3空間直角坐標系1空間直角坐標系及相關(guān)概念如右圖，在空間直角坐標系中，O叫作原點，x，y，z軸統(tǒng)稱為坐標軸，由坐標軸確定的平面叫作坐標平面，x、y軸確定的平面記作xOy平面，y，z軸確定的平面記作yOz平面，x，z軸確定的平面記作xOz平面2空間直角坐標系中點的坐標在空間直角坐標系中，對于空間任意一點P，都可以用一個三元有序數(shù)組(x，y，z)來表示，其中第一個是x坐標，第二個是y坐標，第三個是z坐標；反之，任何一個三元有序數(shù)組(x，y，z)都可以確定空間中的一個點P.這樣，在空間直角坐標系中，點與三元有序數(shù)組之間就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系3空間兩點間的距離公式給出空間兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|.1在數(shù)軸上，一個實數(shù)就能確定一個點的位置在平面直角坐標系中，需要一對有序?qū)崝?shù)才能確定一個點的位置為了確定空間中任意一點的位置，需要幾個實數(shù)？答案三個2空間直角坐標系需要幾個坐標軸，它們之間什么關(guān)系？答案空間直角坐標系需要三個坐標軸，它們之間兩兩相互垂直3空間兩點間的距離公式與平面兩間點的距離公式有什么樣的區(qū)別與聯(lián)系？答案區(qū)別：平面兩點間的距離公式是空間兩點間的距離公式的特例：在平面直角坐標系xOy中，已知兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|；在x軸上的兩點A，B對應(yīng)的實數(shù)分別是x1，x2，則|AB|x2x1|.聯(lián)系：空間兩點間的距離公式是平面兩點間的距離公式的推廣空間兩點間的距離公式雖然與坐標系的建立無關(guān)，但坐標系建立適當(dāng)可使運算簡便題型一.由點的坐標定位【典例1】在空間直角坐標系Oxyz中，作出點P(5,4,6)解解法一：第一步：從原點出發(fā)沿x軸正方向移動5個單位第二步：沿與y軸平行的方向向右移動4個單位第三步：沿與z軸平行的方向向上移動6個單位(如圖所示)，即得點P.解法二：以O(shè)為頂點構(gòu)造長方體，使這個長方體在點O處的三條棱分別在x軸，y軸，z軸的正半軸上，且棱長分別為5,4,6，則長方體與頂點O相對的頂點即為所求點P.已知點P的坐標確定其位置的方法(1)利用平移點的方法，將原點按坐標軸方向三次平移得點P.(2)構(gòu)造適合條件的長方體，通過和原點相對的頂點確定點P的位置(3)通過作三個分別與坐標軸垂直的平面，由平面的交點確定點P. 針對訓(xùn)練1(1)點(2,0,3)在空間直角坐標系中的位置在()AxOy平面上BxOz平面上CyOz平面上Dy軸上(2)在空間直角坐標系中，已知點M(1,2,3)，過該點作y軸的垂線，垂足為M，則M的坐標是()A(1,2,0) B(1,0,3)C(0,2,3) D(0,2,0)解析(1)點(2,0,3)中y0，在xOz平面上(2)M在y軸上，x0，z0，y不變，M的坐標為(0,2,0)答案(1)B(2)D題型二確定空間中點的坐標【典例2】設(shè)正四棱錐SP1P2P3P4的所有棱長均為a，建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼登簏cS、P1、P2、P3和P4的直角坐標思路導(dǎo)引建系時，應(yīng)考慮到各點的表示比較方便為宜解以底面中心作為坐標原點，棱P1P2、P1P4分別垂直于Oy軸和Ox軸(如圖)正四棱錐SP1P2P3P4，如圖所示，其中O為底面正方形的中心，P1P2Oy軸P1P4Ox軸，SO在Oz軸上，|P1P2|a，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上P1，P2.P3與P1關(guān)于原點O對稱，P4與P2關(guān)于原點O對稱P3，P4.又|OP1|a.在RtSOP1中，|SO|a.S.(1)建立空間直角坐標系時，應(yīng)遵循的兩個原則讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面上充分利用幾何圖形的對稱性(2)求某點M的坐標的方法作MM垂直平面xOy，垂足M，求M的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)針對訓(xùn)練2長方體OABCDABC中，O是坐標原點，OA是x軸，OC是y軸，OD是z軸，E是AB中點，F(xiàn)是BE中點，OA3，OC4，OD3，則點F的坐標為()A.B.C.D(3,0,3)解析由題可知A(3,0,0)，B(3,4,0)，E為AB的中點，E的坐標為(3,2,0)，B(3,4,3)，又F是BE的中點，F(xiàn).故選B.答案B題型三求空間中對稱點的坐標【典例3】在空間直角坐標系中，點P(2,1,4)(1)求點P關(guān)于x軸的對稱點的坐標；(2)求點P關(guān)于xOy平面的對稱點的坐標；(3)求點P關(guān)于點M(2，1，4)的對稱點的坐標思路導(dǎo)引首先找出該點位置，以圖象輔助找解(1)由于點P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為P1(2，1，4)(2)由于點P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為P2(2,1，4)(3)設(shè)對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)任意一點P(x，y，z)，關(guān)于原點對稱的點是P1(x，y，z)；關(guān)于x軸(橫軸)對稱的點是P2(x，y，z)；關(guān)于y軸(縱軸)對稱的點是P3(x，y，z)；關(guān)于z軸(豎軸)對稱的點是P4(x，y，z)；關(guān)于xOy平面對稱的點是P5(x，y，z)；關(guān)于yOz平面對稱的點是P6(x，y，z)；關(guān)于xOz平面對稱的點是P7(x，y，z)求對稱點的問題可以用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”的口訣來記憶針對訓(xùn)練3求點A(1,2，1)關(guān)于坐標平面xOy及x軸的對稱點的坐標解如圖所示，過點A作AM坐標平面xOy交平面于點M，并延長到點C，使AMCM，則點A與點C關(guān)于坐標平面xOy對稱，且點C(1,2,1)過點A作ANx軸于點N并延長到點B，使ANNB，則點A與B關(guān)于x軸對稱且點B(1，2,1)點A(1,2，1)關(guān)于坐標平面xOy對稱的點為C(1,2,1)；點A(1,2，1)關(guān)于x軸對稱的點為B(1，2,1).題型四空間兩點間的距離公式及其應(yīng)用【典例4】在四面體PABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，設(shè)PAPBPCa，求點P到平面ABC的距離思路導(dǎo)引根據(jù)立體幾何中有關(guān)距離的定義，點到面得距離，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離因此，該題若使用空間兩點間的距離公式，首先建立空間坐標系，確定相應(yīng)點的坐標，再確定P點在平面ABC內(nèi)的正交投影，然后利用空間兩點間的距離公式求解解根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標系，則P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)過點P作PH平面ABC，交平面ABC于H，則PH的長即為點P到平面ABC的距離PAPBPC，H為ABC的外心，又ABC為正三角形，H為ABC的重心，可得點H的坐標為.|PH|a.點P到平面ABC的距離是a.本題在立體幾何之中，可以通過等體積法也很容易求解但使用空間兩點間的距離公式的方法，思路更為直接，不過運算量沒有降低當(dāng)然，空間坐標系下的問題，離不開立體幾何知識針對訓(xùn)練4如圖所示，正方體棱長為1，以正方體的同一頂點上的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系Oxyz，點P在正方體的體對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上當(dāng)點P為體對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，求|PQ|的最小值 解如圖所示的空間直角坐標系，則P.Q點在CD上，設(shè)Q(0,1，z)，z0,1，|PQ|，當(dāng)z時，|PQ|min.1點P(1,2,0)位于()Ay軸上Bz軸上CxOy平面上DxOz平面上解析點P(1,2,0)位于xOy平面上答案C2已知點A(3,1，4)，則點A關(guān)于原點的對稱點的坐標為()A(1，3，4) B(4,1，3)C(3，1,4) D(4，1,3)解析空間中的一點關(guān)于原點對稱的點的坐標為原先每個點的坐標的相反數(shù)故所求的點是(3，1,4)答案C3設(shè)點B是點A(2，3,5)關(guān)于xOy面的對稱點，則|AB|()A10 B.C.D38解析點A(2，3,5)關(guān)于坐標平面xOy的對稱點是B(2，3，5)，故|AB|10.答案A4在空間中，已知點A(2,3,4)，在y軸上有一點B使得|AB|7，則點B的坐標為_解析設(shè)點B的坐標為(0，b,0)，由題意得7，解得b3. 點B的坐標為(0,3，0)或(0,3，0)答案(0,3，0)或(0,3，0)課后作業(yè)(二十七)(時間45分鐘)學(xué)業(yè)水平合格練(時間20分鐘)1在空間直角坐標系中，點A(1,2，3)關(guān)于x軸的對稱點為()A(1，2，3) B(1，2,3)C(1,2,3) D(1,2，3)解析兩點關(guān)于x軸對稱，坐標關(guān)系：橫坐標相同，縱豎坐標相反答案B2設(shè)yR，則點P(1，y,2)的集合為()A垂直于xOz平面的一條直線B平行于xOz平面的一條直線C垂直于y軸的一個平面D平行于y軸的一個平面解析點P(1，y,2)的集合為橫、豎坐標不變，而縱坐標變化的點的集合，由空間直角坐標的意義知，點P(1，y,2)的集合為垂直于xOz平面的一條直線，故選A.答案A3結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體)其中實圓代表鈉原子，空間圓代表氯原子建立空間直角坐標系Oxyz后，圖中最上層中間的鈉原子所在位置的坐標是()A.B(0,0,1)C.D.解析設(shè)圖中最上層中間的鈉原子所在位置為B點，以O(shè)、B為相對頂點，作出長方體ABCDOEFG，如圖所示：平面BFGC經(jīng)過點B與x軸垂直，點B在x軸上的射影為G點，結(jié)合G得B的橫坐標為；同理可得，點B在y軸上的射影為E點，結(jié)合E得B的縱坐標為；點B在z軸上的射影為D點，結(jié)合D(0,0,1)得B的豎坐標為1；由此可得點B的坐標為.故選A.答案A4在空間直角坐標系中，一定點到三個坐標軸的距離都是1，則該點到原點的距離是()A.B.C.D.解析如圖，不妨設(shè)B1點為定點由題意知，|B1A|B1C|B1D|1.|OB1|.答案A5已知三點A(1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，則()A三點構(gòu)成等腰三角形B三點構(gòu)成直角三角形C三點構(gòu)成等腰直角三角形D三點構(gòu)不成三角形解析|AB|，|AC|2，|BC|，|AB|BC|AC|，三點A，B，C共線，構(gòu)不成三角形，故選D.答案D6在空間直角坐標系中，下列說法中：在x軸上的點的坐標一定是(0，b，c)；在yOz平面上的點的坐標一定可寫成(0，b，c)；在z軸上的點的坐標可記作(0,0，c)；在xOz平面上的點的坐標是(a,0，c)其中正確說法的序號是_解析在x軸上的點的坐標可記作(a,0,0)，故說法錯誤；在yOz平面上的點的坐標可寫成(0，b，c)，故說法正確；在z軸上的點的坐標可記作(0,0，c)，故說法正確；在xOz平面上的點的坐標是(a,0，c)，故說法正確答案7在空間直角坐標系中，自點P(4，2,3)引x軸的垂線，則垂足的坐標為_解析過空間任意一點P作x軸的垂線，垂足均為(a,0,0)的形式，其中a為點P在x軸上的分量，所以垂足的坐標為(4,0,0)答案(4,0,0)8以原點為球心，5為半徑的球面上的動點P的坐標為P(x，y，z)，則x，y，z滿足的關(guān)系式為_解析由空間兩點間距離公式可得x2y2z225.答案x2y2z2259設(shè)有長方體ABCDABCD，長、寬、高分別為|AB|4 cm，|AD|3 cm，|AA|5 cm，N是線段CC的中點分別以AB、AD、AA所在的直線為x軸、y軸、z軸，以1 cm為單位長，建立空間直角坐標系(1)求A、B、C、D、A、B、C、D的坐標；(2)求N的坐標解(1)A、B、C、D都在平面xOy內(nèi)，點的豎坐標都為0，它們在x軸、y軸所組成的直角坐標系中的坐標分別是(0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3)，因此空間坐標分別是A(0,0,0)、B(4,0,0)、C(4,3,0)、D(0,3,0)A、B、C、D同在一個垂直于z軸的平面內(nèi)，這個平面與z軸的交點A在z軸上的坐標是5，故這四點的z的坐標都是5.從這四點作xOy平面的垂線交xOy平面于A、B、C、D四點，故A、B、C、D的x，y坐標分別與A、B、C、D相同，由此可知它們的空間坐標分別是A(0,0,5)、B(4,0,5)、C(4,3,5)、D(0,3,5)(2)N是線段CC的中點，有向線段CN的方向與z軸正方向相同，|CN|2.5，因此N的z坐標為2.5，C在xOy平面內(nèi)的平面坐標為(4,3)，這就是N的x、y坐標，故N的空間坐標為(4,3,2.5)10某人的住房因有關(guān)條件限制，只得把電視機擺放在500 cm350 cm的客廳的一角，它的對角是門一天，家里人正坐在客廳內(nèi)看電視轉(zhuǎn)播的一場精彩的球賽，高185 cm的房主人一趕回家就在門口看起球賽來了如果電視機放在100 cm高的位置，請問，站在門口的房主人和電視機在客廳中的位置，你能用適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系中的相關(guān)數(shù)據(jù)來具體刻畫嗎？解若如圖建立空間直角坐標系Oxyz，客廳一邊OB長為500 cm.另一邊OA長為350 cm，點D為電視機位置，點E為房主從門口看電視的視線始發(fā)點故用坐標具體刻畫，可加以如下描述：房主下班后一回家，就站在門口的點A(350,0,0)處，兩眼聚精會神地從點E(350,0,185)看著放在點D(0,500,100)處的電視里轉(zhuǎn)播的精彩的球賽節(jié)目應(yīng)試能力等級練(時間25分鐘)11如圖，在正方體ABCDABCD中，棱長為1，|BP|BD|，則P點的坐標為()A.B.C.D.解析連接BD，點P在xDy平面的射影落在BD上，|BP|BD|，PxPy，Pz，故P.答案D12ABC在空間直角坐標系中的位置及坐標如圖所示，則BC邊上的中線的長是()A.B2C.D3解析BC的中點坐標為M(1,1,0)，又A(0,0,1)，|A