理求出 結(jié) 出 后求解即可 【解答】 證明：（ ） = = 等式成立 （ ）由 A+C=180，得 C=180 A， D=180 B，由（ ）可知： = ，連結(jié) ，有 2， ， ， ， 在 ，有 2 所以 22 則： = = 于是 = ， 連結(jié) 理可 得： = = ， 于是 = 所以 = = 18某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲，乙兩種芯片，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于 82 為合格品，小于 82 為次品現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種芯片各 100 件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表： 測(cè)試指標(biāo) 70， 76） 76， 82） 82， 88） 88， 94） 94， 100 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 第 16 頁(yè)（共 24 頁(yè)） （ I）試分別估計(jì)芯片甲，芯片乙為合格品的概率； （ ）生產(chǎn)一件芯片甲，若是合格品可盈利 40 元，若是次品則虧損 5 元；生產(chǎn)一件芯片乙，若是合格品可盈利 50 元，若是次品則虧損 10 元在（ I）的前提下， （ i）記 X 為生產(chǎn) 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ 生產(chǎn) 5 件芯片乙所獲得的利潤(rùn)不少于 140 元的概率 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；等可能事件的 概率 【分析】 （ ）分布求出甲乙芯片合格品的頻數(shù)，然后代入等可能事件的概率即可求解 （ ）（ ）先判斷隨機(jī)變量 X 的所有取值情況有 90， 45， 30， 15，然后分布求解出每種情況下的概率，即可求解分布列及期望值 （ ）設(shè)生產(chǎn)的 5 件芯片乙中合格品 n 件，則次品有 5 n 件由題意，得 50n 10（ 5 n） 140，解不等式可求 n ，然后利用獨(dú)立事件恰好發(fā)生 k 次的概率公式即可求解 【解答】 解：（ ）芯片甲為合格品的概率約為 ， 芯片乙為合格品的概率約為 （ ）（ ）隨機(jī)變量 X 的所有取值為 90， 45， 30， 15. ； ； 所以，隨機(jī)變量 X 的分布列為： X 90 45 30 15 P （ ）設(shè)生產(chǎn)的 5 件芯片乙中合格品 n 件，則次品有 5 n 件 依題意，得 50n 10（ 5 n） 140，解得 所以 n=4，或 n=5 設(shè) “生產(chǎn) 5 件芯片乙所獲得的利潤(rùn)不少于 140 元 ”為事件 A， 則 19如圖，四棱柱 ， 底面 邊形 梯形， C、 D 三點(diǎn)的平面記為 ， 的交點(diǎn)為 Q （ ）證明： Q 為 中點(diǎn)； （ ）若 ， ，梯形 面積為 6， 0，求平面 與底面 成銳二面角的大小 第 17 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法 【分析】 （ 1）由已知得平面 平面 而 此能證明 Q 為 中點(diǎn) （ 2）法一：在 ，作 足為 E，連接 平面 與底面 此求出平面 與底面 成二面角的大小 （ 3）法二：以 D 為原點(diǎn)， 別為 x 軸和 z 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出平面 與底面 成二面角的大小 【解答】 （ 1）證明： Q=B， ， 平面 平面 平面 這兩個(gè)平面的交線(xiàn)相互平行， 即 對(duì)應(yīng)邊相互平行， ， Q 為 中點(diǎn) （ 2）解法一：如圖 1 所示，在 ，作 足為 E，連接 又 E=A， 所以 平面 以 所以 平面 與底面 成二面角的平面角 因?yàn)?以 S S 又因?yàn)樘菪?面積為 6， ， 所以 S ， 于是 =1， 故平面 與底面 成二面角的大小為 （ 3）解法二：如圖 2 所示， 以 D 為原點(diǎn)， 別為 x 軸和 z 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè) ， BC=a，則 a 因?yàn)?S 四邊形 26， 所以 a= 第 18 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 從而可得 C（ 1， ， 0）， ， 0， 4）， 所以 1， ， 0）， =（ ， 0， 4） 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， 1）， 由 ， 得 ， 所以 =（ ， ， 1） 又因?yàn)槠矫?法向量 =（ 0， 0， 1）， 所以 ， = = ， 故平面 與底面 成二面角的大小為 20已知橢圓 ，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(xiàn) 別于橢圓交于 A、 B 和 C、 D，記得到的平行四邊形 面積為 S 第 19 頁(yè)（共 24 頁(yè)） （ 1）設(shè) A（ C（ 用 A、 C 的坐標(biāo)表示點(diǎn) C 到直線(xiàn) 距離，并證明 S=2| （ 2）設(shè) 斜率之積為 ，求面積 S 的值 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式 【分析】 （ 1）依題意，直線(xiàn) 方程為 y= x，利用點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離公式可求得點(diǎn) C 到直線(xiàn) 距離 d= ，再利用 |2|2 ，可證得S=|AB|d=2|當(dāng) 的斜率之一不存在時(shí)，同理可知結(jié)論成立； （ 2）方法一：設(shè)直線(xiàn) 斜率為 k，則直線(xiàn) 斜率為 ，可得直線(xiàn) 方程，聯(lián)立方程組 ，可求得 而可求得答案 方法二：設(shè)直線(xiàn) 斜率分別為 、 ，則 = ，利用 A（ C（ x2，橢圓 上，可求得面積 S 的值 【解答】 解：（ 1）依題意，直線(xiàn) 方程為 y= x，由點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離公式得：點(diǎn) C 到直線(xiàn) 距離 d= = ， 因?yàn)?|2|2 ，所以 S=|AB|d=2| 當(dāng) 的斜率之一不存在時(shí)，同理可知結(jié)論成立； （ 2）方法一：設(shè)直線(xiàn) 斜率為 k，則直線(xiàn) 斜率為 ， 設(shè)直線(xiàn) 方程為 y=立方程組 ，消去 y 解得 x= ， 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，設(shè) ，則 ， 同理可得 ， ，所以 S=2| 第 20 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 方法二：設(shè)直線(xiàn) 斜率分別為 、 ，則 = ， 所以 2 =4 = 2 A（ C（ 橢圓 上， （ ）（ ） = +4 +2（ + ） =1， 即 4（ + ） =1， 所以（ 2= ，即 | ， 所以 S=2| 21設(shè)函數(shù) f （ x） =（ x+1） a （ x 1）在 x=e 處的切線(xiàn)與 y 軸相交于點(diǎn)（ 0， 2 e） （ 1）求 a 的值； （ 2）函數(shù) f （ x）能否在 x=1 處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 （ 3）當(dāng) 1 x 2 時(shí)，試比較 與 大小 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方 程 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線(xiàn)的斜率，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算化簡(jiǎn)即可得到a=2； （ 2）函數(shù) f （ x）不能在 x=1 處取得極值求出導(dǎo)數(shù)，討論 x 1， 0 x 1 函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論； （ 3）當(dāng) 1 x 2 時(shí)， 運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論 【解答】 解：（ 1） f（ x） =+1 a， 依題設(shè)得 =f（ e），即 e+1 a（ e 1）（ 2 e） =e ， 解得 a=2； （ 2）函數(shù) f （ x）不能在 x=1 處取得極值 因?yàn)?f（ x） = 1，記 g（ x） =ln x+ 1，則 g（ x） = 當(dāng) x 1 時(shí)， g（ x） 0，所以 g（ x）在（ 1， +）是增函數(shù)， 所以 g（ x） g（ 1） =0，所以 f（ x） 0； 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， g（ x） 0，所以 g（ x）在（ 0， 1）是減函數(shù)， 所以 g（ x） g（ 1） =0，即有 f（ x） 0 由 得 f （ x）在（ 0， +）上是增函數(shù)， 第 21 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 所以 x=1 不是函數(shù) f （ x）極值點(diǎn) （ 3）當(dāng) 1 x 2 時(shí)， 證明如下：由（ 2）得 f （ x）在（ 1， +）為增函數(shù)， 所以當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） f （ 1） =0 即（ x+1） 2（ x 1），所以 因?yàn)?1 x 2，所以 0 2 x 1， 1，所以 = ， 即 +得 + = 選做題（請(qǐng)?jiān)?22、 23、 24 三題中任選一 題作答，若多做，則按所做的第一題計(jì)分） 幾何證明選講 22已知 半圓 O 的直徑， ， C 為半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) C 作半圓的切線(xiàn) 點(diǎn)A 作 D，交半圓于點(diǎn) E， （ ）求證： 分 （ ）求 長(zhǎng) 【考點(diǎn)】 圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理的證明；圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定 【分析】 （ ）連接 為 C，所以 證明 可證得分 （ ）由（ ）知 ，從而 E，利