第 1 頁（共 17 頁） 2015年河南省駐馬店市高一（下）期末數(shù)學試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。 1若向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 1），則 2 =（ ） A（ 5， 3） B（ 5， 1） C（ 1， 3） D（ 5， 3） 2 值是（ ） A B C D 3一個年級有 12 個班，每個班的同學從 1 至 50 排學號，為了交流學習經驗，要求每班學號為 14 的同學留下進行交流，這里運用的是（ ） A系統(tǒng)抽樣 B分層抽樣 C抽簽抽樣 D隨機抽樣 4一扇形的中心角為 2，對應的弧長為 4，則此扇形的面積為（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 s 值為（ ） A 3 B C D 2 6甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均環(huán)數(shù) x 差 這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目比賽，最佳人選是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 7函數(shù) y= ， 上的圖象是（ ） A B CD 第 2 頁（共 17 頁） 8某高校進行自主招生，先從報名者中篩選出 400 人參加筆試，再按筆試 成績擇優(yōu)選出 100人參加面試現(xiàn)隨機抽取 24 名筆試者的成績，如表所示： 分數(shù)段 60，65） 65，70） 70，75） 75，80） 80，85） 85，90） 人數(shù) 2 3 4 9 5 1 據(jù)此估計允許參加面試的分數(shù)線大約是（ ） A 90 B 85 C 80 D 75 9已知函數(shù) f（ x） =x+）， x R（其中 0， | ）的部分圖象如圖所示設點 C（ ， 4）是圖象上 y 軸右側的第一個最高點， 面積是（ ） A 3 B 4 C 6 D 12 10有長度分別為 13579五條線段，任取三條線段，能以它們構成三角形的概率是（ ） A B C D 11已知實數(shù) a， b 均不為零， = 2= ，則 =（ ） A B C D 12已知 O 是三角形 部一點，滿足 +2 +m = ， = ，則實數(shù) m=（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 二、 填空題 :本大題共 4 小題。每小題 5 分，共 20 分 . 13某電視傳媒公司為了了解某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了 100 名觀眾進行調查，如圖是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該類體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖，其中收看時間分組區(qū)間是： 0， 10）， 10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60將日均收看該類體育節(jié)目時間不低于 40 分鐘的觀眾稱為 “體育迷 ”則抽取的 100 名觀眾中 “體育迷 ”有 名 第 3 頁（共 17 頁） 14在區(qū)間 1， 3上任取一個實數(shù)，則該數(shù)是不等式 4 的解的概率為 15已知在 ， A= ， ， ， = ， = ， = ，則 的值為 16下面有五個命題： 函數(shù) y=最小正周期是 ； = 函數(shù) y=圖象均關于點（ ， 0）成中心對稱； 把函數(shù) y=32x+ ）的圖象向右平移 個單位得到 y=3圖象 其中正確命題的編號是 （寫出所有正確命題的編號） 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分。解答寫出文字說明、證明或驗算步驟 17已知向量 =（ 1， 2）， =（ x， 1）， = +2 ， =2 （ ）當 時，求 x 的值； （ ）當 時且 x 0 時，求向量 與 的夾角 18如圖，點 A， B 是單位圓上的兩點， A， B 兩點分別在第一、二象限，點 C 是圓與 x 軸正半軸的交點，角 ，若點 A 的坐標為（ ， ），記 （ ）求 的值； （ ）求點 B 的坐標 19某種產品的廣告費用支出 x 萬元與銷售額 y 萬元之間有如下的對應數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （ 1）畫出散點圖； （ 2）求回歸直線方程； （ 3）據(jù)此估計廣告費用為 12 萬元時，銷售收入 y 的值 第 4 頁（共 17 頁） 20已知向量 =（ =（ 1， 函數(shù) f（ x） =2 +m，且當 x 0，時， f（ x）的最小值為 2 （ ）求 m 的值，并求 f（ x）圖象的對稱軸方程； （ ）設函數(shù) g（ x） =f（ x） 2 f（ x）， x 0， ，求 g（ x）的最大值 21某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取 60 名學生，將其數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六組 90， 100）， 100， 110）， ， 140， 150后得到如圖部分頻率分布直方圖觀察圖形的信息，回答下列問題 （ ）從該校高三模擬考試的成績中隨機抽取一份，利用隨機事件頻率估計概率，求數(shù)學分數(shù)恰在 120， 130）內的頻率； （ ）估計本次考試的中位數(shù)； （ ）用分層抽樣的方法在分數(shù)段為 110， 130）的學生中抽取一個容量為 6 的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取 2 人，求至多有 1 人在分數(shù)段 120， 130）內的概率 22已知 A（ f（ B（ f（ 是函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0， 0）圖象上的任意兩點，且初相 的終邊經過點 P（ 1， ），若 |f（ f（ |=4時， |最小值為 （ ）求函數(shù) f（ x）的解析式； （ ）當 x 0， 時，求函數(shù) f（ x）的單調遞增區(qū)間； （ ）當 x 0， 時，不等式 x） +2m f（ x）恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍 第 5 頁（共 17 頁） 2015年河南省駐馬店市高一（下）期末數(shù)學試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。 1若向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 1），則 2 =（ ） A（ 5， 3） B（ 5， 1） C（ 1， 3） D（ 5， 3） 【考點】 平面向量的坐標運算 【分析】 直接利用向量的坐標運算求解即可 【解答】 解：向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 1），則 2 =（ 2， 4）（ 3， 1） =（ 5， 3） 故選： A 2 值是（ ） A B C D 【考點】 兩角和與差的正弦函數(shù) 【分析】 由條件利用兩角和的正弦公式化簡所給的式子，可得結果 【解答】 解： 30+15） = ， 故選： C 3一個年級有 12 個班，每個班的同學從 1 至 50 排學號，為了交流學習經驗，要求每班學號為 14 的同學留下進行交流，這里運用的是（ ） A系統(tǒng)抽樣 B分層抽樣 C抽簽抽樣 D隨機抽樣 【考點】 系統(tǒng)抽樣方法；收集數(shù)據(jù)的方法 【分析】 學生人數(shù)比較多，把每個班級學生從 1 到 50 號編排，要求每班編號為 14 的同學留下進行交流，這樣選出的樣本是具有相同的間隔的樣本，是采用系統(tǒng)抽樣的方法 【解答】 解：當總體容量 N 較大時，采用系統(tǒng)抽樣將總體分段，分段的間隔要求相等，這時間隔一般為預先制定的，在第 1 段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號 本題中，把每個班級學生從 1 到 50 號編排， 要求每班編號為 14 的同學留下進行交流， 這樣選出的樣本是采用系統(tǒng)抽樣的方法， 故選 A 4一扇形的中心角為 2，對應的 弧長為 4，則此扇形的面積為（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考點】 扇形面積公式 【分析】 通過弧長公式求出半徑，再由扇形面積公式求出結果 【解答】 解： 弧長 l=|r=2r=4 第 6 頁（共 17 頁） r=2 由扇形的面積公式可得： S= 4 2=4， 故選： C 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 s 值為（ ） A 3 B C D 2 【考點】 循環(huán)結構 【分析】 i=0，滿足條件 i 4，執(zhí)行循環(huán)體，依此類推，當 i=4， s=2，此時不滿足條件 i 4，退出循環(huán)體，從而得到所求 【解答】 解： i=0，滿足條件 i 4，執(zhí)行循環(huán)體， i=1， s= 滿足條件 i 4，執(zhí)行循環(huán)體， i=2， s= 滿足條件 i 4，執(zhí)行循環(huán)體， i=3， s= 3 滿足條件 i 4，執(zhí)行循環(huán)體， i=4， s=2 不滿足條件 i 4，退出循環(huán)體，此時 s=2 故選： D 6甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均環(huán)數(shù) x 差 這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目比賽，最佳人選是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【考點】 極差、方差與標準差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 丙的射擊水平最高且成績最穩(wěn)定，故從這四個人中選擇 一人參加該運動會射擊項目比賽，最佳人選是丙 【解答】 解： 甲、乙、丙、丁四人的平均環(huán)數(shù)乙和丙均為 ，最大， 甲、乙、丙、丁四人的射擊環(huán)數(shù)的方差中丙最小， 丙的射擊水平最高且成績最穩(wěn)定， 從這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目比賽， 第 7 頁（共 17 頁） 最佳人選是丙 故選： C 7函數(shù) y= ， 上的圖象是（ ） A B CD 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 本題可采用排除法解答，先分析出函數(shù)的奇偶性，再求出 和 f（ ）的值，排除不滿足條件的答案，可得結論 【解答】 解： y=x 和 y=為奇函數(shù) 根據(jù) “奇 奇 =偶 ”可得函數(shù) y=f（ x） =偶函數(shù)， 圖象關于 y 軸對稱，所以排除 D 又 ，排除 B 又 f（ ） =，排除 C， 故 選 A 8某高校進行自主招生，先從報名者中篩選出 400 人參加筆試，再按筆試成績擇優(yōu)選出 100人參加面試現(xiàn)隨機抽取 24 名筆試者的成績，如表所示： 分數(shù)段 60，65） 65，70） 70，75） 75，80） 80，85） 85，90） 人數(shù) 2 3 4 9 5 1 據(jù)此估計允許參加面試的分數(shù)線大約是（ ） A 90 B 85 C 80 D 75 【考點】 頻率分布表 【分析】 根據(jù)題意，求出參加面試的頻率，再計算對應頻率的分數(shù)段，即可得出分數(shù)線大約是多少 【解答】 解：參加面試的頻率 為 = 樣本中 80， 90）的頻率為 = 由樣本估計總體知，分數(shù)線大約為 80 分 故選： C 9已知函數(shù) f（ x） =x+）， x R（其中 0， | ）的部分圖象如圖所示設點 C（ ， 4）是圖象上 y 軸 右側的第一個最高點， 面積是（ ） 第 8 頁（共 17 頁） A 3 B 4 C 6 D 12 【考點】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出 A，根據(jù)五點法作圖求得 的值，可得函數(shù) f（ x）的解析式，從而求得 面積是 D 的值 【解答】 解：由題意可得 += ，求得 = 再根據(jù)點 C 是最高點可得 A=4，函數(shù) f（ x） =4x+ ） 又 T= =3， 可得 面積是 D=6， 故選： C 10有長度分別為 13579五條線段，任取三條線段，能以它們構成三角形的概率是（ ） A B C D 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事 件發(fā)生的概率 【分析】 統(tǒng)計出從 511 條線段中抽取 3 條線段的所有可能情況，再統(tǒng)計出能構成三角形的三條線段的所有組合，利用概率公式解答即可 【解答】 解：從長度分別為 13579 4 條線段中任取 3 條，所有的取法有 =10 種，能構成三角形的有以下情況 357 379 579 P= 故選 C 11已知實數(shù) a， b 均不 為零， = 2= ，則 =（ ） A B C D 【考點】 正弦定理 【分析】 由題意和兩角和的正 切公式求出 用商的關系化簡已知的等式，即可求出的值 第 9 頁（共 17 頁） 【解答】 解：由 2= 得， 2+ ） = ， = = ， 則 = ， 故選 D 12已知 O 是三角形 部一點，滿足 +2 +m = ， = ，則實數(shù) m=（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點】 向量的線性運算性質及幾何意義 【分析】 根據(jù)條件可以得出 ，并設 ，這樣即可得出 A， B，M 三點共線，畫出圖形，并得到 ，從而解出 m 的值 【解答】 解：如圖，令 ，則： A， B， M 三點共線； 與 共線反向， ； ； 解得 m=4 故選 C 二、填空題 :本大題共 4 小題。每小題 5 分，共 20 分 . 13某電視傳媒公司為了了解某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了 100 名觀眾進行調查，如圖是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該類體育節(jié)目時間 的頻率分布直方圖，其中收看時第 10 頁（共 17 頁） 間分組區(qū)間是： 0， 10）， 10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60將日均收看該類體育節(jié)目時間不低于 40 分鐘的觀眾稱為 “體育迷 ”則抽取的 100 名觀眾中 “體育迷 ”有 15 名 【考點】 頻率分布直方圖 【分析】 由頻率分布直方圖先求出 “體育迷 ”的頻率，由此能求出抽取的 100 名觀眾中 “體育迷 ”有多少名 【解答】 解：由頻率分布直方圖得： “體育迷 ”的頻率為： 1（ 10= 抽取的 100 名觀眾中 “體育迷 ”有 100 5 名 故答案為： 15 14在區(qū)間 1， 3上任取一個實數(shù)，則該數(shù)是不等式 4 的解的概率為 【考點】 幾何概型 【分析】 根據(jù)題意利用幾何概型計算對應的概率值即可 【解答】 解：在區(qū)間 1， 3范圍內，不等式 4 的解集為 1， 2， 所以，所求的概率為 P= = 故答案為： 15已知在 ， A= ， ， ， = ， = ， = ，則 的值為 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 首先建立平面直角坐標系，根據(jù)向量間的關系式，求出向量的坐標，最后求出向量的數(shù)量積 【解答】 解：在 ， A= ， 第 11 頁（共 17 頁） 建立直角坐標系， ， ， = ， = ， = ， 根據(jù)題意得到： 則： A（ 0， 0）， F（ 0， 1）， D（ 1， ）， E（ 2， 0） 所以： ， 所以： 故答案為： 16下面有五個命題： 函數(shù) y=最小正周期是 ； = 函數(shù) y=圖象均關于點（ ， 0）成中心對稱； 把函數(shù) y=32x+ ）的圖象向右平移 個單位得到 y=3圖象 其中正確命題的編號是 （寫出所有正確命題的編號） 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 將三角函數(shù)進行化簡，結合周期公式進行求解 利用三角函數(shù)的誘導公式進行化簡即可 利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡，結合三角函數(shù)的對稱性進行求解 根據(jù)三角函數(shù)的圖象關系進行 平移化簡即可 【解答】 解： 函數(shù) y= 函數(shù)的最小正周期是 T=；故 正確， = = 錯誤 函數(shù) y=x+ ），由 x+ = x=， k Z，則函數(shù)的圖象均關于點（ ， 0）不成中心對稱；故 錯誤， 把函數(shù) y=32x+ ）的圖象向右平移 個單位得到 y=3（ x ） + =3 正確， 故答案為： 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分。解答寫出文字說明、證明或驗算步驟 17已知向量 =（ 1， 2）， =（ x， 1）， = +2 ， =2 （ ）當 時，求 x 的值； 第 12 頁（共 17 頁） （ ）當 時且 x 0 時，求向量 與 的夾角 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 （ ）進行向量坐標的加法和減法運算便可求出 的坐標，根據(jù)向量平行時的坐標關系即可求出 x 的值； （ ）根據(jù)向量垂直時的坐標關系即可求出 x 的值，從而得出向量 的坐標，進而求出，這樣便可得出向量 的夾角 【解答 】 解：（ ）根據(jù)條件， ， ； 時， 3（ 1+2x） 4（ 2 x） =0； ； （ ）當 時， ； 解得 x= 2，或 （舍去）； ； ； 18如圖，點 A， B 是單位圓上的兩點， A， B 兩點分別在第一、二象限，點 C 是圓與 x 軸正半軸的交點，角 ，若點 A 的坐標為（ ， ），記 （ ）求 的值； （ ）求點 B 的坐標 【考點】 同角三角函數(shù)基本關系的運用 【分析】 （ ）由已知，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求 值，利用二倍角公式即可計算得解 （ ）利用特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)余弦函數(shù)公式分別求出 值即可得解 【解答】 （本題滿分為 12 分） 第 13 頁（共 17 頁） 解：（ ） A 的坐標為（ ， ），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知： ， ， = =326 分 （ ） 角 ， + ） = ， + ） = ， 點 B（ ， ） 12 分 19某種產品的廣告費用支出 x 萬元與銷售額 y 萬元之間有如下的對應數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （ 1）畫出散點圖； （ 2）求回歸直線方程； （ 3）據(jù)此估計廣告費用為 12 萬元時，銷售收入 y 的值 【考點】 回歸分析的初步應用；線性回歸方程 【分析】 （ 1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，寫出 5 組坐標，作出散點圖如圖所示 （ 2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)先做出橫標和縱標 的平均數(shù)，利用最小二乘法寫出線性回歸方程系數(shù)的表達式，把樣本中心點代入求出 a 的值，得到線性回歸方程 （ 3）根據(jù)所給的變量 x 的值，把值代入線性回歸方程，得到對應的 y 的值，這里的 y 的值是一個預報值 【解答】 解：（ 1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，寫出 5 組坐標，作出散點圖如圖所示： （ 2）求回歸直線方程 =50 b= = a=50 5= 因此回歸直線方程為 y= （ 3）當 x=12 時，預報 y 的值為 y=12 元 即廣告費用為 12 萬元時，銷售收入 y 的值大約是 元 第 14 頁（共 17 頁） 20已知向量 =（ =（ 1， 函數(shù) f（ x） =2 +m，且當 x 0，時， f（ x）的最小值為 2 （ ）求 m 的值，并求 f（ x）圖象的對稱軸方程； （ ）設函數(shù) g（ x） =f（ x） 2 f（ x）， x 0， ，求 g（ x）的最大值 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用；平面向量數(shù)量積的運算；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 （ ）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算，利用三角恒等變換公式，即可求出結果； （ ）求出 f（ x）的值域，再用換元法計算設 f（ x） =t，求 y=g（ t）的最大值即可 【解答】 解：（ ） =（ =（ 1， f（ x） =2 +m =2 m =m+1 =22x+ ） +m+1， 又 x 0， ， 2x+ ） ， 1， f（ x）的最小值為 m+2=2，解得 m=0； f（ x） =22x+ ） +1； 令 2x+ =， k Z， 得 f（ x）圖象的對稱軸方程為 x= + ， k Z； （ ）由（ ）知 x 0， 時， 2x+ ） ， 1， f（ x） 2， 3； 設 f（ x） =t，則 y=g（ t） =t， t 2， 3， t=3 時 y 取得最大值 6； 即函數(shù) g（ x）的最大值為 6 21某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取 60 名學生，將其數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六組 90， 100）， 100， 110）， ， 140， 150后得到如圖部分頻率分布直方圖觀察圖形的信息，回 答下列問題 （ ）從該校高三模擬考試的成績中隨機抽取一份，利用隨機事件頻率估計概率，求數(shù)學分數(shù)恰在 120， 130）內的頻率； （ ）估計本次考試的中位數(shù)； （ ）用分層抽樣的方法在分數(shù)段為 110， 130）的學生中抽取一個容量為 6 的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取 2 人，求至多有 1 人在分數(shù)段 120， 130）內的概率 第 15 頁（共 17 頁） 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖 【分析】 （ ）利用頻率分布直方圖能求出分數(shù)在 120， 130） 內的頻率 （ ）由頻率分布直方圖能估計本次考試的中位數(shù) （ ） 110， 120）分數(shù)段的人數(shù)為 9 人，在 120， 130）分數(shù)段的人數(shù)為 18 人，用分層抽樣的方法在分數(shù)段為 110， 130）的學生中抽取一個容量為 6 的樣本，需在 110， 120）分數(shù)段內抽取兩人，在 120， 130）分數(shù)段內抽取 4 人，由此能求出至多有 1 人在分數(shù)段 120，130）內的概率 【解答】 解：（ ）分數(shù)在 120， 130）內的頻率為： 1（ 10= 數(shù)學分數(shù)恰在 120， 130）內的頻率為 （ ）由頻率分