2001年天津市大學數(shù)學競賽試題參考答案（經(jīng)濟管理類）一、填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫杠上面。）1. 函數(shù)在（-，+）上連續(xù)，則a = 2 。2. 設(shè)函數(shù)y = y(x) 由方程所確定，則 。3. 由曲線與x軸所圍成的圖形的面積A = 。4. 設(shè)E為閉區(qū)間0，4上使被積函數(shù)有定義的所有點的集合，則 。5已知，則 。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）1. 若且，則（ D ）（A） 存在； （B） （C） 不存在； （D） A、B、C均不正確。2. 設(shè)，則當時，（ A ）（A）與為同階但非等價無窮小； （B）與為等價無窮小；（C）是比更高階的無窮??； （D）是比更低階的無窮小。3. 設(shè)函數(shù)對任意x都滿足，且，其中a、b均為非零常數(shù)，則在x = 1處（ D ）（A）不可導； （B）可導，且；（C）可導，且； （D）可導，且。4. 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且不恒為零，I=，其中s 0，t 0，則I的值（ C ）（A）與s和t有關(guān)； （B）與s、t及x有關(guān)；（C）與s有關(guān)，與t無關(guān)； （D）與t有關(guān)，與s無關(guān)。5. 設(shè)u (x，y) 在平面有界閉區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足及，則（ B ）。（A）u (x，y) 的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的內(nèi)部；（B）u (x，y) 的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上；（C）u (x，y) 的最大值點在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點在區(qū)域D的邊界上；（D）u (x，y) 的最小值點在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點在區(qū)域D的邊界上。以下各題的解答寫在試題紙上，可以不抄題，但必須寫清題號，否則解答將被視為無效。三、求極限 。（本題6分）解：；由此得到： 。四、求星形線，在處的切線與Ox軸的夾角。（本題6分）解：， ，故 ，即傾角的正切tg=1，于是得到切線與Ox軸的夾角。五、已知方程定義了函數(shù)，求。（本題7分）解：六、計算。（本題6分）解：命：，于是。七、計算。（本題7分）解：先從給定的累次積分畫出積分區(qū)域圖，再交換累次積分次序，得到。八、某工廠計劃投資144（百萬元）用于購進A、B兩種生產(chǎn)線，A生產(chǎn)線每套售價4（百萬元），B生產(chǎn)線每套售價3（百萬元）。若購進x套A生產(chǎn)線和y套B生產(chǎn)線，可使該廠新增年產(chǎn)值（百萬元）問該廠應(yīng)當分別購進A、B兩種生產(chǎn)線個多少套，能使該廠新增年產(chǎn)值最大，并求此最大值。（本題8分）解：構(gòu)造，則 其中由(1)、(2)得 (4)與(5)相乘，得到 （因0，x10，定義求證：存在，并求其值。（本題8分）解：第一步：證明數(shù)列的極限存在：注意到：當n 2時，因此數(shù)列有下界。又，即xn+1xn ，所以單調(diào)遞減，由極限存在準則知，數(shù)列有極限。第二步：求數(shù)列的極限設(shè)：，則有。由，有，解得（舍掉負根），即。十、證明：當x 0時，。（本題7分）證明：設(shè)（x 0），則即在區(qū)間（0，+）上函數(shù)y單調(diào)遞減，又，所以（x 0），即。十一、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間0，1上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導，且，求證：在開區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一點，使得。（本題7分）證明：由積分中值定理知，存在，使得又函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，內(nèi)可導，由羅爾定理知，至少存在一點，使得。十二、設(shè)在區(qū)間上具有二階導數(shù)，且，。證明。（本題8分）證明：對任意的