1,2.2阿普爾鮑姆陣,考慮到如圖2.26所示的N元自適應(yīng)陣,具有解析信號(hào)和復(fù)加權(quán).通常,信號(hào)矢量為:,2.2.1最佳準(zhǔn)則,阿普爾鮑姆陣是基于使陣輸出端的需要信號(hào)與不需要信號(hào)(干擾和噪音)之比最大的概念.下面將首先給出阿普爾鮑姆陣的推導(dǎo),然后討論阿普爾鮑姆陣與LMS陣的關(guān)系.,(2.199),圖2.26N元自適應(yīng)陣,將信號(hào)矢量分為需要信號(hào),干擾和熱噪音信號(hào)項(xiàng):,(2.200),2,陣的輸出也可按同樣方式分為:,(2.201),因此,陣輸出端的需要信號(hào)功率,干擾功率和熱噪音功率分別為:,(2.202)-(2.204),定義陣輸出端的總的不需要功率為:,(2.205),采用最佳準(zhǔn)則來調(diào)整加權(quán),以使下面的量最大:,(2.206),首先假設(shè)陣接收的需要信號(hào)是“窄帶”的,則需要信號(hào)矢量可寫為:,(2.207),3,其中a表征需要信號(hào)的幅度和時(shí)間依賴關(guān)系的比例因子.而矢量則包含陣元間的相移和陣元方向圖.,式中,為幅度調(diào)制,為相位調(diào)制.,(2.212),(2.213),而為空間相位差因子.若第i個(gè)陣元方向圖為,則:,式中為陣元1與陣元i之間的相位移.,為了在矢量中分離出陣元間的相移,窄帶的假設(shè)是必要的.對一個(gè)到達(dá)的信號(hào),兩陣元間的相對相移為頻率的函數(shù).若需要信號(hào)是寬帶的,則對該寬帶內(nèi)的不同頻率,陣元間的相移將不同.窄帶假設(shè)意味著在整個(gè)帶寬內(nèi)實(shí)質(zhì)上為常數(shù).,4,陣輸出的需要信號(hào)為:,(2.214),因此,輸出的需要信號(hào)功率為:,(2.215),現(xiàn)在來看不需要的輸出信號(hào)功率.假設(shè)信號(hào)矢量和是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的零均值隨機(jī)過程,則:,注意可以寫為:,(2.216),(2.217),而式中:,(2.218),對于給定的加權(quán)矢量,陣輸出端的不需要信號(hào)為:,(2.219),5,因此,不需要的輸出功率為:,(2.220),因而,阿普爾鮑姆陣要尋求最大的量為:,(2.221),-Applebaum準(zhǔn)則,6,2.2.2最佳加權(quán)矢量,研究阿普爾鮑姆陣的第一步就是要證明式(2.221)的比值最大的加權(quán)矢量為:,(2.222),式中為任意比例常數(shù).,證明:,首先對加權(quán)矢量進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn),令:,(2.223),因?yàn)?故可以得到:,(2.224),選擇A使得,可以得到:,又因?yàn)?代入式(2.224)中:,式中A為矩陣,為元素是的列矢量.,(2.230),7,(2.231),式中,因此,變換可以視為將實(shí)際接收的信號(hào)和變換成新信號(hào)和.如圖2.27所示.,圖2.27變換,因而,陣的輸出信號(hào)可用矢量對和加權(quán)得到.變換與加權(quán)矢量結(jié)合等效于中原來的加權(quán)矢量,8,又因?yàn)?,(2.234),所以變換使總的不需要信號(hào)矢量的各分量之間互不相關(guān).,經(jīng)同樣變換之后得到需要信號(hào)矢量為:,(2.235),式中:,因此,陣的輸出需要信號(hào)為:,(2.237),而輸出的需要信號(hào)功率為:,(2.238),因而可以得到:,(2.239),(2.236),9,現(xiàn)在將要證明當(dāng)按下式選取時(shí),式(2.239)可以獲得最大比值:,(2.240),式中為任意常數(shù).為此,利用許瓦茲不等式:,(2.241),式中和分別為和的分量.將不等式代入式(2.239)得到:,(2.242),然而,若,則由式(2.239)可得:,(2.243),所以,對于式(2.240)所示的值,SINR能夠達(dá)到最大容許值.,10,此時(shí),變換后采用的加權(quán)矢量等效于由下式給出的加權(quán)矢量:,(2.244),將代入式中,并利用式就可以得到:,(2.245),這就是式(2.222)所要求的結(jié)果.,11,2.2.3阿普爾鮑姆陣反饋環(huán),根據(jù)式(2.222)所表示的最佳加權(quán)矢量,阿普爾鮑姆陣?yán)萌鐖D2.28所示的反饋環(huán)作為自適應(yīng)環(huán)來產(chǎn)生陣的加權(quán)矢量.,圖2.28阿普爾鮑姆陣,圖中,G為增益常數(shù),為低通濾波器的時(shí)間常數(shù),而s表示頻率.變量為的第j個(gè)元素.,12,為了證明圖2.28的環(huán)路能夠產(chǎn)生正確的穩(wěn)態(tài)陣加權(quán),需先確定對該環(huán)路的的微分方程.如圖2.28所示的那樣,令低通濾波器的輸出用表示.則滿足方程:,(2.246),因?yàn)榕c有下列關(guān)系:,(2.247),所以有:,(2.248),(2.249),將上面兩式代入式(2.246)中,便得到關(guān)于的微分方程:,(2.250),將該微分方程寫成矢量形式:,(2.251),13,最后,代入并進(jìn)行整理得到:,(2.252),假設(shè)加權(quán)矢量的響應(yīng)速度比起伏的速度低幾個(gè)數(shù)量級(jí),則有下列近似:,(2.253),所以加權(quán)的微分方程變?yōu)?,(2.254),因此,這個(gè)環(huán)所對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)加權(quán)矢量為:,(2.255),若環(huán)增益足夠大,上式可近似為:,(2.256),14,15,2.2.4變型的阿普爾鮑姆環(huán),若在圖2.28的環(huán)路結(jié)構(gòu)中作一點(diǎn)小的變動(dòng),便可消去1/G項(xiàng).實(shí)際上,若用圖2.29的環(huán)代替圖2.28的環(huán),便有:,圖2.29阿普爾鮑姆環(huán)的另一種形式,16,(2.258),相應(yīng)的矢量形式為:,(2.259),代入,并加以整理得到:,(2.260),或利用近似式得到:,(2.261),此環(huán)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)加權(quán)矢量為:,(2.262),它并不需要G必須是足夠大的限制條件.,17,2.2.5操縱矢量,假設(shè)在圖2.29中所示的環(huán)路中用矢量代替,則陣加權(quán)滿足的微分方程為:,(2.271),則穩(wěn)態(tài)的加權(quán)矢量為:,(2.272),假設(shè)沒有信號(hào)入射到陣上.信號(hào)中僅含有熱噪音,上式中簡化為:,(2.273),此時(shí),由式(2.272)所表示的穩(wěn)態(tài)加權(quán)矢量為:,(2.274),所以在沒有信號(hào)到來時(shí),加權(quán)矢量與僅差一個(gè)標(biāo)量因子.當(dāng)沒有信號(hào)入射到陣上時(shí),稱陣處于靜止?fàn)顟B(tài).此時(shí),陣的方向圖由決定,并將此方向圖稱為陣的靜態(tài)方向圖.顯然,可以選擇來得到需要的陣的靜態(tài)方向圖.,18,2.2.6LMS陣和阿普爾鮑姆陣的關(guān)系,LMS陣和阿普爾鮑姆陣的關(guān)系很簡單.阿普爾鮑姆陣的加權(quán)滿足式(2.271):,(2.275),LMS陣的加權(quán)滿足式(2.86):,(2.276),若,則兩個(gè)陣的性能將完全一樣.由于和只差一個(gè)標(biāo)量因子,基于最小均方誤差信號(hào)的LMS陣的穩(wěn)態(tài)加權(quán)同樣也產(chǎn)生最大SINR.,1