第 1 頁（共 19 頁 ） 2016 年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科） 一、選擇題 1已知集合 A=x R|0 x 2，則 ） A x|x 0 B x|x 2 C x|x 0 或 x 2 D x|x 0 或 x 2 2 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) =（ ） A + i B + C + i D i 3等比數(shù)列 ， 6， ，則 ） A 1 B 1 C 1 D 4從 1， 2， 3， 5 這四個數(shù)字中任意選出兩個數(shù)字，這兩個數(shù)字之和是偶 數(shù)的概率為（ ） A B C D 5若實數(shù) x， y 滿足不等式組 ，則 z=x y 的最大值為（ ） A 2 B 1 C 0 D 2 6已知命題 p： x R， 0；命題 q： x 2， x 0，則下列命題中為真命題的是（ ） A p q B p q C p q D p q 7若函數(shù) f（ x） =2x+x 2016 的一個零點 （ n， n+1），則正整數(shù) n=（ ） A 11 B 10 C 9 D 8 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的 x 值為 2，則輸出 v 的值為（ ） A 31 B 32 C 63 D 64 第 2 頁（共 19 頁 ） 9已知雙曲線 =1 的左焦點在拋物線 0x 的準(zhǔn)線上，且雙曲線的一條漸近線的斜率為 ，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 10某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖由一個半圓和一個矩形構(gòu)成，則該幾何體的表面積為（ ） A 12+2 B 14+2 C 14+ D 16+ 11直線 2 ） y 1=0 的傾斜角的取值范圍是（ ） A ， B 0， ， C（ 0， ， ） D 0， ， ） 12若關(guān)于 x 的不等式 x+1） ax+a 的解集為 1， +），則 a 的取值范圍為（ ） A ， +） B 2， +） C（ 0， +） D 1， +） 二、填空題 13已知函數(shù) f（ x） =x3+ f（ 2） =10，則 a=_ 14已知 ，則 +） 3+） 2 ） =_ 15已知 =（ 1， t）， =（ t， 6），則 |2 + |的最小值為 _ 16如圖， ， ， ， D=60， 銳角三角形， _ 三、解答題 17等差數(shù)列 首項 ，公差 d 0，且 a3a4= （ 1）求數(shù) 列 通項公式； （ 2）設(shè) bn=n，求數(shù)列 前 n 項和 第 3 頁（共 19 頁 ） 18某高中為了解全校學(xué)生每周參加體育運動的情況，隨機從全校學(xué)生中抽取 100 名學(xué)生，統(tǒng)計他們每周參與體育運動的時間如下： 每周參與運動的時間（單位：小時） 0， 4） 4， 8） 8， 12） 12， 16） 16， 20 頻數(shù) 24 40 28 6 2 （ 1）作出樣本的頻率分布直方圖； （ 2） 估計該校學(xué)生每周參與體育運動的時間的中位數(shù)及平均數(shù)； 若該校有學(xué)生 3000 人，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，估計該校學(xué)生每周 參與體育運動的時間不低于 8 小時的人數(shù) 19如圖，直角三角形 ， A=60，沿斜邊 的高 起到 E 在線段 （ 1）求證： （ 2）過點 D 作 點 M，點 N 為 點，若 平面 20已知橢圓 E： + =1（ a b 0）的離心率為 ，短軸長為 2 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）過圓 C： x2+y2=0 r b）上的任意一點作圓 C 的切線 l 與橢圓 E 交于 A， B 兩點，都有 O 為坐標(biāo)原點），求 r 的值 21已知函數(shù) f（ x） = （ 1）若函數(shù) g（ x） =f（ x） 定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 2）在（ 1）的條件下，且 a 1， h（ x） =3x 0， 求 h（ x）的極小值 選修 4何證明選 講 22如圖， O 的直徑 延長線與弦 延長線相交于點 P， E 為 O 上的一點， = ， 點 F （ 1）求證： O=B； （ 2）若 ， ， ，求弦 弦心距 第 4 頁（共 19 頁 ） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程選講 23已知曲線 C： （ 為參數(shù)），直線 l： （ t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點， x 軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 （ 1）寫出曲線 C 的極坐標(biāo)方程，直線 l 的普通方程； （ 2）點 A 在曲線 C 上， B 點在直線 l 上，求 A， B 兩點間距離 |最小值 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x+m|+|2x+1| （ 1）當(dāng) m= 1 時，解不等式 f（ x） 3； （ 2）若 m （ 1， 0，求函數(shù) f（ x） =|x+m|+|2x+1|的圖象與直線 y=3 圍成的多邊形面積的最大值 第 5 頁（共 19 頁 ） 2016 年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題 1已知集合 A=x R|0 x 2，則 ） A x|x 0 B x|x 2 C x|x 0 或 x 2 D x|x 0 或 x 2 【考點】 補集及其運算 【分析】 根據(jù)補集的定義求出集合 A 的補集即可 【解答】 解： 集合 A=x R|0 x 2， x|x 0 或 x 2 故選： D 2 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) =（ ） A + i B + C + i D i 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運算法則即可得出 【解答】 解：復(fù)數(shù) = = = ， 故選： A 3等比數(shù)列 ， 6， ，則 ） A 1 B 1 C 1 D 【考點】 等 比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可 【解答】 解：等比數(shù)列 ， 6， ，則 = =1 故選： A 4從 1， 2， 3， 5 這四個數(shù)字中任意選出兩個數(shù)字，這兩個數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為（ ） A B C D 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 從 1， 2， 3， 5 這四個數(shù)字中任意選出兩個數(shù)字，先求出基本事件總數(shù)，再求出這兩個數(shù)字之和是偶數(shù)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這兩個數(shù)字之和是偶數(shù)的概率 【解答】 解：從 1， 2， 3， 5 這四個數(shù)字中任意選出兩個數(shù)字， 基本事件總數(shù) n= ， 這兩個數(shù)字之和是偶數(shù)包含的基本事件個數(shù) m= =3， 第 6 頁（共 19 頁 ） 這兩個數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為 p= = = 故選： B 5若實數(shù) x， y 滿足不等式組 ，則 z=x y 的最大值為（ ） A 2 B 1 C 0 D 2 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)的圖象求出 z 的最大值即可 【解 答】 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示： ， 由 ，解得 ， 由 z=x y，得： y=x z， 顯然直線過（ 2， 0）時， z 最大， z 的最大值是 2， 故選： D 6已知命題 p： x R， 0；命題 q： x 2， x 0，則下列命題中為真命題的是（ ） A p q B p q C p q D p q 【考點】 復(fù)合命題的真假 【分析】 分別判斷出 p， q 的真假，從而判斷出復(fù)合命題的真假即可 【解答】 解：命題 p： x R， 0，是假命題， 命題 q： x 2， x= 0，是真命題， 故 p q 是假命題， p q 是假命題， p q 是真命題， p q 是假命題， 故選： C 7若函數(shù) f（ x） =2x+x 2016 的一個零點 （ n， n+1），則正整數(shù) n=（ ） 第 7 頁（共 19 頁 ） A 11 B 10 C 9 D 8 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【分析】 分別求出 f（ 10）和 f（ 11）并判斷符號，再由函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)唯一零點所在的區(qū)間，即可求出 n 【解答】 解： f（ 10） =210+10 2016 0， f（ 11） =211+11 2016 0， f（ x） =2x+x 2016 的存在零點 （ 10， 11） 函數(shù) f（ x） =2x+x 2016 在 R 上單調(diào)遞增， f（ x） =2x+x 2016 的存在唯一的零點 （ 10， 11） 函數(shù) f（ x） =2x+x 2016 的一個零點 （ n， n+1）， 則整數(shù) n=10 故選： B 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的 x 值為 2，則輸出 v 的值為（ ） A 31 B 32 C 63 D 64 【考點】 循環(huán)結(jié)構(gòu) 【分析】 模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的 v， n 的值，當(dāng) n=6 時不滿足條件 n 5，退出循環(huán)，輸出 v 的值為 63 即可得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 x=2， n=1， v=1 滿足條件 n 5，執(zhí)行循環(huán)體， v=3， n=2 滿足條件 n 5，執(zhí)行循環(huán)體， v=7， n=3 滿足條件 n 5，執(zhí)行循環(huán)體， v=15， n=4 滿足條件 n 5，執(zhí)行循環(huán)體， v=31， n=5 滿足條件 n 5，執(zhí)行循環(huán)體， v=63， n=6 不滿足條件 n 5，退出循環(huán)，輸出 v 的值為 63 故選： C 9已知雙曲線 =1 的左焦點在拋物線 0x 的準(zhǔn)線上，且雙曲線的一條漸近線的斜率為 ，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ） 第 8 頁（共 19 頁 ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 求得拋物線的準(zhǔn)線 方程可得 c=5，即 a2+5，求得漸近線方程可得 = ，解方程可得 a， b，進而得到雙曲線的方程 【解答】 解：拋物線 0x 的準(zhǔn)線為 x= 5， 可得雙曲線 =1 的左焦點為（ 5， 0）， 即 c=5，即 a2+5， 又漸近線方程為 y= x， 由題意可得 = ， 解得 a=3， b=4， 可得雙曲線的方程為 =1 故選： A 10某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖由一個半圓和一個矩形構(gòu)成，則該幾何體的表面積為（ ） A 12+2 B 14+2 C 14+ D 16+ 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知：該幾何體由兩部分組成，上面是一個球的 ，下面是一個長方體利用表面積計算公式即可得出 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體由兩部分組成，上面是一個球的 ，下面是一個長方體 該幾何體的表面積 =2 （ 2 2+1 2） +1 2+1 2+ =14+ 故選： C 第 9 頁（共 19 頁 ） 11直線 2 ） y 1=0 的傾斜角的取值范圍是（ ） A ， B 0， ， C（ 0， ， ） D 0， ， ） 【考點】 直線的一般式方程 【分析】 設(shè)直線 2 ） y 1=0 的傾斜角為 ，可得 ，對 a 分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)求值即可得出 【解答】 解：設(shè)直線 2 ） y 1=0 的傾斜角為 ， 則 ， a=0 時， ，可得 =0； a 0 時， = 1，當(dāng)且僅當(dāng) a=1 時取等號， ； a 0 時， 1，當(dāng)且僅當(dāng) a= 1 時取等號， ； 綜上可得： 故選： D 12若關(guān)于 x 的不等式 x+1） ax+a 的解集為 1， +），則 a 的取值范圍為（ ） A ， +） B 2， +） C（ 0， +） D 1， +） 【考點】 其他不等式的解法 【分析】 設(shè) x+1=t，則 解集為 0， +），根據(jù)函數(shù) y= y=圖象關(guān)系解答即可 【解答】 解：由已知，設(shè) x+1=t，則 解集為 0， +），根據(jù)函數(shù) y= y=圖象關(guān)系，當(dāng) x 0 時，切線斜率 y=最大值為 1，所以要使 x+1） ax+a 的解集為 1， +），只要 a 1； 故選： D 二 、填空題 13已知函數(shù) f（ x） =x3+ f（ 2） =10，則 a= 1 【考點】 函數(shù)的值 【分析】 將 x=2 代入 f（ x）的表達式，得到 8+2a=10，解出 a 的值即可 【解答】 解：已知函數(shù) f（ x） =x3+ 若 f（ 2） =10，即 f（ 2） =8+2a=10， 則 a=1， 故答案為： 1 14已知 ，則 +） 3+） 2 ） = 【考點】 運 用誘導(dǎo)公式化簡求值 第 10 頁（共 19 頁 ） 【分析】 利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求，代入 計算即可得解 【解答】 解： ， +） 3+） 2 ） = = = = 故答案為： 15已知 =（ 1， t）， =（ t， 6），則 |2 + |的最小值為 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 進行向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運算便可得出 ，從而進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求出 ，這樣配方即可求出 5（ 4t+8）的最小值，從而得出 的最小值 【解答】 解： =（ 2+t， 2t 6）； =5（ 4t+8） =5（ t 2） 2+20； t=2 時， 取最小值 20，即 取最小值 故答案為： 16如圖， ， ， ， D=60， 銳角三角形， 【考點】 正弦定理 【分析】 在 ，由余弦定理可得： 2+22 2 4 2 在 ，設(shè) ，則 20 由于 銳角三角形，可得 30 90 第 11 頁（共 19 頁 ） 由正弦定理可得： = = =4化簡整理即可得出 【解答】 解：在 ，由余弦定理可得： 2+22 2 4 2 12 在 ，設(shè) ，則 20 銳角三角形， 0 90， 0 120 90，可得 30 90 由正弦定理可得： = = =4 C=4 = =4 +30）， 30 90， 60 +30 120， +30） C 故答案為 ： 三、解答題 17等差數(shù)列 首項 ，公差 d 0，且 a3a4= （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）設(shè) bn=n，求數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式 【分析】 （ 1）由已知 a3a4=得 d=1，即可寫出通項公式； （ 2） bn=n=n2n，數(shù)列 前 n 項和 Tn=b1+b2+用乘以公比錯位相減法，求得 【解答】 解： a3a4= （ d）（ d） =（ 1d）， 解得： d=1， an=n， 數(shù)列 通項公式， an=n； bn=n=n2n， 數(shù)列 前 n 項和 2+2 22+3 23+n2n， 2 22+2 23+3 24+（ n 1） 2n+n2n+1， 兩式相減得： +22+23+2n n2n+1， Tn=n2n+1 2n+1+2=（ n 1） 2n+1+2 n 1） 2n+1+2 18某高中為了解全校學(xué)生每周參加體育運動的 情況，隨機從全校學(xué)生中抽取 100 名學(xué)生，統(tǒng)計他們每周參與體育運動的時間如下： 第 12 頁（共 19 頁 ） 每周參與運動的時間（單位：小時） 0， 4） 4， 8） 8， 12） 12， 16） 16， 20 頻數(shù) 24 40 28 6 2 （ 1）作出樣本的頻率分布直方圖； （ 2） 估計該校學(xué)生每周參與體育運動的時間的中位數(shù)及平均數(shù)； 若該校有學(xué)生 3000 人，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，估計該校學(xué)生每周參與體育運動的時間不低于 8 小時的人數(shù) 【考點】 頻率分布直方圖 【分析】 （ 1）根據(jù)頻率分布表，作出頻率分布直方圖即可； （ 2） 利用頻率分布直方圖求出中位數(shù)與平均數(shù)； 根據(jù)頻率分布直方圖，求出每周參與體育運動的時間不低于 8 小時的頻率與頻數(shù) 【解答】 解：（ 1）根據(jù)頻率分布表，作出頻率分布直方圖，如圖所示： （ 2） 中位數(shù)在區(qū)間 4， 8）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為 x， 則 x 4） 解得 x= 即估計該校學(xué)生每周參與體育運動時間的中位數(shù)為 時， 平均數(shù)為 2 0 4 8 根據(jù)頻率分布直方圖得，該校學(xué)生每周參與體育運動的時間不低于 8 小時的頻率是： 估計該校學(xué)生每周參與體育運動的時間不低于 8 小時的人數(shù)是 3000 080 19如圖，直角三角形 ， A=60，沿斜邊 的高 起到 E 在線段 （ 1）求證： （ 2）過點 D 作 點 M，點 N 為 點，若 平面 第 13 頁（共 19 頁 ） 【考點】 直線與平面平行的性質(zhì) 【分析】 （ 1）由 上的高，得出 此證明 平面 可證明 （ 2）連接 點 F，由 平面 出 明 等邊三角形，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出 的值即可 【解答】 解：（ 1） 上的高， 又 D=D， 平面 又 平面 ， （ 2）如圖所示， 連接 點 F， 平面 又點 N 為 點， 點 F 為 中點； F； 第 14 頁（共 19 頁 ） 又 0 60=30， 等邊三角形， 設(shè) DE=a，則 a， a； = = 20已知橢圓 E： + =1（ a b 0）的離心率為 ，短軸長為 2 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）過圓 C： x2+y2=0 r b）上的任 意一點作圓 C 的切線 l 與橢圓 E 交于 A， B 兩點，都有 O 為坐標(biāo)原點），求 r 的值 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）運用橢圓的離心率公式和短軸的概念，結(jié)合 a， b， c 的關(guān)系，解得 a=2， b=1，可得橢圓方程； （ 2）討論切線的斜率不存在和為 0，求得 A， B 的坐標(biāo)，由垂直的條件可得 r；證得圓 x2+任一點（ m， n）的切線與橢圓的交點 A， B，都有 出切線的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和兩直線垂直的條件，化簡整理，即可得到半徑 r 的值 【解答】 解：（ 1）由題意可得 e= = ， 2b=2，即 b=1， c2=，解得 c= ， a=2， 即有橢圓 E 的方程為 +； （ 2）當(dāng)切線 l 的斜率不存在，即 l： x=r 時， 代入橢圓方程可得 A（ r， ）， B（ r， ）， 由 得 1 ） =0，解得 r= ； 當(dāng)當(dāng)切線 l 的斜率為 0，即 l： y=r 時， 代入橢圓方程可得 A（ 2 ， r）， B（ 2 ， r）， 由 得 4（ 1 =0，解得 r= ； 只要證得圓 x2+上任一點（ m， n）的切線與橢圓的交點 A， B， 都有 由兩直線垂直的條件可得切線的方程為 mx+（ 0）， 聯(lián)立橢圓方程，消去 y，可得（ x+ 4， 設(shè) A（ B（ 可得 x1+， ， 第 15 頁（共 19 頁 ） 即有 （ = （ +m（ x1+ = + m = ， 則 + = = =0，即 故 r= 21已知函數(shù) f（ x） = （ 1）若函數(shù) g（ x） =f（ x） 定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 2）在（ 1）的條件下，且 a 1， h（ x） =3x 0， 求 h（ x）的極小值 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【 分析】 （ 1）先將 g（ x）在（ 0， +）上遞增，轉(zhuǎn)化成 f（ x） 0 對 x （ 0， +）恒成立，最后根據(jù)基本不等式求最值的方法可求出實數(shù) a 的取值范圍； （ 2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， h（ x） =33a），令 h（ x） =0 得 a，故 ， 分當(dāng) 0 x 時與當(dāng) x 時，再討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與單調(diào)性的規(guī)律，得出極值 【解答】 解：（ 1） g（ x） =f（ x） ax=義域：（ 0， +） g（ x） = 函數(shù) g（ x） =f（ x） 定義域內(nèi)為增函數(shù)， g（ x） = 0 在（ 0， +）恒成立， 即 a 在（ 0， +）恒成立， 令 t（ x） = ，只需 a t（ x） 最小值 即可， x 0， 當(dāng)且僅當(dāng) =2x， 時上式取等號， t（ x） 最小值 = ， a （ 2）由（ 1）以及條件得： 1 a ， h（ x） =3 h（ x） =33a）， 令 h（ x） =0 得 a， ， 第 16 頁（共 19 頁 ） 1 a ， ， = ， ， 當(dāng) 0 x 時， 2x a， a 0， h（ x） 0， h（ x）在 0，上遞減； 當(dāng) x 時， 2x a， a 0， h（ x） 0， h（ x）在 ，遞增； 當(dāng) 時，函數(shù) h（ x）取極小值， = 3a = = 選修 4何證明選講 22如圖， O 的直徑 延長線與弦 延長線相交于點 P， E 為 O 上的一點， = ， 點 F （ 1）求證： O=B； （ 2）若 ， ， ，求弦 弦心距 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 （ 1）先證明 利用割線定理，即可證得結(jié)論； （ 2）設(shè)圓的半徑為 r，由 得半徑為 5，由切割線定理可得 ， C=A解得 ，再由垂徑定理和勾股定理，計算可得弦 弦心距 【解答】 解：（ 1）證明：連接 = ， P= P， = ， O=C， 由割線定理可得 D=B， O=B （ 2）設(shè)圓的半徑為 r， ， ， ， 第 17 頁（共 19 頁 ） 由 得 = ， 即有 C=F， 即 4r= （ 2+r），解得 r=5 由切割線定理可得， C=A 即為 4（ 4+=2（ 2+2r）， 即有 CD=r 3=5 3=2， 則弦 弦心距為 = =2 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程選講 23已知曲線 C： （ 為參數(shù)），直線 l： （ t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點， x 軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 （ 1）寫出曲線 C 的極坐標(biāo)方程，直線 l 的普通方程； （ 2）點 A 在曲線 C 上， B 點