集合的含義及其表示教案教學(xué)分析集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要的基礎(chǔ).在高中數(shù)學(xué)中,集合的初步知識與其他內(nèi)容有著密切的聯(lián)系,是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ).課本從學(xué)生熟悉的集合(自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等)出發(fā),結(jié)合實例給出元素、集合的含義,課本注重體現(xiàn)邏輯思考的方法,如抽象、概括等.值得注意的問題:由于本小節(jié)的新概念、新符號較多,建議教學(xué)時先引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本,然后進行交流,讓學(xué)生在閱讀與交流中理解概念并熟悉新符號的使用.在信息技術(shù)條件較好的學(xué)校,可以利用網(wǎng)絡(luò)平臺讓學(xué)生交流學(xué)習(xí)概念后的認(rèn)識;也可以由教師給出問題,讓學(xué)生讀后回答問題,再由教師給出評價.這樣做的目的是培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的習(xí)慣,提高閱讀與理解、合作與交流的能力.在處理集合問題時,根據(jù)需要,及時提示學(xué)生運用集合語言進行表述.三維目標(biāo)1.通過實例了解集合的含義,體會元素與集合的“屬于”關(guān)系,能選擇集合不同的語言形式描述具體的問題,提高語言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力,樹立用集合語言表示數(shù)學(xué)內(nèi)容的意識.2.了解集合元素的確定性、互異性、無序性,掌握常用數(shù)集及其專用符號,并能夠用其解決有關(guān)問題,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.重點難點教學(xué)重點:集合的基本概念與表示方法.教學(xué)難點:選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽恍┖唵蔚募?課時安排1課時設(shè)計方案（一）教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.軍訓(xùn)前學(xué)校通知:8月15日8點,高一年級學(xué)生到操場集合進行軍訓(xùn).試問這個通知的對象是全體的高一學(xué)生還是個別學(xué)生？在這里,集合是我們常用的一個詞語,我們感興趣的是問題中某些特定(是高一而不是高二、高三)對象的總體,而不是個別的對象,為此,我們將學(xué)習(xí)一個新的概念集合.思路2.首先教師提出問題:在初中,我們已經(jīng)接觸過一些集合,你能舉出一些集合的例子嗎?引導(dǎo)學(xué)生回憶、舉例和互相交流自己舉的例子.與此同時,教師對學(xué)生的活動給予評價.接著教師指出:那么,集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.推進新課新知探究提出問題請我們班的全體女生起立！接下來問:“咱班的所有女生能不能構(gòu)成一個集合??？”下面請班上身高在1.75以上的男生起立！他們能不能構(gòu)成一個集合?。科鋵?生活中有很多東西能構(gòu)成集合,比如新華字典里所有的漢字可以構(gòu)成一個集合等等.那么,大家能不能再舉出一些生活中的實際例子呢?請你給出集合的含義.如果用A表示高一(3)班全體學(xué)生組成的集合,用a表示高一(3)班的一位同學(xué),b是高一(4)班的一位同學(xué),那么a、b與集合A分別有什么關(guān)系?由此看見元素與集合之間有什么關(guān)系？世界上最高的山能不能構(gòu)成一個集合？世界上的高山能不能構(gòu)成一個集合？問題說明集合中的元素具有什么性質(zhì)？由實數(shù)1、2、3、1組成的集合有幾個元素？問題說明集合中的元素具有什么性質(zhì)？由實數(shù)1、2、3組成的集合記為M,由實數(shù)3、1、2組成的集合記為N,這兩個集合中的元素相同嗎？這說明集合中的元素具有什么性質(zhì)？由此類比實數(shù)相等,你發(fā)現(xiàn)集合有什么結(jié)論？討論結(jié)果：能.能.我們把研究的對象統(tǒng)稱為“元素”,那么把一些元素組成的總體叫“集合”.a是集合A的元素,b不是集合A的元素.學(xué)生得出元素與集合的關(guān)系有兩種:屬于和不屬于.能,是珠穆朗瑪峰.不能.確定性.給定的集合,它的元素必須是明確的,即任何一個元素要么在這個集合中,要么不在這個集合中,這就是集合的確定性.3個.互異性.一個給定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的,這就是集合的互異性.集合M和N相同.這說明集合中的元素具有無序性,即集合中的元素是沒有順序的.可以發(fā)現(xiàn):如果兩個集合中的元素完全相同,那么這兩個集合是相等的.提出問題閱讀課本P3中:數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法.快速寫出常見數(shù)集的記號.活動：先讓學(xué)生閱讀課本,教師指定學(xué)生展示結(jié)果.學(xué)生寫出常用數(shù)集的記號后,教師強調(diào):通常情況下,大寫的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,這是專用集合表示符號,類似于110、119等專用電話號碼一樣.以后,我們會經(jīng)常用到這些常見的數(shù)集,要求熟練掌握.討論結(jié)果：常見數(shù)集的專用符號.N:非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)(全體非負(fù)整數(shù)的集合);N*或N+:正整數(shù)集(非負(fù)整數(shù)集N內(nèi)排除0的集合);Z:整數(shù)集(全體整數(shù)的集合);Q:有理數(shù)集(全體有理數(shù)的集合);R:實數(shù)集(全體實數(shù)的集合).提出問題前面所說的集合是如何表示的？閱讀課本中的相關(guān)內(nèi)容,并思考:除字母表示法和自然語言之外,還能用什么方法表示集合？集合共有幾種表示法?活動：學(xué)生回顧所學(xué)的集合并作出總結(jié).教師提示可以用字母或自然語言來表示.教師可以舉例幫助引導(dǎo):例如,24的所有正約數(shù)構(gòu)成的集合,把24的所有正約數(shù)寫在大括號“”內(nèi),即寫出為1,2,3,4,6,8,12,24的形式,這種表示集合的方法是列舉法.注意：大括號不能缺失;有些集合所含元素個數(shù)較多,元素又呈現(xiàn)出一定的規(guī)律,在不至于發(fā)生誤解的情況下,亦可用列舉法表示,如:從1到100的所有整數(shù)組成的集合:1,2,3,100,自然數(shù)集N:0,1,2,3,4,n,;區(qū)分a與a:a表示一個集合,該集合只有一個元素,a表示這個集合的一個元素;用列舉法表示集合時不必考慮元素的前后次序;相同的元素不能出現(xiàn)兩次.又例如,不等式x-32的解集,這個集合中的元素有無數(shù)個,不適合用列舉法表示.可以表示為xR|x-32或x|x-32,這種表示集合的方法是描述法.讓學(xué)生思考總結(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了的集合表示法.討論結(jié)果：方法一(字母表示法):大寫的英文字母表示集合,例如常見的數(shù)集N、Q,所有的正方形組成的集合記為A等等;方法二(自然語言):用文字語言來描述出的集合,例如“所有的正方形”組成的集合等等.列舉法:把集合中的全部元素一一列舉出來,并用大括號“”括起來表示集合,這種表示集合的方法叫做列舉法;描述法:在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情況下,也可以簡寫成列舉法的形式,只是去掉豎線和元素代表符號,例如:所有直角三角形的集合可以表示為x|x是直角三角形,也可以寫成直角三角形.表示一個集合共有四種方法:字母表示法、自然語言、列舉法、描述法.應(yīng)用示例思路1（溫小平提出）1.下列各組對象不能組成集合的是( )A.大于6的所有整數(shù) B.高中數(shù)學(xué)的所有難題C.被3除余2的所有整數(shù) D.函數(shù)y=圖象上所有的點活動：學(xué)生先思考、討論集合元素的性質(zhì),教師指導(dǎo)學(xué)生此類選擇題要逐項判斷.判斷一組對象能否構(gòu)成集合,關(guān)鍵是看是否滿足集合元素的確定性.在選項A、C、D中的元素符合集合的確定性;而選項B中,難題沒有標(biāo)準(zhǔn),不符合集合元素的確定性,不能構(gòu)成集合.答案：B變式訓(xùn)練1.下列條件能形成集合的是( )A.充分小的負(fù)數(shù)全體 B.愛好足球的人C.中國的富翁 D.某公司的全體員工答案：D2.2020浙江寧波高三第一次“十校聯(lián)考”,理1在數(shù)集2x,x2-x中,實數(shù)x的取值范圍是.分析:實數(shù)x的取值滿足集合元素的互異性,則2xx2-x,解得x0且x3,實數(shù)x的取值范圍是x|x0或0x3.答案：x|x0或0x3點評：本題主要考查集合的含義和元素的性質(zhì).當(dāng)所指的對象非常明確時就能構(gòu)成集合,若元素不明確,沒有判斷的標(biāo)準(zhǔn)就不能構(gòu)成集合.2.用列舉法表示下列集合:(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合;(2)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合;(3)由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.活動：學(xué)生先思考或討論列舉法的形式,展示解答過程.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯誤時,教師及時加以糾正.利用相關(guān)的知識先明確集合中的元素,再把元素寫入大括號“”內(nèi),并用逗號隔開.所給的集合均是用自然語言給出的.提示學(xué)生注意以下方面:(1)自然數(shù)中包含零;(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x2=x的根是x=0,x=1;(3)除去1和本身外沒有其他約數(shù)的正整數(shù)是質(zhì)數(shù),120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)是2、3、5、7、11、13、17、19.解：(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,那么A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(2)設(shè)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合為B,那么A=0,1.(3)設(shè)由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C,那么C=2,3,5,7,11,13,17,19.點評：本題主要考查集合表示法中的列舉法.通過本題可以體會利用集合表示數(shù)學(xué)內(nèi)容的簡潔性和嚴(yán)謹(jǐn)性,以后我們盡量用集合來表示數(shù)學(xué)內(nèi)容.如果一個集合是有限集,并且元素的個數(shù)較少時,通常選擇列舉法表示,其特點是非常顯明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列舉法表示集合的步驟:(1)用字母表示集合;(2)明確集合中的元素;(3)把集合中所有元素寫在大括號“”內(nèi),并寫成A=的形式.變式訓(xùn)練用列舉法表示下列集合:(1)所有絕對值等于8的數(shù)的集合A;(2)所有絕對值小于8的整數(shù)的集合B.答案：(1)A=-8,8;(2)B=-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7.3.試分別用列舉法和描述法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合;(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.活動：先讓學(xué)生回顧列舉法表示集合的步驟,思考描述法的形式,再找學(xué)生到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯誤時,教師指導(dǎo)學(xué)生書寫過程.用描述法表示集合時,要用數(shù)學(xué)符號表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以表示為10x20,xZ.(重點引導(dǎo)用描述法表示集合)用描述法表示集合時,用一個小寫英文字母表示集合中的元素,作為集合中元素的代表符號,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用數(shù)學(xué)符號來表達,然后寫在大括號“”內(nèi),在大括號內(nèi)先寫上集合中元素的代表符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.在(1)中利用條件中現(xiàn)有元素代表符號x,集合中元素的共同特征就是滿足方程x2-2=0.在(2)的條件中沒有元素代表符號,故要先設(shè)出,用一個小寫英文字母表示即可;集合中元素的共同特征有兩個:一是大于10小于20(用不等式表示),二是整數(shù)(用元素與集合的關(guān)系符號“”來表示).解：(1)設(shè)方程x2-2=0的實根為x,它滿足條件x2-2=0,因此,用描述法表示為A=xR|x2-2=0.方程x2-2=0的兩個實數(shù)根為,因此,用列舉法表示為A=,.(2)設(shè)大于10小于20的整數(shù)為x,它滿足條件xZ,且10x20,因此,用描述法表示為B=xZ|10x20.大于10小于20的整數(shù)有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列舉法表示為B=11,12,13,14,15,16,17,18,19.描述法表示集合的步驟:(1)用字母分別表示集合和元素;(2)用數(shù)學(xué)符號表達集合元素的共同特征;(3)在大括號內(nèi)先寫上集合中元素的代表符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.并寫成A=|的形式.描述法適合表示有無數(shù)個元素的集合.注意：當(dāng)集合中的元素個數(shù)較少時,通常用列舉法表示,否則用描述法表示.思路2（徐昌榮提出）1.(1)A=1,3,判斷元素3,5和集合A的關(guān)系,并用符號表示.(2)所有素質(zhì)好的人能否表示為集合?(3)A=2,2,4表示是否準(zhǔn)確?(4)A=太平洋,大西洋,B=大西洋,太平洋是否表示同一集合?活動：如果學(xué)生沒有解題思路,讓學(xué)生思考以下知識:(1)元素與集合的關(guān)系及其符號表示;(2)集合元素的性質(zhì);(3)兩個集合相同的定義.解：(1)根據(jù)元素與集合的關(guān)系有兩種:屬于()和不屬于(),知3屬于集合A,即3A,5不屬于集合A,即5A.(2)由于素質(zhì)好的人標(biāo)準(zhǔn)不可量化,不符合集合元素的確定性,故A不能表示為集合.(3)表示不準(zhǔn)確,不符合集合元素的互異性,應(yīng)表示為A=2,4.(4)因其元素相同,A與B表示同一集合.變式訓(xùn)練1.數(shù)集3,x,x2-2x中,實數(shù)x滿足什么條件?解：集合元素的特征說明3,x,x2-2x中元素應(yīng)滿足即也就是即滿足x-1,0,3.2.方程ax2+5x+c=0的解集是,則a=_,c=_.分析:方程ax2+5x+c=0的解集是,那么、是方程的兩根,即有得那么a=-6,c=-1.答案：6 -13.集合A中的元素由關(guān)于x的方程kx2-3x+2=0的解構(gòu)成,其中kR,若A中僅有一個元素,求k的值.解：由于A中元素是關(guān)于x的方程kx2-3x+2=0(kR)的解,若k=0,則x=,知A中有一個元素,符合題設(shè);若k0,則方程為一元二次方程,當(dāng)=9-8k=0即k=時,kx2-3x+2=0有兩相等的實數(shù)根,此時A中有一個元素.綜上所述k=0或k=.4.2020山東高考,理1定義集合運算:AB=z|z=xy(x+y),xA,yB,設(shè)集合A=0,1,B=2,3,則集合AB的所有元素之和為( )A.0 B.6 C.12 D.18分析:xA,x=0或x=1.當(dāng)x=0,yB時,總有z=0;當(dāng)x=1時,若x=1,y=2時,有z=6;當(dāng)x=1,y=3時,有z=12.綜上所得,集合AB的所有元素之和為0+6+12=18.答案：D注意：判斷元素與此集合的關(guān)系時,用列舉法表示的集合,只需觀察這個元素是否在集合中即可.用符號,表示,注意這兩個符號的左邊寫元素,右邊寫集合,不能互換它們的位置,否則沒有意義.如果有明確的標(biāo)準(zhǔn)來判斷元素在集合中,那么這些元素就能構(gòu)成集合,否則不能構(gòu)成集合.用列舉法表示的集合,直接觀察它們的元素是否完全相同,如果完全相同,那么這兩個集合就相等,否則不相等.2.用列舉法表示下列集合:(1)小于5的正奇數(shù)組成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合;(3)方程x2-9=0的解組成的集合;(4)15以內(nèi)的質(zhì)數(shù);(5)x|Z,xZ.活動：教師指導(dǎo)學(xué)生思考列舉法的書寫格式,并討論各個集合中的元素.明確各個集合中的元素,寫在大括號內(nèi)即可.提示學(xué)生注意：(2)中滿足條件的數(shù)按從小到大排列時,從第二個數(shù)起,每個數(shù)比前一個數(shù)大3;(4)中除去1和本身外沒有其他的約數(shù)的正整數(shù)是質(zhì)數(shù);(5)中3-x是6的約數(shù),6的約數(shù)有1,2,3,6.解：(1)滿足題設(shè)條件小于5的正奇數(shù)有1、3,故用列舉法表示為1,3;(2)能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)有6、9、12,故用列舉法表示為6,9,12;(3)方程x2-9=0的解為-3、3,故用列舉法表示為-3,3;(4)15以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13,故該集合用列舉法表示為2,3,5,7,11,13;(5)滿足Z的x有3-x=1、2、3、6,解之,得x=2、4、1、5、0、6、-3、9,故用列舉法表示為2,4,1,5,0,6,-3,9.變式訓(xùn)練用列舉法表示下列集合:(1)x2-4的一次因式組成的集合;(2)y|y=-x2-2x+3,xR,yN;(3)方程x2+6x+9=0的解集;(4)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù);(5)(x,y)|x2+y2=1,xZ,yZ;(6)大于0小于3的整數(shù);(7)xR|x2+5x-14=0;(8)(x,y)|xN且1x4,y-2x=0;(9)(x,y)|x+y=6,xN,yN.思路分析：用列舉法表示集合的關(guān)鍵是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不計次序地用“,”隔開放在大括號內(nèi).解：(1)因x2-4=(x-2)(x+2),故符合題意的集合為x-2,x+2;(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即y4.又yN,y=0、1、2、3、4,故y|y=-x2-2x+3,xR,yN=0,1,2,3,4;(3)由x2+6x+9=0得x1=x2=-3,方程x2+6x+9=0的解集為-3;(4)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)=2,3,5,7,11,13,17,19;(5)因xZ,yZ,則x=-1、0、1時,y=0、1、-1,那么(x,y)|x2+y2=1,xZ,yZ=(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0);(6)大于0小于3的整數(shù)=1,2;(7)因x2+5x-14=0的解為x1=-7,x2=2,則xR|x2+5x-14=0=-7,2;(8)當(dāng)xN且1x4時,x=1、2、3,此時y=2x,即y=2、4、6,那么(x,y)|xN且1x4,y-2x=0=(1,2),(2,4),(3,6);(9)(x,y)|x+y=6,xN,yN=(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0).點評：本題主要考查集合的列舉法表示.列舉法適用于元素個數(shù)有限個并且較少的集合.用列舉法表示集合:先明確集合中的元素,再把元素寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開,相同的元素寫成一個.3.用描述法分別表示下列集合:(1)二次函數(shù)y=x2圖象上的點組成的集合;(2)數(shù)軸上離原點的距離大于6的點組成的集合;(3)不等式x-73的解集.活動：讓學(xué)生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐標(biāo)系中的點？如何表示數(shù)軸上的點？如何表示不等式的解？學(xué)生板書,教師在其他學(xué)生中間巡視,及時幫助思維遇到障礙的同學(xué).必要時,教師可提示學(xué)生:(1)集合中的元素是點,它是坐標(biāo)平面內(nèi)的點,集合元素代表符號用有序?qū)崝?shù)對(x,y)來表示,其特征是滿足y=x2;(2)集合中元素是點,而數(shù)軸上的點可以用其坐標(biāo)表示,其坐標(biāo)是一個實數(shù),集合元素代表符號用x來表示,其特征是對應(yīng)的實數(shù)絕對值大于6;(3)集合中的元素是實數(shù),集合元素代表符號用x來表示,把不等式化為xa的形式,則這些實數(shù)的特征是滿足x6;(3)不等式x-73的解是x10,則不等式x-73的解集表示為x|x10.點評：本題主要考查集合的描述法表示.描述法適用于元素個數(shù)是有限個并且較多或無限個的集合.用描述法表示集合時,集合元素的代表符號不能隨便設(shè),點集的元素代表符號是(x,y),數(shù)集的元素代表符號常用x.集合中元素的公共特征屬性可以用文字直接表述,最好用數(shù)學(xué)符號表示,必須抓住其實質(zhì).變式訓(xùn)練用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非負(fù)整數(shù)的集合;(3)方程ax+by=0(ab0)的解;(4)數(shù)軸上離開原點的距離大于3的點的集合;(5)平面直角坐標(biāo)系中第、象限點的集合;(6)方程組的解的集合;(7)1,3,5,7,;(8)x軸上所有點的集合;(9)非負(fù)偶數(shù);(10)能被3整除的整數(shù).解：(1)(x,y)|2x+y=5;(2)x|0x3;(5)(x,y)|xyx+3的全體實數(shù);(4)所有直角三角形;(5)美國NBA的著名籃球明星;(6)所有絕對值等于6的數(shù);(7)所有絕對值小于3的整數(shù);(8)中國男子足球隊中技術(shù)很差的隊員;(9)參加2020年奧運會的中國代表團成員.答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能組成集合,(5)(8)不能組成集合.2.(口答)說出下面集合中的元素:(1)大于3小于11的偶數(shù);(2)平方等于1的數(shù);(3)15的正約數(shù).答案：(1)其元素為4,6,8,10;(2)其元素為-1,1;(3)其元素為1,3,5,15.3.用符號或填空:(1)1_N,0_N,-3_N,0.5_N,_N;(2)1_Z,0_Z,-3_Z,0.5_Z,_Z;(3)1_Q,0_Q,-3_Q,0.5_Q,_Q;(4)1_R,0_R,-3_R,0.5_R,_R.答案：(1) 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