湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)考前演練試題（五）文（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，則 （）A. B. 或C. D. 或【答案】C【解析】【分析】求出A中不等式的解集，找出兩集合的交集即可【詳解】由題意可得，所以.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵2.若點(diǎn)P（1，2）是角a的終邊上一點(diǎn)，則 （）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得，再由二倍角公式可得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P（1，2）是角a的終邊上一點(diǎn)，所以.所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則|z|= （）A. 1B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法除法運(yùn)算法則即可得出【詳解】因?yàn)椋?故答案A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法除法以及求模的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題4.設(shè)雙曲線的兩焦點(diǎn)之間的距離為10，則雙曲線的離心率為 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得出,再利用a,b,c的關(guān)系，離心率公式得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線兩焦點(diǎn)之間的距離為10，所以，所以，所以.所以離心率.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線基本量a,b,c的關(guān)系,離心率的公式,基礎(chǔ)題.5.下列關(guān)于函數(shù)的判斷中，正確的是 （）A. 函數(shù)f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形B. 函數(shù)f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形C. 函數(shù)f（x）有最大值D. 當(dāng)時(shí)，f（x）是減函數(shù)【答案】B【解析】【分析】A，B兩個(gè)選項(xiàng)考查函數(shù)的奇偶性，所以必須先求出定義域；C,D兩個(gè)選項(xiàng)考查函數(shù)的單調(diào)性，可以利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析、判斷【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以B正確，A錯(cuò)誤；，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）沒有最大值，且當(dāng)，時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，但，所以C、D錯(cuò)誤。故選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、對(duì)稱性等，屬于中檔題目6.如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得：，結(jié)合向量加法的四邊形法則及平面向量的基本定理可求.【詳解】根據(jù)題意得：，又，所以.應(yīng)故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.7.若ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，ABC的面，則a= （）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式可得,利用正余弦平方關(guān)系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【詳解】因?yàn)?，面積，所以.所以.所以，.所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理,面積公式,基礎(chǔ)題.8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于 （）A. B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可【詳解】由三視圖可得，該幾何體為如圖所示的四棱錐，其中ABCD為矩形，易知該幾何體的體積故選B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，畫出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵9.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在數(shù)書九章中提出的秦九韶算法至今仍是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法.已知，下列程序框圖設(shè)計(jì)的是求的值，在“”和“”中應(yīng)填入的執(zhí)行語句分別是 （）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】初始值，.，該程序的計(jì)算方式：第一步：計(jì)算，中的結(jié)果應(yīng)為；第二步：計(jì)算，中的結(jié)果應(yīng)為；故處可填，處應(yīng)填，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.10.已知拋物線上有一條長為8的動(dòng)弦AB，則弦AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為（）A. 2B. .3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得準(zhǔn)線方程，分別過A作于A1，過B作于B1設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過M作于M1, 則可表示出,根據(jù)的范圍和拋物線定義可得.【詳解】由題意得拋物線的準(zhǔn)線l的方程為，過A作于A1，過B作于B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過M作于M1，則，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則，即（當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以，解得，即孩AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為.選. 故答案B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的基本性質(zhì)關(guān)鍵是對(duì)拋物線的定義的靈活利用11.若x，y滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)（2，0）處取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，由變形得再利用z的幾何意義求最值，只需利用直線之間的斜率間的關(guān)系即可.【詳解】如圖，可行域?yàn)锳BC.當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由變形得，可知，得；當(dāng)時(shí)，由變形得，可知，得一2a0；綜上得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題12.若函數(shù)在上有極大值，則a的取值范圍為 （）A. B. C. (2,e)D. 【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且其極大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，解得a的范圍，根據(jù)極大值點(diǎn)的左邊導(dǎo)數(shù)為正且右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，確定a的范圍.【詳解】令，得，解得，由題意，有極大值，故時(shí)，時(shí)，所以，得綜上，.故選B.【點(diǎn)睛】考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極大值的意義,中檔題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題紙上.）13.命題：“，使得”的否定是_ .【答案】【解析】【分析】特稱命題的否定是全稱命題,改量詞,否結(jié)論【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定形式.14.在區(qū)間（0，4）內(nèi)任取一實(shí)數(shù)t，則的概率是_.【答案】【解析】【分析】先解出對(duì)數(shù)不等式得出實(shí)數(shù)t的范圍,根據(jù)古典概型的長度之比可得.【詳解】由，得，解得.所以.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)不等式,古典概型,基礎(chǔ)題.15.已知直線與圓C:交于A、B兩點(diǎn)，且ABC（其中頂點(diǎn)C為圓C的圓心）為等腰直角三角形，則圓C的面積為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓中的勾股定理以及點(diǎn)到直線的距離公式可得.【詳解】國C化為，且圓心C（2a，1），半徑.因?yàn)橹本€和圓相交，ABC為等腰直角三角形，所以圓心C到直線的距高為等，即，解得：C的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題16.對(duì)滿足的任意x，y，恒有，成立，則a的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】畫出可行域，利用已知條件轉(zhuǎn)化列出關(guān)系式，然后討論a的范圍，求解即可【詳解】由得則不等式組表示的平面區(qū)域D如圖中的陰影部分所示。而表示的平面區(qū)城是拋物線上或內(nèi)部的點(diǎn)集E.由題設(shè)知，.下面考慮拋物線與直線和相切時(shí)的情形：由得，所以，解得.當(dāng)時(shí)，拋物線恒在直線的右上方和直線的左上方區(qū)域，因此滿足條件；由，得，所以，即.同理，可驗(yàn)證滿足條件。結(jié)合圖形可知，a的取值范圍為。【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，函數(shù)恒成立條件的轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）17.已知數(shù)列滿足，其中為的前n項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1) 運(yùn)用數(shù)列的遞推式，令n=1，求出第二項(xiàng)；再將n換為n-1，兩式相減，化簡(jiǎn)即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）由題意可得，代入即得，是一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列的和，分組求和即可.【詳解】（1）.由，當(dāng)時(shí)，可得.當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，即，且.故是以1為首項(xiàng)，3為公比等比數(shù)列。所以 （2）.由題意，所以.所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式,數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，基礎(chǔ)題.18.如圖，在直三棱柱中，D為AC邊的中點(diǎn)，.（1）求證：AB1/平面BDC1；（2）求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接B1C交BC1于點(diǎn)E連接DE，推導(dǎo)出DE/AB1 由此證明AB1/平面BDC1(2) 由異面直線AB1與BC1所成角即DE與BC1所成角由此能求出異面直線AB1與BC1所成角的余弦值【詳解】（1）.如圖，連接B1C交BC1于點(diǎn)E，連接DE，由直三棱柱ABC-A1B1C1可知，點(diǎn)E為B1C的中點(diǎn)，又D為AC的中點(diǎn)，所以DE/AB1，且平面BDC1，平面BDC1，所以AB1/平面BDC1（2）.由（1）可知異面直線AB1與BC1所成角即DE與BC1所成角.因?yàn)椋裕?又因?yàn)?，所以，所以。由，得在EC1D中，故所求角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理能力，是中檔題19.當(dāng)前全世界人民越來越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問題，某地某監(jiān)測(cè)站點(diǎn)于2020年8月起連續(xù)n天監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)（g/m3）0，50（50，100（100，150（150，200（200，250空氣質(zhì)量等級(jí)優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染天數(shù)2040m105（1）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖；（2）由頻率分布直方圖，求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)；（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)分別為0，50和（50，100的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取6天，從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣質(zhì)量等級(jí)都為良”發(fā)生的概率?！敬鸢浮浚?）見解析（2）平均數(shù)95，中位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布表求出n，m，由此能完成頻率分布直方圖（2）由頻率分布直方圖能求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)（3）由題意知在空氣質(zhì)量指數(shù)為0，50和（50，100的監(jiān)測(cè)天數(shù)中分別抽取2天和4天在所抽取的6天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為0，50的2天記為x，y，空氣質(zhì)量指數(shù)為（50，100的4天記為a，b，c，d，從中任取2天，利用列舉法能求出事件A“兩天空氣質(zhì)量等級(jí)都為良”發(fā)生的概率詳解】（1）.，.n=100.20+40+m+10+5=100.m=25;，由此完成頻率分布直方圖如圖. （2）.由頻率分布直方圖得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為250.00450+750.00850+1250.00550+1750.00250+2250.00150=95，0，50的頻率為0.00450=0.2，（50，100的頻率為0.00850=0.4，中位數(shù)為（3）.由題意知在空氣質(zhì)量指數(shù)為0，50和（50，100的監(jiān)測(cè)天數(shù)中分別抽取2天和4天.在所抽取的6天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為0，50的2天記為x，y，空氣質(zhì)量指數(shù)為（50，100的4天記為a，b，c，d，則從中任取2天的基本事件為（x，y），（x，a），（x，b），（x，c），（x，d），（y，a），（y，b），（y，c），（y，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共計(jì)15個(gè)，其中事件A“兩天空氣質(zhì)量等級(jí)為良”包含的基本事件有6個(gè)，.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均數(shù)、中位數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.20.已知F1、F2是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上，且滿足.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l:交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M（t，0），求mt的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】(1).利用向量數(shù)量積得出,再根據(jù)橢圓定義和a,b,c的關(guān)系得出方程.(2).將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得出垂直平分線方程,將M點(diǎn)代入直線方程得出,利用基本不等式得出的范圍,以此得出答案.【詳解】（1）.設(shè)，由，得，.，橢圓C的方程為（2）.由得，得，由，且，得，設(shè)，則，所以AB的中點(diǎn)為 直線AB的斜率為，線段AB的垂直平分線為.依題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，mt的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用定義求橢圓方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,中檔題.21.已知函數(shù)，其中.（1）若直線為曲線在（0，f（0）處的切線方程，求a，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0）處切線方程建立方程，即可求得a的值；利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間.(2)只需最大值處即可.【詳解】（1）.，由題意可得，得.所以，令，得或，令，得，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）（2）.由題意成立，故。又由(1)令得或.當(dāng)時(shí)，可得f（x）在，（1，2）上遞增，在上遞減，故只需即可.，解得，綜合可得號(hào)【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間,最值,難題.22.在直角坐標(biāo)系xO