第三章最優(yōu)化計(jì)算方法,單變量?jī)?yōu)化多變量?jī)?yōu)化線性規(guī)劃離散最優(yōu)化,單變量?jī)?yōu)化,例3.1再來(lái)考慮售豬問(wèn)題。但現(xiàn)在考慮到豬的生長(zhǎng)率不是常數(shù)的事實(shí)。假設(shè)現(xiàn)在豬還小，生長(zhǎng)率是增加的。什么時(shí)候?qū)⒇i售出從而獲得最大收益？,求解模型圖像法,clearall;closeall;symsxy=(0.65-0.01*x)*200*exp(0.025*x)-0.45*x;ezplot(y,0,20);gridon,ezplot(y,0,20),ezplot(y,0,40),ezplot(y,18,22);gridon,ezplot(y,19,20);gridon,數(shù)值方法求解-Matlab,dydx=diff(y,x)xmax=solve(dydx);xmax=double(xmax)xmax=xmax(1)ymax=subs(y,x,xmax),Newton法,求方程F(x)=0的根.牛頓法：x(n)=x(n-1)-F(x(n-1)/F(x(n-1),F=dydx;F1=diff(F,x);formatlongN=10;%numberofiterationsx0=19%initialguessfprintf(iterationxvaluenn);fori=1:Nx1=x0-subs(F,x,x0)/subs(F1,x,x0);fprintf(%5.0f%1.16fn,i,x1);x0=x1;enddisplay(Hence,thecriticalpoint(solutionofF=0)is(approx),x1,靈敏性分析,考慮最優(yōu)售豬時(shí)間關(guān)于小豬增長(zhǎng)率c=0.025的靈敏性。,xvalues=0;forc=0.022:0.001:0.028y=(0.65-0.01*x)*200*exp(c*x)-0.45*x;dydx=diff(y,x);xmaxc=solve(dydx);xmaxc=double(xmaxc);xmaxc=xmaxc(1);xvalues=xvalues;xmaxc;endxvalues=xvalues(2:end);,cvalues=0.022:0.001:0.028;cvalues=cvalues;%transposestherowintoacolumnformatshort;display(cvalues,xvalues),例3.2更新消防站的位置。對(duì)響應(yīng)時(shí)間數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析給出：對(duì)離救火站r英里打來(lái)的求救電話，需要的響應(yīng)時(shí)間估計(jì)為。下圖給出了從消防管員處得到的從城區(qū)不同區(qū)域打來(lái)的求救電話頻率的估計(jì)數(shù)據(jù)。求新的消防站的最佳位置。,3.2多變量最優(yōu)化,設(shè)(x,y)為新消防站的位置，對(duì)求救電話的平均響應(yīng)時(shí)間為：?jiǎn)栴}為在區(qū)域0=x=6,0=y=6上求z=f(x,y)的最小值。,繪制目標(biāo)函數(shù)圖形,clearallsymsxyr1=sqrt(x-1)2+(y-5)2)0.91;r2=sqrt(x-3)2+(y-5)2)0.91;r3=sqrt(x-5)2+(y-5)2)0.91;r4=sqrt(x-1)2+(y-3)2)0.91;r5=sqrt(x-3)2+(y-3)2)0.91;r6=sqrt(x-5)2+(y-3)2)0.91;r7=sqrt(x-1)2+(y-1)2)0.91;r8=sqrt(x-3)2+(y-1)2)0.91;r9=sqrt(x-5)2+(y-1)2)0.91;z=3.2+1.7*(6*r1+8*r2+8*r3+21*r4+6*r5+3*r6+18*r7+8*r8+6*r9)/84;ezmesh(z),繪制等值線圖,ezcontourf(z,0606)colorbar,gridon,隨機(jī)搜索算法,算法：隨機(jī)搜索算法變量：a=x的下限，b=x的上限c=y的下限，d=y的上限xmin,ymin,zmin輸入：a,b,c,d,N過(guò)程：開(kāi)始x=randoma,b,y=randomc,dzmin=f(x,y)對(duì)n=1到N循環(huán)開(kāi)始x=randoma,by=randomc,dz=f(x,y)若zzmin,則xmin=x,ymin=y,zmin=z結(jié)束結(jié)束輸出：xmin,ymin,zmin,代碼實(shí)現(xiàn),a=0;b=6;c=0;d=6;N=1000;x0=a+(b-a)*rand(1);y0=c+(d-c)*rand(1);zmin=subs(z,x,y,x0,y0);fprintf(Iterationxminyminzminvaluenn);forn=1:Nxnew=a+(b-a)*rand(1);ynew=c+(d-c)*rand(1);znew=subs(z,x,y,xnew,ynew);ifznew=0上求利潤(rùn)函數(shù)z=f(x,y)的最大值。,繪制目標(biāo)函數(shù)及等值線圖,clearall,closeallsymsx1x2z=x1*(10+31*x1(-0.5)+1.3*x2(-0.2)-18*x1+x2*(5+15*x2(-0.4)+.8*x1(-0.08)-10*x2;ezsurfc(z,0.1100.110);title(ObjectiveFunctionz);,最優(yōu)值點(diǎn)大致位于x=5,y=6,隨機(jī)搜索求近似最優(yōu)值,a=0;b=10;c=0;d=10;N=1000;x10=a+(b-a)*rand(1);x20=c+(d-c)*rand(1);zmin=subs(-z,x1,x2,x10,x20);fprintf(Iterationx1minx2minzminvaluenn);forn=1:Nx1new=a+(b-a)*rand(1);x2new=c+(d-c)*rand(1);znew=subs(-z,x1,x2,x1new,x2new);ifznewzminx1min=x1new;x2min=x2new;zmin=znew;fprintf(%4.0f%1.6f%1.6f%1.6fn,n,x1min,x2min,zmin);endend,牛頓法求較精確的近似值,牛頓法見(jiàn)書p.56x=x1;x2;F=diff(z,x1);G=diff(z,x2);Dz=F;G;%thegradientvectorofz即求方程組Dz=0的解。,牛頓法代碼實(shí)現(xiàn),dFdx1=diff(F,x1);dFdx2=diff(F,x2);dGdx1=diff(G,x1);dGdx2=diff(G,x2);D2z=dFdx1dFdx2;dGdx1dGdx2;%JacobianofDz(sameasHessianofD2z)x0=5;5;%initialguessN=10;%numberofiterationsfori=1:NDz0=subs(Dz,x1,x2,x0(1),x0(2);D2z0=subs(D2z,x1,x2,x0(1),x0(2);xnew=x0-inv(D2z0)*Dz0;x0=xnew;endxmax=xnewzmax=subs(z,x1,x2,xmax(1),xmax(2),xmaxfigure,ezcontourf(z,0.1100.110)holdonplot3(xmax(1),xmax(2),zmax,mo,LineWidth,2,.MarkerEdgeColor,k,MarkerFaceColor,.491.63,.MarkerSize,12);title(Countourplotandoptimalvalue);,3.3線性規(guī)劃,例3.4一個(gè)家庭農(nóng)場(chǎng)有625英畝的土地可用來(lái)種植農(nóng)作物。這個(gè)家庭可考慮種植的農(nóng)作物有玉米、小麥、燕麥。預(yù)計(jì)有1000英畝-英尺的灌溉用水，農(nóng)場(chǎng)工人每周可以投入的工作時(shí)間為300小時(shí)。其他數(shù)據(jù)如下表。為獲得最大收益，每種作物應(yīng)各種植多少？,農(nóng)場(chǎng)問(wèn)題的有關(guān)數(shù)據(jù),變量：x1,x2,x3=種植玉米、小麥、燕麥的畝數(shù)w=需要的灌溉用水（英畝-英尺）l=需要的勞力（人-小時(shí)/周）t=種植作物的總英畝數(shù)y=總收益（美元）,假設(shè)：w=3.0 x1+1.0 x2+1.5x3=0目標(biāo)：求y的最大值,建模方法線性規(guī)劃,線性規(guī)劃簡(jiǎn)介見(jiàn)書p.59可以用lindo/lingo軟件求解,模型求解,MAX400X1+200X2+250X3SUBJECTTO3X1+X2+1.5X3=10000.8X1+0.2X2+0.3X3=300X1+X2+X3=625END,reducedcost值表示當(dāng)該非基變量增加一個(gè)單位時(shí)（其他非基變量保持不變）目標(biāo)函數(shù)減少的量(對(duì)max型問(wèn)題)也可理解為：為了使該非基變量變成基變量，目標(biāo)函數(shù)中對(duì)應(yīng)系數(shù)應(yīng)增加的量,靈敏性分析,增加1英畝-英尺灌溉水量對(duì)最優(yōu)解的影響MAX400X1+200X2+250X3SUBJECTTO3X1+X2+1.5X3=10010.8X1+0.2X2+0.3X3=300X1+X2+X3=625END,玉米收益的少量提高對(duì)最優(yōu)解的影響,農(nóng)作物每英畝收益會(huì)隨氣候及市場(chǎng)變化MAX450X1+200X2+250X3SUBJECTTO3X1+X2+1.5X3=10000.8X1+0.2X2+0.3X3=300X1+X2+X3=625END,燕麥?zhǔn)找娴纳倭刻岣邔?duì)最優(yōu)解的影響,MAX400X1+200X2+260X3SUBJECTTO3X1+X2+1.5X3=10000.8X1+0.2X2+0.3X3=300X1+X2+X3=625END,新品種玉米,這種玉米新品種需要較少的灌溉用水2.5英畝-英尺（而不是3.0）。MAX400X1+200X2+250X3SUBJECTTO2.5X1+X2+1.5X3=10000.8X1+0.2X2+0.3X3=300X1+X2+X3=625END,新增另一新的作物大麥,一英畝大麥需要1.5英畝-英尺的水和0.25人-小時(shí)的勞力，預(yù)期可獲得200美元的收益。用一個(gè)新的決策變量x4表示種植大麥的英畝數(shù)。MAX400X1+200X2+250X3+200 x4SUBJECTTO3X1+X2+1.5X3+1.5x4=10000.8X1+0.2X2+0.3X3+0.25x4=225,rD=450;cij=2dij,i=1,2,3cij=2dij+5,i=4C=c1Ax1A+c1Bx1B+c1Cx1C+c1Dx1D+c2Ax2A+c2Bx2B+c2Cx2C+c2Dx2D+c3Ax3A+c3Bx3B+c3Cx3C+c3Dx3D+c4Ax4A+c4Bx4B+c4Cx4C+c4Dx4D目標(biāo)：求C的最小值。,線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式,Miny=10 x1A+4x1B+12x1C+20 x1D+8x2A+10 x2B+14x2C+10 x2D+14x3A+12x3B+8x3C+8x3D+23x4A+25x4B+17x4C+9x4D約束條件：,x1A+x1B+x1C+x1D=175x1B+x2B+x3B+x4B=125x1C+x2C+x3C+x4C=225x1D+x2D+x3D+x4D=450 xij=0,i=1,2,3,4;j=A,B,C,D.,問(wèn)題求解,MIN10 x1A+4x1B+12x1C+20 x1D+8x2A+10 x2B+14x2C+10 x2D+14x3A+12x3B+8x3C+8x3D+23x4A+25x4B+17x4C+9x4DSUBJECTTOx1A+x1B+x1C+x1D=175x1B+x2B+x3B+x4B=125x1C+x2C+x3C+x4C=225x1D+x2D+x3D+x4D=450END,穩(wěn)健性分析,MIN10 x1A+4x1B+12x1C+20 x1D+8x2A+10 x2B+14x2C+10 x2D+14x3A+12x3B+8x3C+8x3D+23x4A+25x4B+17x4C+9x4DSUBJECTTOx1A+x1B+x1C+x1D=150 x2A+x2B+x2C+x2D=400 x3A+x3B+x3C+x3D=325x1A+x2A+x3A+x4A=175x1B+x2B+x3B+x4B=125x1C+x2C+x3C+x4C=225x1D+x2D+x3D+x4D=450END,3.4離散最優(yōu)化,例3.6仍考慮農(nóng)場(chǎng)問(wèn)題。這個(gè)家庭有625英畝的土地用來(lái)種植。有5塊每塊120英畝的土地和另一塊25英畝的土地。這家人想在每塊地上種植一種作物：玉米、小麥或燕麥。與前面一樣，有1000英畝-英尺可用的灌溉用水，每周農(nóng)場(chǎng)工人可提供300小時(shí)的勞力。其他數(shù)據(jù)下表給出。求應(yīng)在每塊地中種哪種植物，從而使總收益達(dá)最大。,農(nóng)場(chǎng)問(wèn)題的有關(guān)數(shù)據(jù),變量,x1=種植玉米的120英畝地塊數(shù)x2=種植小麥的120英畝地塊數(shù)x3=種植燕麥的120英畝地塊數(shù)x4=種植玉米的25英畝地塊數(shù)x5=種植小麥的25英畝地塊數(shù)x6=種植燕麥的25英畝地塊數(shù)w=需要的灌溉用水（英畝-英尺）l=需要的勞力（人-小時(shí)/周）t=種植作物的總英畝數(shù)y=總收益（美元）,假設(shè),w=120(3.0 x1+1.0 x2+1.5x3)+25(3.0 x4+1.0 x5+1.5x6)l=120(0.8x1+0.2x2+0.3x3)+25(0.8x4+0.2x5+0.3x6)t=120(x1+x2+x3)+25(x4+x5+x6)y=120(400 x1+200 x2+250 x3)+25(400 x4+200 x5+250 x6)w=1000,l=300,t=625x1+x2+x3=5,x4+x5+x6=1,x1,x6為非負(fù)整數(shù)。目標(biāo)：求y最大值。,整數(shù)規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式：,maxy=48000 x1+24000 x2+30000 x3+10000 x4+5000 x5+6250 x6s.t.375x1+125x2+187.5x3+75x4+25x5+37.5x6=1000100 x1+25x2+37.5x3+20 x4+5x5+7.5x6=300 x1+x2+x3=5x4+x5+x6=1x1,x6為非負(fù)整數(shù).,問(wèn)題求解,MAX48000 x1+24000 x2+30000 x3+10000 x4+5000 x5+6250 x6SUBJECTTO375x1+125x2+187.5x3+75x4+25x5+37.5x6=1000100 x1+25x2+37.5x3+20 x4+5x5+7.5x6=300 x1+x2+x3=5x4+x5+x6=1ENDGIN6,靈敏性分析,有100英畝-英尺的額外灌溉水量可用。只要灌溉水量不低于1000-25=975，最優(yōu)解不會(huì)改變?？捎盟恐挥?50時(shí)，又如何？以上靈敏性分析顯示，IP問(wèn)題解的不可預(yù)期的特點(diǎn)。,穩(wěn)健性分析,例如最小地塊為2時(shí)，問(wèn)題為：,Maxy=800 x1+400 x2+500 x3s.t.6.0 x1+2.0 x2+3.0 x3=10001.6x1+0.4x2+0.6x3=300 x1+x2+x3=312x1,x2,x3為非負(fù)整數(shù)。,問(wèn)題求解,MAX800 x1+400 x2+500 x3SUBJECTTO6.0 x1+2.0 x2+3.0 x3=10001.6x1+0.4x2+0.6x3=300 x1+x2+x3=312ENDGIN3,例3.7,仍考慮例3.5中的土方問(wèn)題。在使用10立方碼載重量的卡車運(yùn)輸?shù)那闆r下，公司已經(jīng)確定了最優(yōu)的運(yùn)輸方案。公司又有3輛更大的卡車可用于運(yùn)輸，載重量為20立方碼。使用這些車輛可能會(huì)在運(yùn)輸中節(jié)省一些資金。載重10立方碼的卡車平均用20分鐘裝車，5分鐘卸車，每小時(shí)平均開(kāi)20英里，費(fèi)用為每英里單位重量20美元。載重量20立方碼的卡車30分鐘裝車，5分鐘卸車，每小時(shí)平均開(kāi)20英里，費(fèi)用為每英里單位重量30美元，為最大限度地節(jié)省運(yùn)輸費(fèi)用，應(yīng)如何安排車輛的使用？,第一步，提出問(wèn)題,哪條路上使用哪種卡車？,假設(shè)每條路上只使用一種類型的卡車。由于大卡車運(yùn)量是小卡車的2倍，而費(fèi)用卻不到小卡車的2倍，因此，我們希望將這些卡車安排到能節(jié)約資金最多的路線上。計(jì)算每條路上使用不同類型的卡車能節(jié)約的費(fèi)用。,例如路線1：從1到B運(yùn)125立方碼，距離2英里。小卡車一次裝車20分鐘，卸車5分鐘，每小時(shí)20英里要開(kāi)6分鐘，因此運(yùn)一次需要31分鐘。125立方碼的土需要運(yùn)13次，共需13*31=403分鐘。假設(shè)一個(gè)工作日是8小時(shí)，這樣每輛卡車工作時(shí)間不超過(guò)480分鐘。因此，路線1用一輛卡車就足夠。,小卡車運(yùn)輸費(fèi)用：13（次）*2（英里/次）*20（美元/英里）=520美元如果線路1用大卡車，運(yùn)一次需要30+5+6=41分鐘，為運(yùn)走125立方碼的土，需要7次，共需7*41=287分鐘，因此一輛大卡車足夠。大卡車運(yùn)輸費(fèi)用為420美元，比用小卡車節(jié)省100美元。,類似計(jì)算其他路線上的情況,路線2：需要大卡車1輛，節(jié)約費(fèi)用360美元路線3：需要大卡車2輛，節(jié)約費(fèi)用400美元路線4：需要大卡車1輛，節(jié)約費(fèi)用200美元路線5：需要大卡車2輛，節(jié)約費(fèi)用640美元,變量及假設(shè),變量：xi=1如果在路線i上使用大卡車xi=0如果在路線i上使用小卡車T=用的大卡車總數(shù)y=節(jié)約的總費(fèi)用（美元）,假設(shè)T=1x1+1x2+2x3+1x4+2x5y=100 x1+360 x2+400 x3+200 x4+640 x5T=3目標(biāo)：求y的最大值,第二步，選擇建模方法,二值整數(shù)規(guī)劃-BIP,第三步，將問(wèn)題表為標(biāo)準(zhǔn)形式,MAXy=100 x1+360 x2+400 x3+200 x4+640 x5s.t.