（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 高考專題突破六 高考中的圓錐曲線問題教師用書1(2015課標(biāo)全國)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為()A. B2 C. D.答案D解析如圖，設(shè)雙曲線E的方程為1(a0，b0)，則|AB|2a，由雙曲線的對稱性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MNx軸于點(diǎn)N(x1,0)，ABM為等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.將點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)代入1，可得a2b2，e ，選D.2設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(，0)，因此直線AB的方程為y(x)，即4x4y30.方法一聯(lián)立直線方程與拋物線方程化簡得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二聯(lián)立方程得x2x0，故xAxB.根據(jù)拋物線的定義有|AB|xAxBp12，同時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為h，因此SOAB|AB|h.3(2016山西質(zhì)量監(jiān)測)已知A，B分別為橢圓1(ab0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線ykx(k0)與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的面積的最大值為2c2，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.答案D解析設(shè)C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，將ykx代入橢圓方程可解得x1，x2，則|CD|x1x2|.又點(diǎn)A(a,0)到直線ykx的距離d1，點(diǎn)B(0，b)到直線ykx的距離d2，所以S四邊形ACBDd1|CD|d2|CD|(d1d2)|CD|ab.令t，則t212ab12ab12ab2，當(dāng)且僅當(dāng)a2k，即k時(shí)，tmax，所以S四邊形ACBD的最大值為ab.由條件，有ab2c2，即2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，解得e2或e21(舍去)，所以e，故選D.4(2016北京)雙曲線1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長為2，則a_.答案2解析設(shè)B為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖所示四邊形OABC為正方形且邊長為2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.題型一求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)若AF1B的周長為4，則C的方程為()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析由e，得.又AF1B的周長為4，由橢圓定義，得4a4，得a，代入，得c1，所以b2a2c22，故橢圓C的方程為1.思維升華求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，解得標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，從而求得方程(2015天津)已知雙曲線1(a0，b0 )的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為()A.1 B.1 C.y21 Dx21答案D解析雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，則a2b24，雙曲線的漸近線方程為yx，由題意得，聯(lián)立解得b，a1，所求雙曲線的方程為x21，選D.題型二圓錐曲線的幾何性質(zhì)例2(1)(2015湖南)若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.(2)(2016天津)設(shè)拋物線(t為參數(shù)，p0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C，AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|2|AF|，且ACE的面積為3，則p的值為_答案(1)D(2)解析(1)由條件知yx過點(diǎn)(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故選D.(2)由(p0)消去t可得拋物線方程為y22px(p0)，F(xiàn)，|AB|AF|p，可得A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26，p0，p.思維升華圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義，及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力已知橢圓1(ab0)與拋物線y22px(p0)有相同的焦點(diǎn)F，P，Q是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，若PQ經(jīng)過焦點(diǎn)F，則橢圓1(ab0)的離心率為_答案1解析因?yàn)閽佄锞€y22px(p0)的焦點(diǎn)F為，設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為E.當(dāng)x時(shí)，代入拋物線方程得yp，又因?yàn)镻Q經(jīng)過焦點(diǎn)F，所以P且PFOF.所以|PE| p，|PF|p，|EF|p.故2a pp,2cp，e1.題型三最值、范圍問題例3若直線l：y過雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線平行(1)求雙曲線的方程；(2)若過點(diǎn)B(0，b)且與x軸不平行的直線和雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)M，N，MN的垂直平分線為m，求直線m在y軸上的截距的取值范圍解(1)由題意，可得c2，所以a23b2，且a2b2c24，解得a，b1.故雙曲線的方程為y21.(2)由(1)知B(0,1)，依題意可設(shè)過點(diǎn)B的直線方程為ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(13k2)x26kx60，所以x1x2，36k224(13k2)12(23k2)00k2，且13k20k2.設(shè)MN的中點(diǎn)為Q(x0，y0)，則x0，y0kx01，故直線m的方程為y，即yx.所以直線m在y軸上的截距為，由0k2，且k2，得13k2(1,0)(0,1)，所以(，4)(4，)故直線m在y軸上的截距的取值范圍為(，4)(4，)思維升華圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和均值不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值與范圍直線l：xy0與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則ABC面積的最大值為_答案解析由得3x22，x，設(shè)點(diǎn)A在第一象限，A(，)，B(，)，|AB|.設(shè)與l平行的直線l：yxm與橢圓相切于P點(diǎn)則ABP面積最大由得3x24mx2m220，(4m)243(2m22)0，m.P到AB的距離即為l與l的距離，d.SABC.題型四定值、定點(diǎn)問題例4(2016全國乙卷)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)因?yàn)閨AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為1(y0)(2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.則x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m：y(x1)，點(diǎn)A到m的距離為，所以|PQ|2 4.故四邊形MPNQ的面積S|MN|PQ|12 .可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8)思維升華求定點(diǎn)及定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值(2016北京)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|BM|為定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.橢圓方程為y21.(2)證明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則y1.當(dāng)x00時(shí)，直線PA方程為y(x2)，令x0，得yM.從而|BM|1yM|.直線PB方程為yx1.令y0，得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.當(dāng)x00時(shí)，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|為定值題型五探索性問題例5(2015廣東)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由解(1)圓C1：x2y26x50化為(x3)2y24，圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0)(2)設(shè)M(x，y)，A，B為過原點(diǎn)的直線l與圓C1的交點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，由圓的性質(zhì)知MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的數(shù)量積公式得x23xy20.易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ymx，當(dāng)直線l與圓C1相切時(shí)，d2，解得m.把相切時(shí)直線l的方程代入圓C1的方程，化簡得9x230x250，解得x.當(dāng)直線l經(jīng)過圓C1的圓心時(shí)，M的坐標(biāo)為(3,0)又直線l與圓C1交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，x3.點(diǎn)M的軌跡C的方程為x23xy20，其中x3.(3)由題意知直線L表示過定點(diǎn)(4,0)，斜率為k的直線，把直線L的方程代入軌跡C的方程x23xy20，其中x3，化簡得(k21)x2(38k2)x16k20，其中x3，記f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中0時(shí)，若x3是方程的解，則f(3)0k0另一根為x0，故在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根，滿足題意；若x是方程的解，則f0k另外一根為x，3，故在區(qū)間上有且僅有一根，滿足題意；若x3和x均不是方程的解，則方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根，只需ff(3)0kb0)的離心率為，且過點(diǎn)(1，)若點(diǎn)M(x0，y0)在橢圓C上，則點(diǎn)N(，)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由解(1)由題意知e，e2，即a2b2，又1，a24，b23，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)AOB的面積為定值理由如下：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P(，)，Q(，)，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，0，即0.由得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，得34k2m20.x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，代入0，即y1y2x1x2，得，即2m24k23，|AB|x1x2|，由點(diǎn)O到直線AB的距離公式得d，SAOB|AB|d，把2m24k23代入上式，得SAOB.1(2015陜西)如圖，橢圓E：1(ab0)，經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.(1)解由題設(shè)知，b1，結(jié)合a2b2c2，解得a，所以橢圓的方程為y21.(2)證明由題設(shè)知，直線PQ的方程為yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，則x1x2，x1x2，從而直線AP，AQ的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.2(2016金華十校聯(lián)考)橢圓C：1(ab0)的上，下頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(，)在橢圓C上，且OPAF.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)不經(jīng)過頂點(diǎn)A，B的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，且2，求橢圓右頂點(diǎn)D到直線l距離的取值范圍解(1)點(diǎn)P(，)，kOP，又AFOP，1，cb，a24b2.又點(diǎn)P(，)在橢圓上，1，解得a24，b21，故橢圓方程為y21.(2)()當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x1，此時(shí)d1.()當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykxm(m1)，聯(lián)立橢圓方程得(4k21)x28kmx4(m21)0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2，由04k2m210，由2x1x22x1x22，即km1m2km(m0)，把式代入式得m2或0m20，n0)，且曲線C過A(，)，B(，)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲線C上兩點(diǎn)，且OMON，求證：直線MN恒與一個(gè)定圓相切(1)解由題可得解得m4，n1.所以曲線C的方程為y24x21.(2)證明由題得y4x1，y4x1，x1x2y1y20，原點(diǎn)O到直線MN的距離d .由x1x2y1y20，得xxyy(14x)(14x)14(xx)16xx，所以xx(xx)，d ，所以直線MN恒與定圓x2y2相切4已知橢圓1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)(1)求該橢圓的離心率；(2)設(shè)直線AB和AC分別與直線x4交于點(diǎn)M，N，問：x軸上是否存在定點(diǎn)P使得MPNP？若存在，求