2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),1,第4章一元函數(shù)積分學(xué),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),2,微分,積分,如：已知SS(t)，求V(t),已知VV(t)，求S(t),微分,積分,4.1原函數(shù)與不定積分的概念,1運(yùn)算角度,一、問題的引入,2實(shí)際問題,即：微分的逆運(yùn)算是積分,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),3,例,1.定義:,二、原函數(shù),是的一個(gè)原函數(shù).,問題:1.原函數(shù)何時(shí)存在?2.有多少個(gè)?3.怎樣求?,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),4,2.原函數(shù)存在定理：,簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,問題：,(1)原函數(shù)是否唯一？,例,（為任意常數(shù)）,(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),5,3.原函數(shù)結(jié)構(gòu)定理：,（1）若，則對(duì)于任意常數(shù)，,（2）若和都是的原函數(shù)，,則,（為任意常數(shù)）,證,（為任意常數(shù)）,即：如果函數(shù)有一個(gè)原函數(shù)，則必有無窮多個(gè)原函數(shù)，且它們之間只相差一個(gè)常數(shù)，因而，廣義地講，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)只有一個(gè)。,全體原函數(shù)任意一個(gè)原函數(shù),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),6,1.不定積分的定義：,即：,三、不定積分,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),7,例1求,解,解,例2求,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),8,2.不定積分的幾何意義一簇曲線,初始條件：在f(x)的所有原函數(shù)中確定一個(gè)的條件.,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),9,例3設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.,解,設(shè)曲線方程為,根據(jù)題意知,由曲線通過點(diǎn)（1，2）,所求曲線方程為,3.不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1求不定積分和求導(dǎo)數(shù)、微分互為逆運(yùn)算,性質(zhì)2,性質(zhì)3,23,=,注：,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),11,四、基本積分表(1):,基本積分公式要熟記,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),12,基本積分公式要熟記,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),13,例2求積分,例1求積分,注:最后結(jié)果在沒有積分號(hào)時(shí)要加C,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),14,例3求積分,解,例4,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),15,例5求積分,解,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),16,例6求積分,解,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),17,例7求積分,解,說明：,以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),18,解,所求曲線方程為,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),19,基本積分表(1),不定積分的性質(zhì),原函數(shù)的概念：,不定積分的概念：,求微分與求積分的互逆關(guān)系,小結(jié),直接積分法,思考題,符號(hào)函數(shù),在(,+)內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？,解答,假設(shè)有原函數(shù)F(x)，則,故假設(shè)錯(cuò)誤,即f(x)在(,+)內(nèi)不存在原函數(shù).,結(jié)論,含有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒有原函數(shù).,由“F(x)可導(dǎo)必連續(xù)”得:,C1C2F(0),但F(x)在x0不可導(dǎo),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),21,提示：化分?jǐn)?shù)指數(shù),提示：用除法,練習(xí)：,提示：用除法,提示：用除法,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),22,提示：用三角公式,提示：用三角公式,提示：用三角公式,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),23,提示：用三角公式,提示：拆項(xiàng),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),24,作業(yè)：,P164：4-1(2)(3)(7)(8)4-3預(yù)習(xí)4.2換元積分法,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),25,問題,？,正確解法,一、第一換元法（湊微分法）,4.2換元積分法,不能直接用公式,因?yàn)閟in2x是復(fù)合函數(shù).,復(fù)習(xí):,驗(yàn)證,定理,證,第一類換元積分法(湊微分法),注：,(1)湊微分法的關(guān)鍵,(2)觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)果不同答案不唯一!,步驟：兩次積分,常省略!,引例解(3),例2,例1,(一)若，則,例3,公式!,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),29,例4,例5,公式!,公式!,或,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),30,例6,例7,(二)被積函數(shù)為積的形式,常用湊微分(第一次積分):,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),32,例10,例8,例9,例11,例12,例13,(三)三角函數(shù)的積分，往往利用三角恒等式變形后再利用上述方法解決。,例14,例15,公式!,公式!,類似地：,公式!,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),35,例16,附,積化和差,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),36,例17,例18,正、余弦偶次,降冪,正、余弦奇次,湊微分,再利用:,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),37,例19,(1)m,n均偶數(shù)降冪公式,(2)m,n一奇一偶拆奇，另用,(3)m,n均奇數(shù)拆小奇，另用,例20,例21,例22,湊微分法非常靈活，有時(shí)需要兩次、甚至三次湊微分后才能用公式求出結(jié)果。,例23,變形:,例24,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),40,例25,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),41,例26,例27,例28,例29,原式,解,43,解,例30設(shè)求.,令,例32,解,例31設(shè),求,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),44,作業(yè)：,P176：4-4(3)(4)(5)(6)(10)(11)(12)(13)預(yù)習(xí)4.3換元積分法,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),45,類似地：,公式!,例15,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),46,1.求下列不定積分,練習(xí),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),47,問題,解決方法,變量代換.,過程,令,(“湊微分”可求出結(jié)果),二、第二換元法,4.2換元積分法,湊微分法,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),48,證,F(t)為函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),t,注:(1)變換目的去掉被積函數(shù)中的根號(hào),規(guī)律:,三角代換,被積函數(shù)中含,可令,可令,可令,可令,說明:例含,設(shè)a0,定義域-a,a,令,單調(diào)可微,則,且,公式!,t,x,a,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),51,例2求,解,令,1,1,公式!,x,a,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),52,例3求,解,令,1,1,公式!,x,a,2020/5/6,微積分-第二換元法,53,基本積分表(2):,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),54,例4求,解,令,x,2,55,注:(2),（三角代換很繁瑣）,解令,積分中為了化掉、是否一定采用三角代換，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定,22,56,例6,x,a,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),57,解,令,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),58,注:(3),當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可令(其中n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)),例8求,解,令,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),59,例9求,解,令,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),60,注:(4),當(dāng)分母的次數(shù)較高時(shí),可采用倒代換,令,解,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),61,例11求,解,令,（分母的次數(shù)較高）,原式,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),62,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),63,兩類積分換元法：,（一）湊微分,（二）三角代換、倒代換、根式代換,基本積分表(2),三、小結(jié),湊微分法,第二換元法,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),64,解答,思考題,求積分,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),65,作業(yè)：,P176：4-4(19)(21)(22)(25)預(yù)習(xí)4.3分部積分法,66,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),67,練習(xí)1：求下列不定積分,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),68,練習(xí)2：用多種方法求下列不定積分,返回,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),69,練習(xí)3：求下列不定積分,4.3分部積分法,設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則,兩邊積分得,或:,難求,易積,問題,解決思路,利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.,移項(xiàng)得:,湊微分法,第二換元法,分部積分公式:,解(一),令,積分更難進(jìn)行.,解(二),令,使用分部積分法關(guān)鍵：正確選擇u、v.,引例,下面通過例題分析如何選擇u、v,=,=,為記憶方便，就基本題型總結(jié)出選擇u的口訣.,例1求,直接用分部積分公式,解原式,易積,例2求,解,總結(jié)被積函數(shù)僅含對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù),直接用分部積分公式.,比原積分簡(jiǎn)單,解,例3求,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),75,例4求,解,總結(jié)被積函數(shù)是三角函數(shù)(正、余弦)和多項(xiàng)式函數(shù)或指數(shù)函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)的乘積,令多項(xiàng)式函數(shù)為u,每使用一次分部積分公式可使多項(xiàng)式的次數(shù)降低1.記作“三多選多”、“指多選多”.,76,例5求,解,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),77,例6求,解,總結(jié)若被積函數(shù)是代數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或代數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u.記作“代對(duì)選對(duì)”、“代反選反”.,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),78,例7求,解,注意循環(huán)形式(“積分重現(xiàn)”),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),79,例7中也可選ex作u,(“積分重現(xiàn)”),總結(jié)被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和正、余弦函數(shù)的乘積，“指弦任選”，在重復(fù)使用分部積分公式時(shí)，“積分重現(xiàn)”，解出原積分(注意加常數(shù)C).,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),80,注：有時(shí)換元積分法與分部積分法結(jié)合使用。,例8求,解,口訣?,直接用法則?,“三多選多”,則x=t2,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),81,例9求,解,“指多選多”,令,(見例4),(為書寫方便),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),82,例10求,解,“代反選反”,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),83,解,或,注:被積函數(shù)含、等時(shí),常用分部積分法.,例11已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)是,求,翻譯為數(shù)學(xué)式子!,f(x)的一個(gè)原函數(shù)是,代入原式?,復(fù)雜化!,上兩式代入,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),84,例12求,85,解,P例:求遞推公式.,較易，補(bǔ)充例：,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),86,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),87,例14求,解,“代反選反”,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),88,解,練習(xí)：,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),91,合理選擇u、v，正確使用分部積分公式：,小結(jié),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),92,思考題,在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)，應(yīng)注意什么？,解答,注意前后幾次所選的u應(yīng)為同類型函數(shù).,例,第一次時(shí)若選,第二次時(shí)仍應(yīng)選,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),93,作業(yè)：,P181：4-5(5)(6)(8)(9)思考P188：4-10(2)預(yù)習(xí)4.4有理函數(shù)積分,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),94,2020/5/6,微積分-分部積分,95,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),96,湊微分法(第一換元),第二換元積分法,分部積分法,規(guī)律:被積函數(shù)僅含對(duì)數(shù)或反三角函數(shù),復(fù)習(xí):,直接積分法,兩類換元積分法,分部積分法,直接用公式;,被積,函數(shù)為兩類不同函數(shù)之積,u的選擇:,“三多選多”;“指多,選多”;“代對(duì)選對(duì)”;“代反選反”;“指弦任選”(積分重現(xiàn)).,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),98,例,假分式化為整式與真分式之和,真分式化為最簡(jiǎn)分式之和,今天專門探討這類有理函數(shù)積分的一般方法.,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),99,兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).,4.4有理函數(shù)的積分,一、有理函數(shù)的定義:,假定分子、分母無公因式,真分式：,假分式：,利用多項(xiàng)式除法,假分式可化成整式與真分式之和.,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),100,例,(難點(diǎn)),真分式,可化為部分分式之和,二、化真分式為部分分式之和,1.部分分式,指如下四種“最簡(jiǎn)真分式”：,101,(1)真分式的分母中有因式，則分解后為,2.真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律：,特殊地：,分解后為,(2)分母中有因式,則分解后為,特殊地：,分解后為,實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式均可唯一分解成一次因式和二次質(zhì)因式之積,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),102,3.部分分式的系數(shù)確定,例1,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),103,取x0,取x1,取x2,并將A、C值代入(1),例2,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),104,例3,即,三、有理函數(shù)的積分,一.有理函數(shù)定義,二.化真分式為,部分分式之和,2.將真分式分解成部分分式之和.,1.化假分式為整式和真分式之和.,3.逐項(xiàng)積分.,解,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),106,例5求積分,解,(分解見前例3),有理函數(shù)化為整式與部分分式之和后，只出現(xiàn)三類積分：,對(duì)積分(2)：,(1)多項(xiàng)式;,C,說明,2020/5/6,記作a2,討論積分(3)：,(1)n1,記作b,a、b記號(hào)同前,再令,(上節(jié)遞推公式),(2)n1,例6求積分,解,上上節(jié)例6(令x=tant)或：上節(jié)遞推公式,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),111,結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，且積分結(jié)果只含有有理分式、對(duì)數(shù)函數(shù)、反正切函數(shù)，不含其它類型的函數(shù).,注盡管被積函數(shù)只要連續(xù)就一定存在原函數(shù);初等函數(shù)在其定義區(qū)間連續(xù).但有的初等函數(shù)的原函數(shù)卻不是初等函數(shù),如,等不能用初等函數(shù)表示.,通常我們說這些積分是“積不出來”的。,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),112,例7求積分,解,令,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),113,注,上述有理函數(shù)的積分方法中，確定待定系數(shù)比較麻煩，故應(yīng)優(yōu)先選擇其它簡(jiǎn)便方法。例:,2.積分方法萬能代換,四、三角函數(shù)有理式的積分(補(bǔ)充),1.三角函數(shù)有理式：由三角函數(shù)及常數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算得到的函數(shù)?？捎洖?例,關(guān)于t的有理函數(shù)的積分,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),117,注意：上面的方法對(duì)三角函數(shù)有理式的積分均可積出，但應(yīng)優(yōu)先考慮簡(jiǎn)便解法，如湊微分法,練習(xí)：,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),118,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),119,作業(yè)：,P1884-6(2)(4)(6)4-7(1)預(yù)習(xí)4.5定積分,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),120,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),121,例,返回,返回,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),124,積分有不定積分和定積分之分。不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，定積分是求“和式的極限”.牛頓萊布尼茲公式給出它們之間的聯(lián)系.,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),125,4.5定積分的概念和性質(zhì),一、引例,求曲邊梯形的面積,a,b,c,d,x,y,o,A,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),126,解決步驟:,1)分割.,在區(qū)間a,b中任意插入n1個(gè)分點(diǎn),用直線x=xi將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形;,2)近似.,在第i個(gè)窄曲邊梯形上任取,作以xi-1,xi為底,為高的小矩形,并以此小,梯形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,(i=1,2,n),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),127,3)求和.,4)取極限.,令,則曲邊梯形面積,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),128,變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度v=v(t)CT1,T2,且,v(t)0,求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間T1,T2內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.,解決步驟:,1)分割.,在T1,T2中任意插入n1個(gè)分點(diǎn)將它分成,在每個(gè)小段上物體,2)近似.,n個(gè)小段ti-1,ti(i=1,2,n),經(jīng)過的路程為si(i=1,2,n).,(i=1,2,n),任取,以代替變速,得,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),129,3)求和.,4)取極限.,上述兩個(gè)問題的共性:,解決問題的方法步驟相同:,“分割,近似,求和,取極限”,所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:,特殊乘積和式的極限,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),130,二、定積分的定義,定義設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a=x0x1x2xn-1xn=b，把區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為xi=xi-xi-1(i=1,2,n)，在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作乘積并作和,(i=1,2,n),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),131,記為,積分上限,積分下限,積分和,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),132,注意：,將概念用于兩引例：,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),133,定理1,定理2,三、存在定理,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),134,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,四、定積分的幾何意義,例利用定義計(jì)算定積分,解,f(x)在0,1上連續(xù)，,故存在,將0,1n等分,分點(diǎn),(i1,2,n),取,(i1,2,n),136,思考題,將和式極限：,表示成定積分,解答,原式,或,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),137,對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:,五、定積分的基本性質(zhì),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),138,證,性質(zhì)2,性質(zhì)1,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),139,證,（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）,性質(zhì)3,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),140,補(bǔ)充：不論的相對(duì)位置如何,上式總成立.,例若,（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）,則,性質(zhì)4,a,b,c,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),141,證,性質(zhì)5,注：若f(x)x,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),143,證,注:(1)此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍,性質(zhì)6,(2)若m0,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),156,令,令,由定理1,若f(x)在a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上存在原函數(shù),積分上限函數(shù)就是它的一個(gè)原函數(shù)。那么,這個(gè)原函數(shù)與f(x)的其它原函數(shù)有何關(guān)系？,設(shè)F(x)是f(x)的另一原函數(shù),則,(確定C?),定理2,二、微積分學(xué)基本定理,設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè),原函數(shù),則,(牛頓萊布尼茨公式),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),157,微積分基本公式表明：,注意,求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)(求不定積分)的問題.,使用牛頓-萊布尼茨公式的條件：,被積函數(shù)f(x)必須在給定的區(qū)間a,b連續(xù),F(x)是f(x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)。,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),158,例4求,原式,解,例5設(shè),求.,解,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),159,例6求,解,解面積,y=x2,1,1,x,y,2,y=x,x,o,x,解：,當(dāng)0x1時(shí),當(dāng)1x2時(shí)，,例8設(shè),求在0,2上的表達(dá)式并討論其連續(xù)性,1)求X的分布函數(shù)F(x)2)求PX(0.5,1.5),解：,例.已知隨機(jī)變量X的概率密度為,當(dāng)x0時(shí),F(x)=,當(dāng)0x1時(shí)，,f(x)是分段函數(shù),求F(x)時(shí)要分段求,=0,PX(0.5,1.5)=,當(dāng)1x2時(shí),當(dāng)x2時(shí),必然事件!,=1,F(1.5)-F(0.5)=3/4,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),163,例9求,解,原式,例10求,(P178例4-42),x2+x-2=(x+2)(x-1)=0,x=-2，或x=1,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),164,例11求(ab),去絕對(duì)值！,x正負(fù)？,a、b正負(fù)？,討論!,解：0ab時(shí),原式,ab0時(shí),原式,a0時(shí)，,一般地：,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),192,f(x),f(x),f(x),g(x),g(x),g(x),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),193,194,解題步驟：1.聯(lián)列方程,求交點(diǎn)坐標(biāo);2.畫圖3.列出定積分式;4.算出結(jié)果,解,兩曲線的交點(diǎn),解,兩曲線的交點(diǎn),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),196,解,兩曲線的交點(diǎn),選y為積分變量,=18,選x為積分變量,注意：“被積函數(shù)、積分變量、積分上下限”三者必須統(tǒng)一。,=18,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),198,解,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),199,二、平行截面面積為已知的立體的體積,如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.,立體體積,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),200,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),201,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),202,旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,圓臺(tái),三、旋轉(zhuǎn)體的體積,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),203,旋轉(zhuǎn)體的體積為,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),204,旋轉(zhuǎn)體體積,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),205,解,直線方程為,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),206,例8.求橢球體體積(橢圓面繞x軸旋轉(zhuǎn)),例9：求平面曲線yx2與直線y0、x1圍成的平面圖形的面積及該平面圖形繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積,R,x2,12,r,注意：繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)“被積函數(shù)、積分變量、積分上下限”三者統(tǒng)一于y.,四、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用,1.已知總產(chǎn)量變化率f(t)(即Q(t)，求總產(chǎn)量Q(t),通常取t0=0,則,從而有:,從t=t1到t=t2這段時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)量,2.已知邊際成本C(x),求總成本,3.已知邊際收益R(x),求總收益,4.已知邊際利潤(rùn)L(x),求總利潤(rùn),Q(0)=0,2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),209,例10.設(shè)某產(chǎn)品的總產(chǎn)量變化率為f(t)=10010t0.45t2(噸/小時(shí)),求從t1=4到t2=8這段時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)量,解,(噸),2020/5/6,微積分-不定積分概念與性質(zhì),210,例11.設(shè)產(chǎn)品的總成本C(萬元)的變化率C(x)=1,總收入R(萬元)的