課時作業(yè)17導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點問題1已知f(x)ax2(b1)xlnxb，曲線yf(x)在點P(e，f(e)處的切線方程為2xy0.(1)求f(x)的解析式；(2)研究函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e4內(nèi)的零點的個數(shù)解：(1)由題知得f(x)x2(e1)xlnxe.(2)x2(e1)xlnxe0x(e1)lnx0，x(0，e4設(shè)g(x)x(e1)lnx，x(0，e4，則g(x)1.由g(x)0得x11，x2e，當(dāng)x(0,1)時，g(x)0，當(dāng)x(1，e)時，g(x)0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，e4上單調(diào)遞增極大值g(1)1e0，極小值g(e)20，g(e4)e44(e1)，4(e1)2.742.546236，g(e4)0.綜上，g(x)在(0，e4內(nèi)有唯一零點，因此，f(x)在(0，e4內(nèi)有唯一零點2(2019鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)已知函數(shù)f(x)lnx，aR且a0.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x，e時，試判斷函數(shù)g(x)(lnx1)exxm的零點個數(shù)解：(1)f(x)(x0)，當(dāng)a0恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，由f(x)0，得x，由f(x)0，得0x，函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減(2)當(dāng)x，e時，函數(shù)g(x)(lnx1)exxm的零點，即當(dāng)x，e時，方程(lnx1)exxm的根令h(x)(lnx1)exx，h(x)(lnx1)ex1.由(1)知當(dāng)a1時，f(x)lnx1在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，e)上單調(diào)遞增，當(dāng)x，e時，f(x)f(1)0.lnx10在x，e上恒成立h(x)(lnx1)ex1010，h(x)(lnx1)exx在x，e上單調(diào)遞增h(x)minh()2e，h(x)maxe.當(dāng)me時，函數(shù)g(x)在，e上沒有零點；當(dāng)2eme時，函數(shù)g(x)在，e上有一個零點3(2019遼寧五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2alnx(aR)(1)若f(x)在x2處取得極值，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)當(dāng)a0時，若f(x)有唯一的零點x0，求x0注：x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.60，2.12，1.52.參考數(shù)據(jù)：ln20.693，ln31.099，ln51.609，ln71.946.解：(1)f(x)x2alnx，f(x)(x0)，由題意得f(2)0，則2232a20，a7，經(jīng)驗證，當(dāng)a7時，f(x)在x2處取得極值，f(x)x27lnx，f(x)2x，f(1)7，f(1)3，則曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y37(x1)，即7xy100.(2)令g(x)2x3ax2(x0)，則g(x)6x2a，由a0，g(x)0，可得x，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在( ，)上單調(diào)遞增由于g(0)20，故當(dāng)x(0，)時，g(x)0，又g(1)a1，則g(x0)0，f(x0)0，可得2lnx010.令h(x)2lnx1(x1)，易知h(x)在(1，)上單調(diào)遞增，由于h(2)2ln220.70，故x0(2,3)，x02.4(2019南寧、柳州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)lnxax2(2a)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)f(x)的兩個零點分別是x1，x2，求證：f()0，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，若x(0，)，則f(x)0，若x(，)，則f(x)0，且f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減，不妨設(shè)0x1x2，f()x1x2，故要證f()即可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)f(x)，x(0，)，f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，x(0，)，f(x)0，F(xiàn)(x)在(0，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F()f()f()0，即f(x)f(x)，x(0，)，又x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點且0x1x2，f(x1)f(x2)x1，x1x2，得證5(2019西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x，g(x)f(x)sinx(R)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減(1)求的最大值；(2)若g(x)sin1恒成立，即(t1)t2sin110(1)恒成立，令h()(t1)t2sin11(1)，要使h()0恒成立，則需又t2tsin10恒成立，t1，故t的取值范圍為(，1(3)x22exm，令f1(x)，f2(x)x22exm，f1(x)，當(dāng)x(0，e)時，f1(x)0，即f1(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe，)時