第1章 習題答案11 題11圖所示信號中，哪些是連續(xù)信號？哪些是離散信號？哪些是周期信號？哪些是非周期信號？哪些是有始信號？解： 連續(xù)信號：圖（a）、（c）、（d）； 離散信號：圖（b）； 周期信號：圖（d）； 非周期信號：圖（a）、（b）、（c）； 有始信號：圖（a）、（b）、（c）。12 已知某系統(tǒng)的輸入f(t)與輸出y(t)的關系為y(t)=|f(t)|，試判定該系統(tǒng)是否為線性時不變系統(tǒng)。解： 設T為此系統(tǒng)的運算子，由已知條件可知： y(t)=Tf(t)=|f(t)|，以下分別判定此系統(tǒng)的線性和時不變性。 線性 1）可加性 不失一般性，設f(t)=f1(t)+f2(t)，則 y1(t)=Tf1(t)=|f1(t)|，y2(t)=Tf2(t)=|f2(t)|，y(t)=Tf(t)=Tf1(t)+f2(t)=|f1(t)+f2(t)|，而 |f1(t)|f2(t)|f1(t)+f2(t)| 即在f1(t)y1(t)、f2(t)y2(t)前提下，不存在f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)，因此系統(tǒng)不具備可加性。 由此，即足以判定此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng)，而不需在判定系統(tǒng)是否具備齊次性特性。 2）齊次性 由已知條件，y(t)=Tf(t)=|f(t)|，則Taf(t)=|af(t)|a|f(t)|=ay(t) （其中a為任一常數(shù)） 即在f(t)y(t)前提下，不存在af(t)ay(t),此系統(tǒng)不具備齊次性，由此亦可判定此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng)。 時不變特性 由已知條件y(t)=Tf(t)=|f(t)|，則y(t-t0)=Tf(t-t0)=|f(t-t0)|， 即由f(t)y(t)，可推出f(t-t0)y(t-t0)，因此，此系統(tǒng)具備時不變特性。 依據(jù)上述、兩點，可判定此系統(tǒng)為一非線性時不變系統(tǒng)。13 判定下列方程所表示系統(tǒng)的性質： 解：（a） 線性 1）可加性 由 可得 則 即在，因此系統(tǒng)具備可加性。 2）齊次性 由即，設a為任一常數(shù)，可得即，因此，此系統(tǒng)亦具備齊次性。由上述1）、2）兩點，可判定此系統(tǒng)為一線性系統(tǒng)。 時不變性 具體表現(xiàn)為：將方程中得f(t)換成f(t-t0）、y(t)換成y(t-t0)（t0為大于0的常數(shù)），即 設，則，因此也可寫成，只有f(t)在t=0時接入系統(tǒng)，才存在，當f(t)在t0時接入系統(tǒng)，不存在，因此，此系統(tǒng)為一時變系統(tǒng)。 依據(jù)上述、，可判定此系統(tǒng)為一線性時變系統(tǒng)。 （b） 線性 1）可加性 在由規(guī)定的對應關系的前提下，可得 即由，系統(tǒng)滿足可加性。 2）齊次性 由，即，兩邊同時乘以常數(shù)a，有 即，因此，系統(tǒng)具備齊次性。 由1）、2）可判定此系統(tǒng)為一線性系統(tǒng)。 時不變性 分別將（t0為大于0的常數(shù)）代入方程 左右兩邊，則 左邊 而 所以，右邊左邊，故系統(tǒng)具備時不變特性。 依據(jù)上述、，可判定此系統(tǒng)為一線性時不變系統(tǒng)。（c） 線性 1）可加性在由式規(guī)定的對應關系的前提下，可得即在的前提下，有式存在，即系統(tǒng)滿足可加性。2）齊次性 由，即，兩邊同時乘以常數(shù)a，有，即有 ，因此，系統(tǒng)具備齊次性。依據(jù)上述1）、2），此系統(tǒng)為一線性系統(tǒng)。 時不變性 分別將 （t0為大于0的常數(shù)）代入方程 左右兩邊，則 因此，系統(tǒng)是時變的。依據(jù)上述、，可判定此系統(tǒng)為一線性時變系統(tǒng)。（d） 線性 1）可加性在由式規(guī)定的對應關系的前提下，可得 而不是： 即在的前提下，并不存在 因此系統(tǒng)不滿足可加性，進而系統(tǒng)不具備線性特性。（下面的齊次性判定過程可省略） 2）齊次性 由，即，兩邊同時乘以常數(shù)a，有，即式不成立，不存在因此，系統(tǒng)也不具備齊次性。單獨此結論，也可判定此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng)。 時不變性 分別將 （t0為大于0的常數(shù)）代入方程 左右兩邊，則即以式規(guī)定的關系為前提，存在 因此，系統(tǒng)是非時變的。依據(jù)上述、，可判定此系統(tǒng)為一線性時不變系統(tǒng)。14 試證明方程所描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。提示：根據(jù)線性的定義，證明滿足可加性和齊次性。證明：1）證明齊次性2）證明可加性由以上1）、2），可知系統(tǒng)是線性的。15 試證明題14的系統(tǒng)滿足時不變性。提示：將方程中的t換為t-t0,導出f(t-t0)與y（t-t0)對應。證明： 分別將 （t0為大于0的常數(shù)）代入方程 左右兩邊，則即以式規(guī)定的關系為前提，存在 因此，系統(tǒng)滿足時不變性。16 試一般性的證明線性時不變系統(tǒng)具有微分特性。提示：利用時不變性和微分的定義推導。證明： 設線性時不變系統(tǒng)的激勵與響應的對應關系為，則 由線性可加性可得 因此 所以 即 線性時不