操作探究 一、 填空題 1 （ 2016山東省東營市 4 分 ） 如圖，折疊矩形 一邊 點(diǎn) D 落在 知折痕 5 5 且 34，那么矩形 _ 【知識點(diǎn)】 折疊（ 軸對稱 ） 軸對稱的性質(zhì)、特殊平行四邊形 矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù) 三角函數(shù)的求法、勾股定理 【答案】 36. 【解析】 于 D 90， 34， 可設(shè) 3x， 4x，那么 5x， 5x. 3x 5x 8x. 8x. 90, 90, 34， 34. 8x, 6x. F 10x. 10x. 在 ，由勾股定理，得 (10x)2 (5x)2 (5 5)x 1. 8x 8,10x 10. 矩形 周長 82 102 36. 【點(diǎn)撥】 折疊矩形，可以得到 “軸對稱 ”的圖形，對于線段相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)的三角形全等；由銳角的正切值可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)直角三角形的直角邊之比；在直角三角形中，利用勾股定理可以列出方程解決問題 . 二、 解答題 1. （ 2016江西 6 分 ） 如圖，六個(gè)完全相同的小長方形拼成了一個(gè)大長方形， 其中一個(gè)小長方形的對角線，請?jiān)诖箝L方形中完成下列畫圖，要求： 僅用無刻度直尺， 保留必要的畫圖痕跡 （ 1）在圖 1 中畫出一個(gè) 45角，使點(diǎn) 是這個(gè)角的頂點(diǎn)，且 這個(gè)角的一邊； （ 2）在圖 2 中畫出線段 垂直平分線 【考點(diǎn)】 作圖 應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖 【分析】 （ 1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題 （ 2）根據(jù)正方形、長方形的性質(zhì)對角線相等且互相平分，即可解決問題 【解答】 解：（ 1）如圖所示， 5（ 小長方形的對角線） （ 2）線段 垂直平分線如圖所示， 點(diǎn) M 是長方形 對角線交點(diǎn)，點(diǎn) N 是正方形 對角線的交點(diǎn)，直線 是所求的線段 垂直平分線 2. （ 2016江西 10 分 ） 如圖，將正 n 邊形繞點(diǎn) 0后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點(diǎn) O，連接 們稱 “疊弦 ”；再將 “疊弦 ”逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn) P，連接 們稱 疊弦角 ”， “疊弦三角形 ” 【探究證明】 （ 1）請?jiān)趫D 1 和圖 2 中選擇其中一個(gè)證明： “疊弦三角形 ”（ 等邊三角形； （ 2）如圖 2，求證： 【歸納猜想】 （ 3）圖 1、圖 2 中 的 “疊弦角 ”的度數(shù)分別為 15 ， 24 ； （ 4）圖 n 中， “疊弦三角形 ” 是 等邊三角形（填 “是 ”或 “不是 ”） （ 5）圖 n 中， “疊弦角 ”的度數(shù)為 60 80n （用含 n 的式子表示） 【考點(diǎn)】 幾何變換綜合題 【分析】 （ 1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，再判斷出 最后用旋轉(zhuǎn)角計(jì)算即可； （ 2）先判斷出 判斷出 可； （ 3） 先判斷出 利用正 方形，正五邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，計(jì)算即可； （ 4）先判斷出 ，再用旋轉(zhuǎn)角為 60，從而得出 等邊三角形； （ 5）用（ 3）的方法求出正 n 邊形的， “疊弦角 ”的度數(shù) 【解答】 解：（ 1）如圖 1， 四 正方形， 由旋轉(zhuǎn)知： D， D= D=90， = 0， D O， 0， 等邊三角形， （ 2）如圖 2， 作 M，作 N 五 正五邊形， 由旋轉(zhuǎn)知： E， E= E=108， 0 E 在 ， 2， B N 在 ， O， N （等量代換） （ 3）由（ 1）有， D 在 和 ， ， D 由旋轉(zhuǎn)得 ， 60， 0， D 30， D D5， 同理可得 ， E4， 故答案為： 15， 24 （ 4）如圖 3， 六邊形 六邊形 ABCEF是正六邊形， F=F=120， 由旋轉(zhuǎn)得， F， F， ， E 由旋轉(zhuǎn)得， 60， O 0， 等邊三角形 故答案為：是 （ 5）同（ 3）的方法得， （ n 2） 180n 602=60 故答案： 60 3. （ 2016湖北荊州 3 分 ） 請用割補(bǔ)法作圖，將一個(gè)銳角三角形經(jīng)過一次或兩次分割后，重新拼成一個(gè)與原三角形面積相等的平行四邊形（只要求用一種方法畫出圖形，把相等的線段作相同的標(biāo)記） 【分析】 沿 中點(diǎn) E 和 中點(diǎn) F 剪開，然后拼接成平行四邊形即可 【解答】 解：如圖 所示 E， F， F 【點(diǎn)評】 本題考查了圖形的剪拼，操作性較強(qiáng)，靈活性較大，根據(jù)三角形的中位線定理想到從 中點(diǎn)入手剪開是解題的關(guān) 鍵 （ 2016黑龍江龍東 8 分 ） 已知：點(diǎn) P 是平行四邊形 角線 在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P 不與點(diǎn) A、 C 重合），分別過點(diǎn) A、 C 向直線 垂線，垂足分別為點(diǎn) E、 F，點(diǎn)O 為 中點(diǎn) （ 1）當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) O 重合時(shí)如圖 1，易證 F（不需證明） （ 2）直線 點(diǎn) 0時(shí)，如圖 2、圖 3 的位置，猜想線段間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對圖 2、圖 3 的猜想，并選擇一種情況給予證明 【考點(diǎn)】 四邊形綜合題 【分析】 （ 1）由 可得出結(jié)論 （ 2）圖 2 中的結(jié)論為： E+長 點(diǎn) G，只要證明 等邊三角形，即可解決問題 圖 3 中的結(jié)論為： E 長 延長線于點(diǎn) G，證明方法類似 【解答】 解：（ 1） 0， 在 ， ， F （ 2）圖 2 中的結(jié)論為： E+ 圖 3 中的結(jié)論為： E 選圖 2 中的結(jié)論證明如下： 延長 點(diǎn) G， 在 ， ， O， G， 在 ， G， F= 0， 0 30=60， 等邊三角形， F， F， G， G+ E+ 選圖 3 的結(jié)論證明如下： 延長 延長線于點(diǎn) G， G， 在 ， ， G， G， 在 ， G， F= 0， 0 30=60， 等邊三角形， G， F， G， G E 4 （ 2016湖北黃石 12 分 ） 在 ， C， （ 1）如圖 1，若點(diǎn) D 關(guān)于直線 對稱點(diǎn)為 F，求證： （ 2）如圖 2，在（ 1）的條件下，若 =45，求證： （ 3）如圖 3，若 =45，點(diǎn) C 的延長線上，則等式 說明理由 【分析】 （ 1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得 F，再求出 后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等兩三角形相似證明； （ 2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得 E， D，再求出 后利用 “邊角邊 ”證明 等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 D，全等三角形對應(yīng)角相等可得 B，然后求出 0，最后利用勾股定理證明即可 ； （ 3）作點(diǎn) D 關(guān)于 對稱點(diǎn) F，連接 據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得 E， D，再根據(jù)同角的余角相等求出 后利用 “邊角邊 ”證明 等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 D，全等三角形對應(yīng)角相等可得 B，然后求出 0，最后利用勾股定理證明即可 【解答】 證明：（ 1） 點(diǎn) D 關(guān)于直線 對稱點(diǎn)為 F， F， 又 C， = ， （ 2） 點(diǎn) D 關(guān)于直線 對稱點(diǎn)為 F， E， D， =45， 0 5+45 0 在 ， ， D， B， C， ， =45， 等腰直角三角形， B= 5， 5+45=90， 在 ，由勾股定理得， 所以， （ 3） 理由如下：作點(diǎn) D 關(guān)于 對稱點(diǎn) F，連接 由軸對稱的性質(zhì)得， E， D， =45， 0 5+45 0 在 ， ， D， B， C， ， =45， 等腰直角三角形， B= 5， 5+45=90， 在 ，由勾股定理得， 所以， 【點(diǎn)評】 本題是相似形綜合題，主要利用了軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定，同角的余角相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，此類題目，小題間的思路相同是解題的關(guān)鍵 5. （ 2016陜西 ） 問題提出 （ 1）如圖 ，已知 畫出 于直線 稱的三角形 問題探究 （ 2）如圖 ，在矩形 ， ， ， ， ，是否在邊 分別存在點(diǎn) G、 H，使得四邊形 存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由 問題解決 （ 3）如圖 ，有一矩形板材 米， 米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四邊形 0， G= 米， 5，經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn) E、 F、 G 分別在邊 ，且 滿足點(diǎn) 部或邊上時(shí)，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形能，求出裁得的四邊形 不能，請說明理由 【考點(diǎn)】 四邊形綜合題 【分析】 （ 1）作 C 的對稱點(diǎn) D，連接 為所求； （ 2）作 E 關(guān)于 對稱點(diǎn) E，作 F 關(guān)于 對稱點(diǎn) F，連接 EF，得到此時(shí)四邊形 據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到 F=2， ， A=90，于 是得到 6，8，求出 EF=10， 即可得到結(jié)論； （ 3）根據(jù)余角的性質(zhì)得到 1= 2，推出 據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 G，F(xiàn)，設(shè) AF=x，則 F=3 x 根據(jù)勾股定理列方程得到 G=1， E=2，作 G 的對稱 四邊形 正方形， 0，以 O 為圓心，以 半徑作 O，則 5的點(diǎn)在 O 上，連接 延長交 O 于 H，則 H在 垂直 平分線上，連接 H，則 =45，于是得到四邊形 符合條件的最大部件，根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論 【解答】 解：（ 1）如圖 1， 為所求； （ 2）存在，理由：作 E 關(guān)于 對稱點(diǎn) E， 作 F 關(guān)于 對稱點(diǎn) F， 連接 EF，交 G，交 H，連接 則 FG=EH=此時(shí)四邊形 周長最小， 由題意得： F=2， ， A=90， 6， 8， EF=10， ， 四邊形 G+E=F=2 +10， 在邊 分別存在點(diǎn) G、 H， 使得四邊形 周長最小， 最小值為 2 +10； （ 3）能裁得， 理由： G= ， A= B=90， 1+ 2+0， 1= 2， 在 ， ， G， F，設(shè) AF=x，則 F=3 x， 3 x） 2=（ ） 2，解得： x=1， x=2（不合題意，舍去）， G=1， E=2， ， ， 連接 作 于 對稱 則四邊形 正方形， 0， 以 O 為圓心，以 半徑作 O， 則 5的點(diǎn)在 O 上， 連 接 延長交 O 于 H，則 H在 垂直平分線上， 連接 H，則 =45， 此時(shí)，四邊形 要想裁得符合要求的面積最大的， C 在線段 垂直平分線設(shè)， 點(diǎn) F， O， H， C 在一條直線上， ， G= ， ， ， G= ， 點(diǎn) H在矩形 內(nèi)部， 可以在矩形 ，裁得符合條件的面積最大的四邊形 件， 這個(gè)部件的面積 = H= （ + ） =5+ ， 當(dāng)所裁得的四邊形部件為四邊形 ，裁得了符合條件的最大部件，這個(gè)部件的面積為（ 5+ ） 6. （ 2016浙江省湖州市） 數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某學(xué)習(xí)小組對有一內(nèi)角為 120的平行四邊形 20）進(jìn)行探究：將一塊含 60的直角三角板如圖放置在平行四邊形 在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且 60角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn) C 重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交 線段 點(diǎn) E， F（不包括線段的端點(diǎn)） （ 1）初步嘗試 如圖 1，若 B，求證： F= （ 2）類比發(fā)現(xiàn) 如圖 2，若 點(diǎn) C 作 點(diǎn) H，求證： （ 3）深入探究 如圖 3，若 究得： 的值為常數(shù) t，則 t= 【考點(diǎn)】 幾何變換綜合題 【分析】 （ 1） 先證明 是等邊三角形，再證明 可解決問題 根據(jù) 的結(jié)論得到 F，由此即可證明 （ 2）設(shè) DH=x，由由題意， x， x，由 = 由此即可證明 （ 3）如圖 3 中，作 N， M， 于點(diǎn) H先證明 = ，由 M=N， 出 以 = ，設(shè) CN=a， FN=b，則 a， b，想辦法求出 可解決問題 【解答】 解；（ 1） 四邊形 平行四邊形， 20， D= B=