山東省青島市平度市 2016 年高考數(shù)學模擬試卷（理科）（五）（解析版） 一、選擇題：（本題共 10 個小題，每小題 5 分，共 50 分，在四個選項中，只有一項是符合要求的） 1已知實數(shù)集 R，集合 M=x|x 2| 2，集合 ，則 M（ =（ ） A x|0 x 1 B x|0 x 1 C x|1 x 4 D x|1 x 4 2已知復數(shù) z=1+a R）（ i 是虛數(shù)單位）， ， 則 a=（ ） A 2 B 2 C 2 D 3某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（ ） A B 6 C D 4設(shè)函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（ ） f（ x）的圖象關(guān)于直線 對稱 f（ x）的圖象關(guān)于點 對稱 f（ x）的圖象向左平移 個單位，得到一個偶函數(shù)的圖象 f（ x）的最小正周期為 ，且在 上為增函數(shù) A B C D 5已知 A（ 2， 1）， O（ 0， 0），點 M（ x， y）滿足 ，則 的最大值為（ ） A 5 B 1 C 0 D 1 6分別在區(qū)間 0， 和 0， 1內(nèi)任取兩個實數(shù) x， y，則不等式 y 成立的概率為（ ） A B C D 7若函數(shù) f（ x） =a x，（ a 0， a 1）在（ ， +）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則 g（ x） =x+k）的是（ ） A B C D 8已知函數(shù) f（ x） =（ x 0）與 g（ x） =x+a）圖象上存在關(guān)于 y 軸對稱的點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 9已知 雙曲線 的兩焦點，以線段 邊作正三角形邊 中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ） A 4+2 B 1 C D 10已知函數(shù) f（ x） = ，函數(shù) g（ x） =x） 2a+2（ a0），若存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A ， 1 B ， C ， D ， 2 二、填空題：（本題共 5 個小題，每小題 5 分，共 25 分 11在邊長為 2 的菱形 ， 0，點 E 為線段 的任意一點，則的最大值為 12命題 p： x R， |x+3|+|x 1|+a 0若此命題是假命題，則實數(shù) a 的取值范圍是 （用區(qū)間表示） 13若（ x+ ） n 的展開式中各 項的系數(shù)之和為 81，且常數(shù)項為 a，則直線 y= x 與曲線 y= 14若直線 ax+y+2=0 與連接兩點 P（ 2， 3）， Q（ 3， 2）的線段相交，則實數(shù) a 的取值范圍 15定義在 R 上的函數(shù) f（ x）是增函數(shù)，且對任意的 x 恒有 f（ x） = f（ 2 x），若實數(shù) a，b 滿足不等式組 ，則 a2+范圍為 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分解答 應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 16 已知函數(shù) f（ x） = 且 m =（ n =（ 其中 0，若函數(shù) f（ x）相鄰兩對稱軸的距離大于等于 （ 1）求 的取值范圍； （ 2）在銳角三角形 ， a， b， c 分別是角 A， B， C 的對邊，當 最大時， f（ A）=1，且 a= ，求 c+b 的取值范圍 17為落實國務院 “十三五 ”規(guī)劃中的社會民生建設(shè)，某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況從該社區(qū)全體老年人中，隨機抽取 12 名進行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式如圖：根據(jù)老年人體質(zhì)健康標準，成績不低于 80 的為優(yōu)良 （ ）將頻率視為概率根據(jù)樣本估計總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中任選 3 人進行體質(zhì)健康測試，求至少有 1 人成績是 “優(yōu)良 ”的概率； （ ）從抽取的 12 人中隨機選取 3 人，記 表示成績 “優(yōu)良 ”的人數(shù)，求 的分布列及期望 18如圖 1，平行四邊形 ， 0， M 是 中點將 M 折起，使面 面 N 是 中點，圖 2 所示 （ ）求證： 平面 （ ）若 P 是棱 的動點，當 為何值時，二面角 P B 的大小 為 60 19數(shù)列 ， ，當 n 2 時，其前 n 項和為 足 ） （ 1）求 表達式； （ 2）設(shè) ，數(shù)列 前 n 項和為 等式 （ 5m）對所有的 nN*恒成立，求正整數(shù) m 的最大值 20已知橢圓 C： =1（ a b 0），直 線 y= 與以原點為圓心，以橢圓 C 的短半軸長為半徑的圓相切， 其左、右焦點， P 為橢圓 C 上任一點， 重心為G，內(nèi)心為 I，且 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）若直線 l： y=kx+m（ k 0）與橢圓 C 交于不同的兩點 A、 B，且線段 垂直平分線 l過定點 Q（ ， 0），求實數(shù) k 的取值范圍 21設(shè)函數(shù) f（ x） =2 a R） （ ）若 f（ x）在點（ e， f（ e） ）處的切線為 x 2e=0，求 a 的值； （ ）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）當 x 0 時，求證： f（ x） ax+0 2016 年山東省青島市平度市高考數(shù)學模擬試卷（理科）（五） 參考答案與試題解析 一、選擇題：（本題共 10 個小題，每小題 5 分，共 50 分，在四個選項中，只有一項是符合要求的） 1已知實數(shù)集 R，集合 M=x|x 2| 2，集合 ，則 M（ =（ ） A x|0 x 1 B x|0 x 1 C x|1 x 4 D x|1 x 4 【分析】 先將 M、 N 化簡，求出 求 M（ 可 【解答】 解：由 |x 2| 2 得 0 x 4，所以 M=x|0 x 4， 由 x 1 0，得 x 1，所以 N=x|x 1， x|x 1， M（ =x|0 x 1 故選 B 【點評】 本題考查了集合的含義、表示方法，集合的交、并、補集的混合運算，屬于基礎(chǔ)題本題中 N 表示的是函數(shù)的定義域 2已知復數(shù) z=1+a R）（ i 是虛數(shù)單位）， ，則 a=（ ） A 2 B 2 C 2 D 【分析】 由題意可得 ，再由兩個復數(shù)相等的充要條件可得 = ，= ，由此求得 a 的值 【解答】 解：由題意可得 ，即 = = ， = ， = ， a= 2， 故選 B 【點評】 本題主要考查復數(shù)的基本概 念，兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法，兩個復數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題 3某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（ ） A B 6 C D 【分析】 由三視圖可知，幾何體是下部是半徑為 2，高為 1 的圓柱的一半，上部為底面半徑為 2，高 2的圓錐的一半，分別計算兩部分的體積，即可 【解答】 解：由三視圖可知，幾何體是下部是半徑為 2，高為 1 的圓柱的一半， 上部為底面半徑為 2，高為 2 的圓錐的一半， 所以，半圓柱的體積為 22 1=2， 上部半圓錐的體積為 22 2= 故幾何體的體積為 V=2= = 故選 C 【點評】 本題考查三視圖求幾何體的表面積，考查計算能力，空間想象能力，三視圖復原幾何體是解題的關(guān)鍵 4設(shè)函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（ ） f（ x）的圖象關(guān)于直線 對稱 f（ x）的圖象關(guān)于點 對稱 f（ x）的圖象向左平移 個單位，得到一個偶函數(shù)的圖象 f（ x）的最小正周期為 ，且在 上為增函數(shù) A B C D 【分析】 研究函數(shù) 的性質(zhì)，可利用代入法，將 2x+ 看做整體，若它的取值為正弦函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心橫坐標，則其對應的 x 值即為所研究函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心橫坐標，同理 2x+ 所在區(qū)間為正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，則其對應的 x 所在區(qū)間為所研究函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，由此判斷 的正誤，利用函數(shù)圖象的平移變換理論和誘導公式、偶函數(shù)的定義可證明 正確 【解答】 解： 2 + =， x=不是正弦函數(shù)的對稱軸，故 錯誤； 2 + = ，（ ， 0）不是正弦函數(shù)的對稱中心，故 錯誤； f（ x）的圖象向左平移 個單位，得到 y=（ x+ ） + =2x+ ） =y=偶函數(shù)，故 正確； 由 x ，得 2x+ ， ， ， 不是正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故 錯誤； 故選 A 【點評】 本題主要考查了 y=x+）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的對稱軸、對稱中心、單調(diào)區(qū)間的求法，函數(shù)圖象的平移變換和函數(shù)奇偶 性的定義，整體代入的思想方法 5已知 A（ 2， 1）， O（ 0， 0），點 M（ x， y）滿足 ，則 的最大值為（ ） A 5 B 1 C 0 D 1 【分析】 先畫出平面區(qū)域 D，進行數(shù)量積的運算即得 z=2x+y 5，所以 y= 2x+5+z，所以根據(jù)線性規(guī)劃的方法求出 z 的最大值即可 【解答】 解： 表示的平面區(qū)域 D，如圖中陰影部分所示， 的 =（ 2， 1）（ x 2， y 1） =2x+y 5； y= 2x+5+z； 5+z 表示直線 y= 2x+5+z 在 y 軸上的截距，所以截距最大時 z 最大； 如圖所示，當該直線經(jīng)過點 A（ 2， 2）時，截距最大，此時 z 最大； 所以點（ 2， 2）帶人直線 y= 2x+5+z 即得 z=1 故選： D 【點評】 考查不等式組表示一個平面區(qū)域，并能找到這個平面區(qū)域，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，以及向量數(shù)量積的坐標運算，直線在 y 軸上的截距 ，線性規(guī)劃的方法求最值 6分別在區(qū)間 0， 和 0， 1內(nèi)任取兩個實數(shù) x， y，則不等式 y 成立的概率為（ ） A B C D 【分析】 根據(jù)幾何概型的概率公式，求出對應事件對應的平面區(qū)域的面積，進行求解即可 【解答】 解：由題意知 0 x ， 0 y 1， 作出 對應的圖象如圖所示： 則此時對應的面積 S= 1=， 陰影部分的面積 S= ， 則不等式 y 成立的概率 P= ， 故選： B 【點評】 本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據(jù)積分以及線性規(guī)劃的知識作出對應的圖象，求出對應的面積是解決本題 的關(guān)鍵 7若函數(shù) f（ x） =a x，（ a 0， a 1）在（ ， +）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則 g（ x） =x+k）的是（ ） A B C D 【分析】 由函數(shù) f（ x） =a x，（ a 0， a 1）在（ ， +）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則由復合函 數(shù)的性質(zhì)，我們可得 k=1， a 1，由此不難判斷函數(shù)的圖象 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =a x，（ a 0， a 1）在（ ， +）上是奇函數(shù) 則 f（ x） +f（ x） =0 即（ k 1）（ a x） =0 則 k=1 又 函數(shù) f（ x） =a x，（ a 0， a 1）在（ ， +）上是增函數(shù) 則 a 1 則 g（ x） =x+k） =x+1） 函數(shù)圖象必過原點，且為增函數(shù) 故選 C 【點評】 若函數(shù)在其定義域為為奇函數(shù)，則 f（ x） +f（ x） =0，若函數(shù)在其定義域為為偶函數(shù)，則 f（ x） f（ x） =0，這是函數(shù)奇偶性定義的變形使用，另外函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，在公共單調(diào)區(qū)間上：增函數(shù)減函數(shù) =增函數(shù)也是解決本題的關(guān)鍵 8已知函數(shù) f（ x） =（ x 0）與 g（ x） =x+a）圖象上存在關(guān)于 y 軸對稱的點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【分析】 函數(shù) f（ x）與 g（ x）圖象上存在關(guān)于 y 軸對稱的點，就是 f（ x） =g（ x）有解，也就是函數(shù) y=f（ x）與函數(shù) y=g（ x）有交點， 在同一坐標系內(nèi)畫函數(shù) y=f（ x） = = （ x 0）與函數(shù) y=g（ x） =x+a）的圖象，結(jié)合圖象解題 【解答】 解：函數(shù) f（ x）與 g（ x）圖象上存在關(guān)于 y 軸有對稱的點， 就是 f（ x） =g（ x）有解， 也就是函數(shù) y=f（ x）與函數(shù) y=g（ x）有交點， 在同一坐標系內(nèi)畫函數(shù) y=f（ x） = = （ x 0）與函數(shù) y=g（ x） =x+a）的圖象： 函數(shù) y=g（ x） =x+a）的圖象是把由函數(shù) y=圖 象向左平移且平移到過點（ 0， ）后開始，兩函數(shù)的圖象有交點， 把點（ 0， ）代入 y=x+a）得， = a= = ， a ， 故選： B 【點評】 本題主要考查函數(shù)的圖象， 把方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 9已知 雙曲線 的兩焦點，以線段 邊作正三角形邊 中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ） A 4+2 B 1 C D 【分析】 先根據(jù)雙曲線方程求得焦點坐標的表達式，進而可求得三角形的高，則點 M 的坐標可得，進而求得其中點 N 的坐標，代入雙曲線方程求得 a， b 和 c 的關(guān)系式化簡整理求得關(guān)于 e 的方程求得 e 【解答】 解：依題意可知雙曲線的焦點為 c， 0）， c， 0） c 三角形高是 c M（ 0， c） 所以中點 N（ ， c） 代入雙曲線方程得： =1 整理得： 3 b2=以 34理得 8=0 求得 2 e 1， e= +1 故選 D 【點評】 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)考查了學生對雙曲線的基礎(chǔ)知識的把握 10已知函數(shù) f（ x） = ，函數(shù) g（ x） =x） 2a+2（ a0），若存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A ， 1 B ， C ， D ， 2 【分析】 根據(jù) x 的范圍確定函數(shù) f（ x）的值域和 g（ x）的值域，進而根據(jù) f（ =g（ 立，推斷出 0， 12 2a， 2 ，先看當二者的交集為空集時刻求得 a 的范圍，進而可求得當集合的交集非空時 a 的范圍 【解答】 解：當 x 0， 時 ， y= x，值域是 0， ； x （ ， 1時， y= ， y= 0 恒成立，故為增函數(shù)，值域為（ ， 1 則 x 0， 1時， f（ x）的值域為 0， 1， 當 x 0， 1時， g（ x） =x） 2a+2（ a 0）， 為增函數(shù)，值域是 2 2a， 2 ， 存在 0， 1使得 f（ =g（ 立， 0， 12 2a， 2 ， 若 0， 12 2a， 2 =， 則 2 2a 1 或 2 0，即 a ，或 a a 的取值范圍是 ， 故選： B 【點評】 本題主要考查了三角函數(shù)的最值，函數(shù)的值域問題，不等式的應用解題的關(guān)鍵是通過看兩函數(shù)值域之間的關(guān)系來確定 a 的范圍 二、填空題：（本題共 5 個小題，每 小題 5 分，共 25 分 11在邊長為 2 的菱形 ， 0，點 E 為線段 的任意一點，則的最大值為 1 【分析】 建立平面直角坐標系，設(shè) CE=x，用 x 表示出 ，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解 【解答】 解：以 x 軸，以 C 為原點建立平面直角坐標系如圖， 設(shè) CE=x，則 0 x 2， D（ 2， 0）， B（ 1， ）， A（ 3， ）， E（ x， 0） =（ x 3， ）， =（ 1， ） =x 3+ ， 當 x=2 時， 取得最大值 1 故答案為： 【點評】 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，用 x 表示出 是解題關(guān)鍵 12命題 p： x R， |x+3|+|x 1|+a 0若此命題是假命題，則實數(shù) a 的取值范圍是 （4， +） （用區(qū)間表示） 【分析】 根據(jù)特稱命題的性質(zhì)，以及絕對值不等式的解法進行求解 【解答】 解：若： x R， |x+3|+|x 1|+a 0 是假命題， 則： x R， |x+3|+|x 1|+a 0 是真命題， 即 |x+3|+|x 1| a 是真命題， |x+3|+|x 1| | 3 1|=4， a 4，即 a 4 故答案為：（ 4， +） 【點評】 本題主要考查特稱命題的應用，利用絕對值不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵 13若（ x+ ） n 的展開式中各項的系數(shù)之和為 81，且常數(shù)項為 a，則直線 y= x 與曲線 y= 【分析】 依據(jù)二項式系數(shù)和為 3n，列出方程求出 n，利用二項展開式的通項公式求出常數(shù)項a 的值，再利用積分求直線 y= x 與曲線 y=成的封閉圖形的面積 【解答】 解： （ x+ ） n 的展開式中各項的系數(shù)之和為 81， 3n=81， 解得 n=4， （ x+ ） 4 的展開式的通項公式為： =2r， 令 4 2r=0，解得 r=2， 展開式中常數(shù)項為 a=4； 直線 y=4x 與曲線 y=圍成的封閉區(qū)域面積為： S= （ 4x 2 故答案為： 【點評】 本題考查了二項式定理的應用問題，也考查了利用積分求封閉圖形的面積問題，是綜合性題目 14若直線 ax+y+2=0 與連接兩點 P（ 2， 3）， Q（ 3， 2）的線段相交，則實數(shù) a 的取值范圍 【分析】 直線 ax+y+2=0 經(jīng)過定點 M（ 0， 2），利用斜率計算公式可得： 于直線 ax+y+2=0 與連接兩點 P（ 2， 3）， Q（ 3， 2）的線段相交，利用斜率的關(guān)系即可得出 【解答】 解：直線 ax+y+2=0 經(jīng)過定點 M（ 0， 2）， = ， = 直線 ax+y+2=0 與連接兩點 P（ 2， 3）， Q（ 3， 2）的線段相交， a ， 解得 a 則實數(shù) a 的取值范圍 故答案為： 【點評】 本題考查了直線系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 15定義在 R 上的函數(shù) f（ x）是增函數(shù)，且對任意的 x 恒有 f（ x） = f（ 2 x），若實數(shù) a，b 滿足不等式組 ，則 a2+范圍為 13， 49 【分析】 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式組進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合線性規(guī)劃的知識進行求解即可 【解答】 解： f（ x） = f（ 2 x）， f（ x） =f（ 2 x）， f（ 6a+23） +f（ 8b） 0 可化為 f（ 6a+23） f（ 8b） =f（ 2 b）， 又 f（ x）在 R 上單調(diào)遞增， 6a+23 2 b， 即 6a+23+8b 2 0，配方可得（ a 3） 2+（ b 4） 2 4， 原不等式組可化為（ x+2y） a+234 0， 如圖，點（ a， b）所對應的區(qū)域為以（ 3， 4）為圓心， 2 為半徑的右半圓（含邊界）， 易知 a2+示點（ a， b）到點（ 0， 0）的距離的平方， 由圖易知： | a2+|，可得點 A（ 3， 2），圓心 C（ 3， 4）， |=32+22=13， |5， 則最大值為（ |2） 2=72=49 13 m2+49，即 m2+取值范圍為 13， 49 故答案 為： 13， 49 【點評】 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用以及線性規(guī)劃的應用，根據(jù)單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 16已知函數(shù) f（ x） = 且 m =（ n =（ 其中 0，若函數(shù) f（ x）相鄰兩對稱軸的距離大于等于 （ 1）求 的取值范圍； （ 2）在銳角三角形 ， a， b， c 分別是角 A， B， C 的對邊，當 最大時， f（ A）=1，且 a= ，求 c+b 的取值范圍 【分析】 （ 1）根據(jù)二倍角公式和和差角公式（輔助角公式），化簡函數(shù)解析式為正弦型函數(shù)的形式，進而結(jié)合相鄰兩對稱軸的距離大于等于 可得 f（ x）的最小正周期，求出 的取值范圍； （ 2）由正弦定理可得 b=2c=2由 B， C 的關(guān)系，求得 B 的范圍，結(jié)合兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求范圍 【解答】 解：（ 1） 函數(shù) f（ x） = （ =22x+ ）， 由題意得 ，即 T ， 又 0， ， 0 1； （ 2）當 最大時，即有 =1， f（ x） =22x+ ）， f（ A） =22A+ ） =1， 2A+ ） = ， 0 A ， 2A+ （ ， ）， 2A+ = ， A= ， 由正弦定理可得 = = = =2， 則 b=2c=2 b+c=2 B） = B+ ）， 在銳角三角形 ， 0 ， 0 ， 即有 0 B ，可得 B ， 可得 B+ ， B+ ） 1，即有 3 2 B+ ） 2 ， 則 b+c 的取值范圍是（ 3， 2 【點評】 本題考查的知識點是三角函數(shù)中的恒等變換應用，平面向量數(shù)量積的運算，正弦定理和余弦定理，是三角函數(shù)與向量的綜合應用，難度中檔 17為落實國務院 “十三五 ”規(guī)劃中的社會民生建 設(shè)，某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況從該社區(qū)全體老年人中，隨機抽取 12 名進行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式如圖：根據(jù)老年人體質(zhì)健康標準，成績不低于 80 的為優(yōu)良 （ ）將頻率視為概率根據(jù)樣本估計總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中任選 3 人進行體質(zhì)健康測試，求至少有 1 人成績是 “優(yōu)良 ”的概率； （ ）從抽取的 12 人中隨機選取 3 人，記 表示成績 “優(yōu)良 ”的人數(shù)，求 的分布列及期望 【分析】 （ ）從該社區(qū)中任選 1 人，成績是 “優(yōu)良 ”的概率為 ，由此利用對立事件概率計算公式能求出至少有 1 人成績是 “優(yōu)良 ”的概率 （ ）由題意可得， 的可能取值為 0， 1， 2， 3分別求出相應的概率，由此能求出 的分布列及期望 【解答】 解：（ ）抽取的 12 人中成績是 “優(yōu)良 ”的頻率為 ， 故從該社區(qū)中任選 1 人，成績是 “優(yōu)良 ”的概率為 ， （ 2 分） 設(shè) “在該社區(qū)老人中任選 3 人，至少有 1 人成績是 優(yōu)良 的事件 ”為 A， 則 ； （ 5 分） （ ）由題意可得， 的可能取值為 0， 1， 2， 3 ， ， ， ， （ 9 分） 所以 的分布列為 0 1 2 3 P （ 12 分） 【點評】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用 18如圖 1，平行四邊形 ， 0， M 是 中點將 M 折起，使面 面 N 是 中點，圖 2 所示 （ ）求證： 平面 （ ）若 P 是棱 的動點，當 為何值時，二面角 P B 的大小為 60 【分析】 （ ）連接 導出 平面 接 N 此能證明 平面 （ ）以 O 為坐標原點，以 向為 x， y， z 軸的正方向，建立空間直角坐標系 O 用向量法能求出當 時，二面角 P B 的大小為 60 【解答】 證明：（ ）連接 為 0， M 是 中點， 正三角形，取 中點 O，則 面 面 平面 平面 （ 2 分） 連接 正三角形， O 是 點， 中位線， M=O 平面 4 分） 解：（ ）由（ ）可知， 以 O 為坐標原點，以 向為 x， y， z 軸的正方向， 建立空間直角坐標系 O 圖所示， （ 5 分） 不妨設(shè) ， 則 ， B（ 1， ， 0）， M（ ， 0， 0）， C（ ）， 則 =（ 1， ， ）， 設(shè) =（ ， ），（ 0 1）， 得 =（ ， ， ）， =（ 0， ， 0）， （ 7 分） 設(shè) =（ x， y， z）為平面 一個法向量，則有 =0， =0， 即 ，令 x=1，得， =（ 1， 0， ）， （ 9 分） 由意 =（ 0， 0， 1）為平面 一個法向量， 二面角 P B 的大小為 60， = = ， 解得 ， （ 11 分） 當 時，二面角 P B 的大小為 60 （ 12 分） 【點評】 本題考查線面垂直的證明，考查滿足二面角大小為 60的兩線段比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用 19數(shù)列 ， ，當 n 2 時，其前 n 項和為 足 ） （ 1）求 表達式； （ 2）設(shè) ，數(shù)列 前 n 項和為 等式 （ 5m）對所有的 nN*恒成立，求正整數(shù) m 的最大值 【分析】 （ 1）當 n 2 時， n 1，代入利用等差數(shù)列的通項公式即可得出； （ 2）利用 “裂項求和 ”、一元二次不等式的解法即可得出 【解答】 解：（ 1） ） = 化為 ， 數(shù)列 是首項為 = =1，公差為 2 的等差數(shù)列 故 =1+2（ n 1） =2n 1， （ 2） = = ， 故 + = 又 不等式 （ 5m）對所有的 n N*恒成立， （ 5m）， 化簡得： 5m 6 0，解得： 1 m 6 正整數(shù) m 的最大值為 6 【點評】 本題考查了遞推式的應用、 “裂項求和 ”、等差數(shù)列的通項公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 20已知橢圓 C： =1（ a b 0），直線 y= 與以原點為圓心，以橢圓 C 的短半軸長為半徑的圓相切， 其 左、右焦點， P 為橢圓 C 上任一點， 重心為G，內(nèi)心為 I，且 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）若直線 l： y=kx+m（ k 0）與橢圓 C 交于不同的兩點 A、 B，且線段 垂直平分線 l過定點 Q（ ， 0），求實數(shù) k 的取值范圍 【分析】 （ 1）利用 重心為 G，內(nèi)心為 I，結(jié)合三角形的面積公式，直線 y=與以原點為圓心，以橢圓 C 的短半軸長為半徑的圓相切，求出幾何量，即可求出橢圓 的方程； （ 2）直線方程代入橢圓方程，確定線段 中點 R 的坐標，利用線段 垂直平分線l過定點 Q（ ， 0），可得不等式，從而可求實數(shù) k 的取值范圍 【解答】 解：（ 1）設(shè) P（ 0），則 G（ ） 設(shè) I（ 則 |2c， = | （ | 2a+2c 直線 y= 與以原點為圓心，以橢圓 C 的短半軸長為半徑的圓相切 b= a=2 橢圓的方程為 ； （ 2）設(shè) A（ B（ 則 直線方程代入橢圓方程可得（ 3+412=0， 由 0，可得 4 x1+ y1+ 線段 中點 R 的坐標為（ ， ） 線段 垂直平分線 l的方程為 ， R 在直線 l上， m= 或 【點評】 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓，直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題 21設(shè)函數(shù) f（ x） =2 a R） （ ）若 f（ x）在點（ e， f（ e）處的切線為 x 2e=0，求 a 的值； （ ）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）當 x 0 時，求證： f（ x） ax+0 【分析】 （ ）求出函數(shù) f（ x）的導數(shù)并求出切點，運用點斜式方程寫出切線方程并