數(shù)量關系,第八章,第一部分向量代數(shù),第二部分空間解析幾何,在三維空間中:,空間形式點,線,面,基本方法坐標法;向量法,坐標,方程（組）,空間解析幾何與向量代數(shù),四、利用坐標作向量的線性運算,第一節(jié),一、向量的概念,二、向量的線性運算,三、空間直角坐標系,五、向量的模、方向角、投影,機動目錄上頁下頁返回結束,向量及其線性運算,第八章,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,既有大小,又有方向的量稱為向量,向徑(矢徑):,自由向量:,與起點無關的向量.,起點為原點的向量.,單位向量:,模為1的向量,零向量:,模為0的向量,有向線段M1M2,或a,機動目錄上頁下頁返回結束,規(guī)定:零向量與任何向量平行;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱,兩向量共線.,若k(3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k,個向量共面.,機動目錄上頁下頁返回結束,二、向量的線性運算,1.向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,運算規(guī)律:,交換律,結合律,三角形法則可推廣到多個向量相加.,機動目錄上頁下頁返回結束,機動目錄上頁下頁返回結束,2.向量的減法,三角不等式,機動目錄上頁下頁返回結束,3.向量與數(shù)的乘法,是一個數(shù),規(guī)定:,可見,總之:,運算律:,結合律,分配律,因此,機動目錄上頁下頁返回結束,定理1.,設a為非零向量,則,(為唯一實數(shù)),取,且,再證數(shù)的唯一性.,則,取正號,反向時取負號,機動目錄上頁下頁返回結束,則,例1.設M為,解:,機動目錄上頁下頁返回結束,三、空間直角坐標系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z軸(豎軸),過空間一定點o,坐標面,卦限(八個),zox面,1.空間直角坐標系的基本概念,機動目錄上頁下頁返回結束,向徑,在直角坐標系下,坐標軸上的點P,Q,R;,坐標面上的點A,B,C,點M,特殊點的坐標:,有序數(shù)組,(稱為點M的坐標),原點O(0,0,0);,機動目錄上頁下頁返回結束,坐標軸:,坐標面:,機動目錄上頁下頁返回結束,2.向量的坐標表示,在空間直角坐標系下,設點M,則,沿三個坐標軸方向的分向量.,的坐標為,機動目錄上頁下頁返回結束,四、利用坐標作向量的線性運算,設,則,平行向量對應坐標成比例:,機動目錄上頁下頁返回結束,例2.,求解以向量為未知元的線性方程組,解:,23,得,代入得,機動目錄上頁下頁返回結束,例3.已知兩點,在AB直線上求一點M,使,解:設M的坐標為,如圖所示,及實數(shù),得,即,機動目錄上頁下頁返回結束,說明:由,得定比分點公式:,點M為AB的中點,于是得,中點公式:,機動目錄上頁下頁返回結束,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模與兩點間的距離公式,則有,由勾股定理得,因,得兩點間的距離公式:,對兩點,與,機動目錄上頁下頁返回結束,例4.求證以,證:,即,為等腰三角形.,的三角形是等腰三角形.,為頂點,機動目錄上頁下頁返回結束,例5.在z軸上求與兩點,等距,解:設該點為,解得,故所求點為,及,思考:,(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?,(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?,離的點.,機動目錄上頁下頁返回結束,提示:,(1)設動點為,利用,得,(2)設動點為,利用,得,且,例6.已知兩點,和,解:,求,機動目錄上頁下頁返回結束,2.方向角與方向余弦,設有兩非零向量,任取空間一點O,稱=AOB(0)為向量,的夾角.,類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.,與三坐標軸的夾角,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,機動目錄上頁下頁返回結束,方向余弦的性質:,機動目錄上頁下頁返回結束,例7.已知兩點,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,計算向量,機動目錄上頁下頁返回結束,例8.設點A位于第一卦限,解:已知,角依次為,求點A的坐標.,則,因點A在第一卦限,故,于是,故點A的坐標為,向徑OA與x軸y軸的夾,第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束,3.向量在軸上的投影,例如,在坐標軸上的投影分別為,即,投影的性質,(為實數(shù)),例9.,設立方體的一條對角線為OM,一條棱為OA,且,解:如圖所示,記MOA=,作業(yè)P123,5,13,15,15,18,19,備用題,解:因,1.設,求向量,在x軸上的投影及在y,軸上的分向量.,在y軸上