四川省內(nèi)江市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次模擬考試試題 理（含解析）第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置.）1.設(shè)全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用補(bǔ)集概念及運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】全集，集合，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷即可【詳解】，共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出共軛復(fù)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵3.雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線方程，轉(zhuǎn)化求出雙曲線的離心率即可【詳解】解：雙曲線的一條漸近線方程為，可得，即，解得e2，e故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，涉及雙曲線的漸近線方程，離心率等知識(shí)，考查計(jì)算能力4.已知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則展開式中的系數(shù)為（ ）A. 20B. 15C. 10D. 5【答案】D【解析】【分析】由題意知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，求得，再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即可求解?！驹斀狻坑深}意知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，即，解得，則二項(xiàng)式的展開式中的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為5，故選D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的系數(shù)和，及展開式的項(xiàng)的系數(shù)的求解，其中解答中熟記二項(xiàng)式的系數(shù)和的解法，以及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題。5.設(shè)隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是（ ）（注：若，則，）A. 7539B. 7028C. 6587D. 6038【答案】C【解析】【分析】由題意正方形的面積為，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，求得陰影部分的面積，利用面積比的幾何概型求得落在陰影部分的概率，即可求解，得到答案?！驹斀狻坑深}意知，正方形的邊長(zhǎng)為1，所以正方形的面積為 又由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對(duì)稱，且，又由，即，所以陰影部分的面積為，由面積比的幾何概型可得概率為，所以落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，以及面積比的幾何概型的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，準(zhǔn)確求得落在陰影部分的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題。6.函數(shù)在上圖象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，結(jié)合f（1）的值即可作出判斷.【詳解】解：f（x）（x）cos（x）（x）cosxf（x），函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C，D，f（1）2cos10，排除B，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系,利用排除法是解決本題的關(guān)鍵7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則其公差為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，列出方程組，即可求解，得到答案。【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，則，解得，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題。8.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性與最小值，判定最小值，即可得到答案?！驹斀狻坑深}意，函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，所以函數(shù)沒有零點(diǎn)，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，其中解答中利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。9.某城市有連接8個(gè)小區(qū)、和市中心的整齊方格形道路網(wǎng)，每個(gè)小方格均為正方形，如圖所示，某人從道路網(wǎng)中隨機(jī)地選擇一條最短路徑，由小區(qū)前往小區(qū)，則他不經(jīng)過市中心的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此人從小區(qū)A前往H的所有最短路徑共6條記“此人經(jīng)過市中心O”為事件M，則M包含的基本事件為共4個(gè)由此能求出他經(jīng)過市中心的概率【詳解】此人從小區(qū)A前往H的所有最短路徑為：ABCEH，ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，ADFGH，共6條記“此人經(jīng)過市中心O”為事件M，則M包含的基本事件為：ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，共4條，即他經(jīng)過市中心的概率為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查概率的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意列舉法的靈活運(yùn)用10.九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹腻涹w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”（已知1丈為10尺）該鍥體的三視圖如圖所示，則該鍥體的體積為（ ）A. 12000立方尺B. 11000立方尺C. 10000立方尺D. 9000立方尺【答案】C【解析】【分析】由題意，將鍥體分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體，利用所給數(shù)據(jù)，即可求出體積【詳解】解：由題意，將鍥體分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，則將幾何體分成兩個(gè)四棱錐和1個(gè)直三棱柱，則三棱柱的體積V13226，四棱錐的體積V21322，由三視圖可知兩個(gè)四棱錐大小相等，VV1+2V210立方丈10000立方尺故選：C【點(diǎn)睛】本題考查幾何體體積的計(jì)算，正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計(jì)算是關(guān)鍵11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)是偶函數(shù)，得到，得到，分析得出，即可求解?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，設(shè)，則，則由，又由函數(shù)是偶函數(shù)，則，變形可得，即，必有，分析可得，可得滿足題意，故選D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)和差公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于的三角恒等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。12.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，上下頂點(diǎn)分別為、，直線與該橢圓交于、兩點(diǎn).若，則直線的斜率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意，可得，不妨設(shè)，則，得，此時(shí)橢圓的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組得點(diǎn)，利用斜率公式，即可求解。【詳解】由題意，橢圓，且滿足，如圖所示，則在中，且，所以，不妨設(shè)，則，所以，則橢圓的方程為，又由，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組 ，整理得，解得或，把代入直線，解得，即 又由點(diǎn)，所以的斜率為，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得出橢圓的方程，再聯(lián)立方程組，求得M的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題。第卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在答題卡上.）13.設(shè)向量，且，則實(shí)數(shù)的值是_【答案】2【解析】【分析】由條件利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)求得x的值【詳解】解：，且，2x，即x2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題14.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則_【答案】8【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求得，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，即可求解，得到答案?！驹斀狻坑蓪?duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，即，所以，在等比數(shù)列中，因?yàn)椋瑒t?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題。15.已知是定義在上的奇函數(shù)，若的圖象向左平移2個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱，且，則_【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)得到函數(shù)具備周期性，即可得到結(jié)論【詳解】解：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（0）0，將的圖象向左平移2個(gè)單位后，得到g（x）f（x+2）為偶函數(shù)，則g（x）g（x），即f（x+2）f（x+2）又是定義在上的奇函數(shù)，-f（x2）f（x+2）即f（x）f（x+4），故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵16.如圖所示，在中，在邊上任取一點(diǎn)，并將沿直線折起，使平面平面，則折疊后、兩點(diǎn)間距離的最小值為_【答案】【解析】【分析】設(shè)，,過點(diǎn)C作于E，過B作交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得到，進(jìn)而得到，求得，即可求解?！驹斀狻咳鐖D所示，設(shè)，則,過點(diǎn)C作于E，過B作交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，所以，所以，所以 ，當(dāng)時(shí)，?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了平面圖形的折疊問題，及兩點(diǎn)間距離的最值，其中解答中過點(diǎn)C作于E，過B作于點(diǎn)F，利用 ，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題。三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.如圖所示，在中，是邊上一點(diǎn)，.（1）求的面積；（2）求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理，求得，得到，進(jìn)而利用三角形的面積公式，即可求解；（2）由兩角和的正弦公式，求得，再在中，利用正弦定理即可求解，得到答案?！驹斀狻浚?）在中，由余弦定理得 .，故. .（2）， .在中，由正弦定理得， .【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題。18.基于移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國(guó)，給人們帶來新的出行體驗(yàn)，某共享單車運(yùn)營(yíng)公司的市場(chǎng)研究人員為了了解公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)公司最近6個(gè)月的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：月份2020.112020.122020.012020.022020.032020.04月份代碼123456111316152021（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明能否用線性回歸模型擬合與月份代碼之間的關(guān)系.如果能，請(qǐng)計(jì)算出關(guān)于的線性回歸方程，如果不能，請(qǐng)說明理由；（2）根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司決定再采購一批單車擴(kuò)大市場(chǎng)，從成本1000元/輛的型車和800元/輛的型車中選購一種，兩款單車使用壽命頻數(shù)如下表：車型 報(bào)廢年限1年2年3年4年總計(jì)1030402010015403510100經(jīng)測(cè)算，平均每輛單車每年能為公司帶來500元的收入，不考慮除采購成本以外的其它成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，用頻率估計(jì)每輛車使用壽命的概率，以平均每輛單車所產(chǎn)生的利潤(rùn)的估計(jì)值為決策依據(jù)，如果你是公司負(fù)責(zé)人，會(huì)選擇哪款車型？參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：相關(guān)系數(shù)，.【答案】（1）能,；（2）應(yīng)采購款車型.【解析】【分析】（1）由表格中數(shù)據(jù)，利用公式，求得的值，即可得到回歸直線的方程；（2）分別求得100輛款和款單車平均每輛的利潤(rùn)，即可作出估計(jì)，得到答案?！驹斀狻浚?）由表格中數(shù)據(jù)可得，. .與月份代碼之間具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，故可用線性回歸模型擬合兩變量之間的關(guān)系.，關(guān)于的線性回歸方程為.（2）這100輛款單車平均每輛利潤(rùn)為（元），這100輛款單車平均每輛的利潤(rùn)為（元）。用頻率估計(jì)概率，款單車與款單車平均每輛的利潤(rùn)估計(jì)值分別為350元、400元，應(yīng)采購款車型.【點(diǎn)睛】本題主要考查了回歸直線方程的求解及應(yīng)用，其中解答中根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用公式，準(zhǔn)確計(jì)算的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題。19.如圖所示，在三棱錐中，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是側(cè)棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于、的平面分別交棱、于點(diǎn)、.（1）證明：四邊形為矩形；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由線面平行的性質(zhì)定理，分別證得和，得到四邊形為平行四邊形，再由線面垂直的性質(zhì)定理，證得，即可得到答案。（2）以為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解。【詳解】（1）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，平面，平面平面，平面平面，.同理，由平面得，四邊形為平行四邊形.與都是等邊三角形，又，平面，故，又由上知，四邊形為矩形.（2）平面平面，平面平面，平面，平面，兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，設(shè)平面的法向量為，由，令，得.同理可得平面的法向量， .由圖形可知，所求二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.已知橢圓：的離心率為，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率為，求得,再由圓的性質(zhì)和圓的弦長(zhǎng)公式，求得，進(jìn)而可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的方程：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，再利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算和代數(shù)式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論?！驹斀狻浚?）橢圓的離心率為，,圓的圓心到直線的距離為,直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.解得，故，橢圓的方程為.（2）設(shè)，當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)的方程：.由得， ，當(dāng)，即時(shí)，的值與無關(guān)，此時(shí).當(dāng)直線與軸重合且時(shí)， .存在點(diǎn)，使得為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等。21.已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)在區(qū)間（其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最小值；（2）若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最小值；（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處與函數(shù)在點(diǎn)處有相同的切線，分別求得，利用斜率相等，轉(zhuǎn)化為方程有解，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解?！驹斀狻浚?）由題意，可得， ，令，得.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.綜上，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處與函數(shù)在點(diǎn)處有相同的切線，則，代入得.問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程有解，設(shè)，則函數(shù)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.問題轉(zhuǎn)化為：的最小值小于或等于0.，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.由知，故.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的最小值等價(jià)于.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)