易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂(lè)、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?lái)，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易拉罐來(lái)說(shuō)，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)在就請(qǐng)你們小組來(lái)研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題。具體說(shuō)，請(qǐng)你們完成以下的任務(wù)：1 取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂(lè)飲料罐，測(cè)量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說(shuō)明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的，那么你們必須注明出處。2 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說(shuō)，半徑和高之比，等等。3 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。4 利用你們對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。摘要本文利用游標(biāo)卡尺分別測(cè)出355毫升易拉罐的各項(xiàng)數(shù)據(jù)。設(shè)易拉罐是一個(gè)圓柱體時(shí)，我們采用等厚度面積法將體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題，再運(yùn)用極值的知識(shí)求出最優(yōu)比例。設(shè)易拉罐中心縱斷面上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體時(shí)，我們通過(guò)對(duì)其厚度、材料的密度分布、易拉罐的預(yù)留體積做一系列假設(shè)，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用LINGO、CAD等工具求出其最優(yōu)設(shè)計(jì)。對(duì)于易拉罐的設(shè)計(jì)，我們著重從經(jīng)濟(jì)、視覺(jué)、安全和消費(fèi)者心理幾個(gè)角度入手設(shè)計(jì)，并建立對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證其可行性。關(guān)鍵詞：黃金分割率 等厚度面積法一、問(wèn)題重述二、模型假設(shè)1 不考慮易拉罐具體制作工藝，僅對(duì)形狀、尺寸及重量等非工程及技術(shù)量作出相應(yīng)的分析。2 假設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體的情況下，我們認(rèn)為它的最優(yōu)設(shè)計(jì)僅和它的高和半徑比及厚度有關(guān)。3 易拉罐上下底面和側(cè)面的連接處的厚度、長(zhǎng)度及過(guò)度弧度可以不考慮。4 只考慮用料，即對(duì)各個(gè)部分的制作成本不作考慮。5 所設(shè)計(jì)的易拉罐是在研究量比的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)用、美觀等因素，對(duì)它的形狀和尺寸作出最優(yōu)設(shè)計(jì)。6 本文所有測(cè)量數(shù)據(jù)均以物理儀器測(cè)得，與真實(shí)值相比，存在一定的誤差，本論文中所應(yīng)用的數(shù)據(jù)均為所測(cè)數(shù)據(jù)。 三、問(wèn)題分析測(cè)量易拉罐各部分的相關(guān)數(shù)據(jù)，并列表加以說(shuō)明分析，作為解決問(wèn)題時(shí)所得結(jié)論的參考依據(jù)，具有一定的合理性。將易拉罐看成一個(gè)正圓柱是有一定合理性的，當(dāng)易拉罐內(nèi)體積一定時(shí)，頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比能夠很好的反映出制作易拉罐所需材料的數(shù)量。在測(cè)量過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)，易拉罐的側(cè)面和底面厚度不同，且下底面厚度不均勻，中心縱截面形狀接近于圓臺(tái)和圓柱的組合體，以次作為研究它的最優(yōu)設(shè)計(jì)具有一定的可行性；各部分厚度存在差異，我們考慮這一特殊設(shè)計(jì)是主要是為了保證開啟的穩(wěn)定性及耐壓強(qiáng)度，我們自己的設(shè)計(jì)采用這一優(yōu)點(diǎn)。四、符號(hào)定義V - 正圓柱的體積；R - 正圓柱的半徑；D - 正圓柱的直徑；H - 正圓柱的高；S - 正圓柱的表面積；H1 - 正圓柱的高；H2 - 圓臺(tái)的高；L - 圓臺(tái)母線長(zhǎng)；S1 - 圓柱底面面積；S2 - 圓臺(tái)上頂面面積；R1 - 圓柱的半徑；R2 - 圓臺(tái)的半徑； - 模型增加高度五、模型建立問(wèn)題1: 取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂(lè)飲料罐，測(cè)量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說(shuō)明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的，那么你們必須注明出處。 1、測(cè)量易拉罐測(cè)量從商店所買回的355毫升裝的可口可樂(lè)易拉罐，利用游標(biāo)卡尺測(cè)量，我們得到以下數(shù)據(jù)：頂蓋的直徑頂蓋到底部的高中間圓柱的直徑中間圓柱壁厚度頂部的厚度中間圓柱的高度容積59mm116mm66mm1mm3mm103mm365ml具體的直觀圖如圖1：7mm13mm3mm123mm49mm66mm59mm 圖12、易拉罐形狀與數(shù)據(jù)的合理性分析：根據(jù)我們所測(cè)數(shù)據(jù)可以知道上底面的厚度為側(cè)面和底面厚度的3倍，對(duì)于這個(gè)特殊的設(shè)計(jì)我們認(rèn)為是從開啟的穩(wěn)定性和耐壓性考慮的。當(dāng)上底面以3倍的厚度和側(cè)面相結(jié)合時(shí)，既保證了結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，又保證了開啟的穩(wěn)定性。下底面之所以做成圓弧狀是從罐體的耐壓性和運(yùn)輸放置的穩(wěn)定性考慮的，同時(shí)也兼顧了美觀。我們知道圓是最好的承力體，在與側(cè)面積厚度相同的情況下，只有圓弧狀可以最大限度的滿足這個(gè)要求。問(wèn)題2: 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說(shuō)，半徑和高之比，等等。1、假設(shè)： I) 易拉罐的形狀是一個(gè)正圓柱體，且上底面的厚度是側(cè)面與下底面厚度的3倍。II) 底面和側(cè)面所使用的材料相同，故所用材料的重量可以轉(zhuǎn)化成所用材料的體積。根據(jù)以上假設(shè)，原問(wèn)題等價(jià)于：在體積確定的情況下，底面和側(cè)面不同圓柱體在滿足什么條件時(shí)，所需要的材料體積最少？2、建立模型由于易拉罐材料的使用量我們可以用材料的體積來(lái)衡量，而上底面與下底面的厚度不同，且滿足，因此可以采用等厚度面積法，把上底面的面積看作是下底面的三倍，這樣我們就可以把體積進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題，故我們可以得到下式：S=4+2 于是：S=4+ R 由不等式a+b+c3 (僅當(dāng)a=b=c時(shí)) 即 =4， 在由H= 可得，H=4R 這時(shí)底面直徑與高的比值為1：2，而我們實(shí)際測(cè)量結(jié)果：123/66=1.8636，考慮誤差的存在，可視兩者基本相符。問(wèn)題3：設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖2所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。圖2什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。為了求出易拉罐在該圖形下的最優(yōu)設(shè)計(jì)，我們擬定在不同的假設(shè)下建立多個(gè)不同模型，分析比較得出最佳結(jié)果。設(shè)計(jì)一：1、基本假設(shè)I) 不考慮厚度的區(qū)別，認(rèn)為所有材料的厚度相同。II) 底面和側(cè)面所使用的材料相同，即認(rèn)為材料的密度分布均勻。III) 不考慮易拉罐的實(shí)際體積，體積以355ml作為標(biāo)準(zhǔn)體積。根據(jù)以上假設(shè)，原問(wèn)題等價(jià)于：在體積一定的情況下我們求表面積的最小值。也就使問(wèn)題變?yōu)橐粋€(gè)優(yōu)化的問(wèn)題。2、建立模型圓臺(tái)側(cè)面積公式：(1)圓臺(tái)體積公式： H2(S1+S2+ (2)圓臺(tái)的母線公式： L= (3)在體積一定的情況下，我們可建立面積關(guān)于形狀與尺寸的最優(yōu)模型：min S=，st. 利用公式(1) (2) (3)，上式可以化簡(jiǎn)為：min S=st. 用LINGO軟件求解（程序和結(jié)果見(jiàn)附件），我們得到：，面積的最小值：。根據(jù)所得數(shù)據(jù)，利用CAD可做出圖3：圖33、模型分析此模型是在不考慮預(yù)留空間、制造工藝和安全系數(shù)的前提條件下建立的，得到的最優(yōu)的形狀和尺寸。但在實(shí)際的生產(chǎn)過(guò)程中，都是必須考慮的因素。根據(jù)國(guó)家GB.2.759.2規(guī)定,碳酸飲料是在一定條件下充入二氧化碳的制品，成品中二氧化碳的含量（20時(shí)體積倍數(shù)）不低于2.0倍。二氧化碳在水中的溶解度與氣液體系的絕對(duì)壓力、液體的溫度、接觸面積、接觸時(shí)間等因素相關(guān)，在0.1Mpa、溫度為15.56時(shí)，一容積的水可以溶解相同容積的二氧化碳。由此可知：可樂(lè)的制作過(guò)程必須在高壓、低溫下進(jìn)行，而實(shí)際的制作工藝過(guò)程和我們推斷相符（二氧化碳的溶解過(guò)程是在0.50.6Mpa的高壓、溫度在4的 環(huán)境下進(jìn)行）。易拉罐封裝前后存在溫度差，根據(jù)亨利定律：氣體溶解在液體中時(shí)，在一定溫度下，一定量的液體中溶解的氣體量與液體保持平衡時(shí)的氣體壓力成正比。即當(dāng)溫度T一定時(shí)： 其中：V-溶解氣體量 p-平衡壓力 H-亨利常數(shù)（取決于氣溫、壓強(qiáng)、物質(zhì) ）可知：罐體必須預(yù)留一定量的空間，用以存放溫差下逸出的氣體量，且內(nèi)部存在氣壓差，必須要考慮罐體的耐壓程度，必然要增加罐底的厚度（弧形結(jié)構(gòu)具有很好的耐壓能力，故在此不考慮側(cè)面）。本模型存在這方面的不足，結(jié)果亦不是最佳。 設(shè)計(jì)二：1、基本假設(shè)I) 考慮厚度的區(qū)別，結(jié)合我們測(cè)量所得數(shù)據(jù)，認(rèn)為上底面厚度是其它部分的三倍。II) 底面和側(cè)面的所使用的材料相同，即認(rèn)為材料的密度分布均勻。III)考慮易拉罐的預(yù)留體積，以測(cè)量所得355ml作為標(biāo)準(zhǔn)體積。2、模型建立采用等厚度面積法, 把上底面的面積看作是下底面的三倍，我們可以建立把用材料的最有問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積最優(yōu)問(wèn)題。所得模型2如下：min S= st. 用LINGO軟件求解，結(jié)果如下（程序見(jiàn)附件2）：面積的最小值：根據(jù)所得數(shù)據(jù)，利用CAD可做圖4圖4所得數(shù)據(jù)和我們的模型結(jié)果不符,上底面已經(jīng)變成了一個(gè)點(diǎn),即圓臺(tái)部分退化為一個(gè)圓錐,與原來(lái)模型相矛盾，故結(jié)果不是原模型的最優(yōu)解。設(shè)計(jì)三：1、基本假設(shè)I) 考慮厚度的區(qū)別，認(rèn)為上下底面厚度是其它部分的三倍。II) 底面和側(cè)面的所使用的材料相同，即認(rèn)為材料的密度分布均勻。III)考慮易拉罐的預(yù)留體積，以測(cè)量所得355ml作為標(biāo)準(zhǔn)體積。2、模型建立根據(jù)以上假設(shè)，采用等厚度面積法，類似于建立模型2的過(guò)程，我們可建立如下模型3：S= st. 用LINGO軟件求解，所得結(jié)果如下（程序見(jiàn)附件3）： 面積的最小值：根據(jù)所得數(shù)據(jù)，利用CAD可作出圖形5圖5這個(gè)結(jié)果同我們的原來(lái)模型不符合,即和假設(shè)2出現(xiàn)了同樣的問(wèn)題，所以建立的數(shù)學(xué)模型也不是最優(yōu)的模型。設(shè)計(jì)四：1、基本假設(shè)I) 考慮厚度的區(qū)別，認(rèn)為下底面厚度是其它部分的三倍。II) 底面和側(cè)面的所使用的材料相同，即認(rèn)為材料的密度分布均勻。III)考慮易拉罐的預(yù)留體積，以測(cè)量所得355ml作為標(biāo)準(zhǔn)體積。2、模型建立根據(jù)以上假設(shè)，采用等厚度面積法，類似于建立模型2的過(guò)程，我們可建立如下模型4： S=st. 以上是我用LINGO軟件求解，所得結(jié)果如下（程序見(jiàn)附件4）：面積的最小值： 根據(jù)所得數(shù)據(jù)，利用CAD可做出圖6：圖63、模型分析對(duì)于這一結(jié)果,我們發(fā)覺(jué)它和實(shí)際的尺寸十分接近，但在外形上有了很大的區(qū)別。經(jīng)過(guò)仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)模型擁有的結(jié)構(gòu)也十分相似，只是組合的方式不同而已?，F(xiàn)假設(shè)將模型的圓臺(tái)剪切下來(lái)，填充到模型底部，再把多出的2倍的圓臺(tái)體積折算成模型增加的高度即 其結(jié)果為則此模型的整體高度為這個(gè)數(shù)據(jù)跟我們測(cè)量的數(shù)據(jù)十分相近，由此我們可以猜想設(shè)計(jì)者最初得到的也可能是我們所得的這個(gè)模型,但考慮到制作工藝以及美觀等一些因素,將它改進(jìn),而改進(jìn)的結(jié)果就是我們現(xiàn)在所用的易拉罐的形狀.問(wèn)題4：利用你們對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。一、設(shè)計(jì)要求鑒于問(wèn)題3的分析過(guò)程，我們所設(shè)計(jì)出來(lái)的易拉罐的圖形及有關(guān)數(shù)據(jù)，應(yīng)該是在不考慮工藝制作時(shí)的形狀和尺寸的最優(yōu)。我們將從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮如何設(shè)計(jì)易拉罐：1、經(jīng)濟(jì)角度從經(jīng)濟(jì)角度而言，制作易拉罐的廠家希望獲取最大的利潤(rùn)，在價(jià)格一定的情況下，利潤(rùn)是否最大取決于原料、外型設(shè)計(jì)、生產(chǎn)線效率等方面，我們?cè)诖酥豢紤]外型設(shè)計(jì)，即在體積一定的前提條件下，形狀和尺寸如何確定能使所消耗的材料最少。2、視覺(jué)角度從視覺(jué)角度而言，易拉罐設(shè)計(jì)要符合一定的審美觀。為此，我們?cè)谠O(shè)計(jì)中引入黃金分割比：底面直徑與罐體高之比符合黃金分割、圓臺(tái)結(jié)合部分的半徑和上下圓臺(tái)半徑和之比符合黃金分割，可以達(dá)到最佳的視覺(jué)效果。3、安全角度 這里的安全角度是相對(duì)易拉罐的耐壓性而言，根據(jù)碳酸飲料的特點(diǎn)可知，罐體要承受一定量氣體和液體的壓力，我們知道圓弧具有很好的耐壓性，故罐體的側(cè)面受力可以不做考慮，但上下底面必須加大厚度，以防止罐體破裂。我們利用測(cè)量罐體所得到的數(shù)據(jù)，將側(cè)面和底面的厚度比按1：3進(jìn)行設(shè)計(jì)。4、消費(fèi)者角度從消費(fèi)者的角度而言，希望易拉罐飲料口感要好、開起后不易變質(zhì)、衛(wèi)生、使用方面、便于攜帶、握住時(shí)要手感舒適。易拉罐的口感、是否容易變質(zhì)及衛(wèi)生主要取決于飲料中二氧化碳的含量，根據(jù)前面的論述我們可知：在正常氣壓、溫度下，飲料中的溶解的二氧化碳和液體的容積比為1：1，而衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)兩者比值為1：2；對(duì)于這些問(wèn)題，我們通過(guò)增加瓶蓋的方案，降低二氧化碳的逸出速度來(lái)解決。二、方案設(shè)計(jì)利用在解決問(wèn)題三過(guò)程中模型4使用的方法和結(jié)論，結(jié)合模型2具有省材的特點(diǎn)，我們擬將易拉罐設(shè)計(jì)成：用兩個(gè)圓臺(tái)的組合，形成一個(gè)形狀和尺寸最優(yōu)的模型。建立如下數(shù)學(xué)模型： min st. 以上是我用LINGO軟件求解，所得結(jié)果如下（程序見(jiàn)附見(jiàn)5）:面積的最小值：上述模型的數(shù)據(jù)和我們所測(cè)量的易拉罐數(shù)據(jù)接近，按照數(shù)據(jù)比例，利用windows自帶畫圖軟件畫出的圖形（縱截面見(jiàn)下圖7）與可口可樂(lè)易拉罐瓶形狀接近，是滿足設(shè)計(jì)方案中前面三條的最優(yōu)模型。圖7三、設(shè)計(jì)改進(jìn)根據(jù)方案的可行性分析，我們利用得到的數(shù)據(jù)，在不改變比例的前提條件下， 結(jié)合設(shè)計(jì)方案，作出兩點(diǎn)改進(jìn)：1、 臺(tái)結(jié)合處尖角處采用圓弧過(guò)渡，避免應(yīng)力集中，強(qiáng)度和剛度的下降，可以提高罐體內(nèi)部的承壓能力，使安全系數(shù)進(jìn)一步提高，同時(shí)，給人以感官上的美學(xué)效果，及更好的手感。2、 下底部采用所測(cè)量易拉罐的設(shè)計(jì)。利用windows自帶畫圖軟件畫出的圖形（縱截面見(jiàn)圖8）圖8參考文獻(xiàn)：1 王兵團(tuán)，數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)，北京，清華大學(xué)出版社，北京交通大學(xué)出版社，2004年4月2 于義良，劉振航，梁邦助，數(shù)學(xué)建模，北京，中國(guó)人們大學(xué)出版社，2004年4月3 邊馥萍，侯文華，梁馮珍，數(shù)學(xué)模型方法與算法，北京，高等教育出版社，2005年5月4 周文國(guó)，易拉罐的設(shè)計(jì)方案，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，第12頁(yè)，2002年第1期5 王工一，易拉罐的尺寸，中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，第910頁(yè)，1999年第4期附件：min=3.14*(r1+r2)*(h22+(r1-r2)2)(1/2)+2*3.14*r1*h1+3.14*r12+3.14*r22;3.14*(r12+r22+r2*r1)*h2+9.42*r12*h1=1065;運(yùn)行結(jié)果如下：Local optimal solution found. Objective value: 263.9401 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost R1 4.035006 -0.2691735E-08 R2 1.878583 0.000000 H2 2.563619 0.1941567E-08 H1 5.506394 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 263.9401 -1.000000 2 0.000000 -0.1652207附件2：min=3.14*(r1+r2)*(h22+(r1-r2)2)(1/2)+2*3.14*r1*h1+3.14*r12+3*3.14*r22;3.14*(r12+r22+r2*r1)*h2+9.42*r12*h1=1065;Local optimal solution found. Objective value: 265.1824 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost R1 4.016103 -0.1005486E-07 R2 0.000000 0.000000 H2 3.592112 0.000000 H1 5.812160 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 265.1824 -1.000000 2 0.000000 -0.1659984附件3：min=3.14*(r1+r2)*(h22+(r1-r2)2)(1/2)+2*3.14*r1*h1+3*3.14*r12+3*3.14*r22;3.14*(r12+r22+r2*r1)*h2+9.42*r12*h1=1065;Feasible solution found. Objective value: 342.0433 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 453 Variable Value Reduced Cost R1 3.113641 -0.2754351E-04 R2 0.000000 0.000000 H2 2.784927 0.000000H1 10.73338 -0.7109372E-05 Row Slack or Surplus Dual Price 1 342.0433 -1.000000 2 0.000000 -0.2141117附件4：min=3.14*(r1+r2)*(h22+(r1-r2)2)(1/2)+2*3.14*r1*h1+3*3.14*r12+3.14*r22;3.14*(r12+r22+r2*r1)*h2+9.42*r12*h1=1065;Feasible solution found. Objective value: 341.2985 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 457 Variable Value Reduced Cost R1 3.120436 0.000000 R2 1.452786 0.2057944E-05 H2 1.982551 0.1051422E-