天津一中 2020 學(xué)年度高三年級三月考試卷數(shù)學(xué)（文史類）第卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的每小題 5 分，共40 分1.已知全集，集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】算出后可得.【詳解】 ，所以，選C.【點睛】本題考查集合的交補(bǔ)運算，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)變量 滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】畫出不等式組對應(yīng)的可行域，平移動直線可得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示：當(dāng)動直線過時，有最小值，又由得，故.【點睛】二元一次不等式組條件下的二元函數(shù)的最值問題，常通過線性規(guī)劃來求最值，求最值時往往要考二元函數(shù)的幾何意義，比如表示動直線的橫截距的三倍 ，而則表示動點與的連線的斜率3.下列命題中正確的是（ ）A. 若 為真命題，則 為真命題B. “ ， ”是“ ”的充分必要條件C. 命題“若 ，則或 ”的逆否命題為“若 或，則”D. 命題 ，使得，則，使得 【答案】D【解析】【分析】利用反例可得A錯、B錯，利用逆否命題和存在性命題的構(gòu)成規(guī)則可得C錯D正確.【詳解】對于A，一真一假時，為真，為假，故A錯；對于B，取，則，但，故B錯；對于C，命題“若，則或”的逆否命題為：“若且，則”，故C錯；對于D，命題“，使得 ”的否定為：“，均有 ”，故D正確.綜上，選D.【點睛】（1）復(fù)合命題的真假判斷為“一真必真，全假才假”，的真假判斷為“全真才真，一假即假”，的真假判斷是“真假相反”（2）全稱命題的一般形式是：，其否定為.存在性命題的一般形式是，其否定為（3）命題中，“或”的反面是 “且” （4）充分性與必要性的判斷，可以依據(jù)命題的真假來判斷，若“若則”是真命題，“若則”是假命題，則是的充分不必要條件；若“若則”是真命題，“若則”是真命題，則是的充分必要條件；若“若則”是假命題，“若則”是真命題，則是的必要不充分條件；若“若則”是假命題，“若則”是假命題，則是的既不充分也不必要條件.4.閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的分別為 ，運行相應(yīng)的程序，則輸出的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】計算每次判斷后的各變量的取值后可得何時終止循環(huán)及相應(yīng)的輸出值.【詳解】第一次判斷后，；第二次判斷后，；第三次判斷后，第四次判斷前，判斷后終止循環(huán)，故輸出值為 ，故選D.【點睛】對于流程圖的問題，我們可以從簡單的情形逐步計算歸納出流程圖的功能，在歸納中注意各變量的變化規(guī)律.5.已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，若，則a，b，c的大小關(guān)系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)對稱性將自變量轉(zhuǎn)化到上，再根據(jù)時單調(diào)遞減，判斷大小.【詳解】定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故選A【點睛】比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把兩個函數(shù)值中自變量調(diào)整到同一單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小6.函數(shù)（，）的最小正周期是，若其圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）A. 關(guān)于點對稱B. 關(guān)于直線對稱C. 關(guān)于點對稱D. 關(guān)于直線對稱【答案】B【解析】由于函數(shù)最小正周期為,所以,即.向左平移得到為奇函數(shù),故,所以.,故為函數(shù)的對稱軸,選B.7.已知雙曲線的一個焦點為,且雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：依題意有，解得，所以方程為.考點：雙曲線的概念與性質(zhì)【此處有視頻，請去附件查看】8.在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足=, = = =2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：甴已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上的點與點的距離的平方的，故選B.【考點】平面向量的數(shù)量積運算，向量的夾角，解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題【名師點睛】本題考查平面向量的夾角與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個參數(shù)表示出來，解題時首先對條件進(jìn)行化簡變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，同時動點的軌跡是圓，則，因此可用圓的性質(zhì)得出最值因此本題又考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想第卷二填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9.設(shè) （為虛數(shù)單位），則_.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算法則，運算可得結(jié)果.【詳解】，故填.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)，且則實數(shù)等于_.【答案】【解析】【分析】先利用求出，而，令后可得，從而解得的值，注意.【詳解】因為，令，則，所以.又，令，得 ，故，求得或，又，故，填.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的四則運算，是基礎(chǔ)題.11.已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為_.【答案】【解析】分析：由題意首先求解底面積，然后結(jié)合四棱錐的高即可求得四棱錐的體積.詳解：由題意可得，底面四邊形為邊長為的正方形，其面積，頂點到底面四邊形的距離為，由四棱錐的體積公式可得：.點睛：本題主要考查四棱錐的體積計算，空間想象能力等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12.圓心在直線，且與直線相切于點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【答案】【解析】試題分析：可設(shè)圓標(biāo)準(zhǔn)方程： ，則根據(jù)題意可列三個條件： ，解方程組可得 ，即得圓方程試題解析：設(shè)則，解得所以（x-1）2+（y+4）2=8點睛：確定圓的方程方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，從而求出的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值13.已知正實數(shù)滿足 ，當(dāng)取最小值時，的最大值為_.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時有最小值3，從而得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值.【詳解】由基本不等式有，因，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故有最小值3，此時，故，故當(dāng)時，有最大值為，故填.【點睛】應(yīng)用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等”，求最值時要注意等號成立的條件是什么.14.已知函數(shù)，若存在，使得關(guān)于的函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】去掉函數(shù)解析式中的絕對值得到，因為，故，根據(jù) 有三個不同的零點并結(jié)合函數(shù)的圖像可得，利用不等式在上有解得到的取值范圍.【詳解】，因為，則，所以在為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在為減函數(shù).因為 有三個不同的零點，所以的圖像與直線有三個不同的交點，故在有解，整理得到即.因，故，故.【點睛】含參數(shù)的函數(shù)的零點個數(shù)問題，可以利用函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理來判斷，如果該函數(shù)比較復(fù)雜，那么我們可以把該零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖像的交點問題，其中一個函數(shù)的圖像為直線，另一個函數(shù)的圖像為常見函數(shù)的圖像.三解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.某公司需要對所生產(chǎn)的三種產(chǎn)品進(jìn)行檢測，三種產(chǎn)品數(shù)量（單位：件）如下表所示：產(chǎn)品ABC數(shù)量（件）18027090采用分層抽樣的方法從以上產(chǎn)品中共抽取6件.（1）求分別抽取三種產(chǎn)品的件數(shù)；（2）將抽取的6件產(chǎn)品按種類編號，分別記為，現(xiàn)從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件.（）用所給編號列出所有可能的結(jié)果；（）求這兩件產(chǎn)品來自不同種類的概率.【答案】（1）2件、3件、1件；（2）【解析】試題分析：（1）由條件先確定在各層中抽取的比例，然后根據(jù)分層抽樣的方法在各層中抽取可得A、B、C三種產(chǎn)品分別抽取了2件、3件、1件（2）（）由題意設(shè)產(chǎn)品編號為； 產(chǎn)品編號為 產(chǎn)品編號為，然后列舉出出從6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的所有可能結(jié)果（）根據(jù)古典概型概率公式求解即可試題解析：（1）由題意得在每層中抽取的比例為，因此，在產(chǎn)品中應(yīng)抽取的件數(shù)為件，在產(chǎn)品中應(yīng)抽取的件數(shù)為件，在產(chǎn)品中應(yīng)抽取的件數(shù)為件所以A、B、C三種產(chǎn)品分別抽取了2件、3件、1件. （2）（i）設(shè)產(chǎn)品編號為； 產(chǎn)品編號為 產(chǎn)品編號為，則從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的所有結(jié)果是： ，共個（ii）根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的；其中這兩件產(chǎn)品來自不同種類的有：，共11個. 所以這兩件產(chǎn)品來自不同種類的概率為 16.在中，角的對邊分別為，且滿足.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由條件及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，可得（2）由知為銳角，可得，從而, ，然后根據(jù)兩角差的余弦公式可得結(jié)果試題解析：（1）由及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又，所以（2）由知為銳角，又，所以 ，故 ， ，所以點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.17.如圖，在四棱錐中，底面的邊長是的正方形，為上的點，且平面.（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】【試題分析】(1)利用平面得到,而,所以平面,所以.(2)由于,所以平面,所以平面平面.(3) 取的中點，連接，,利用(2)的結(jié)論證得平面,就是與平面所成的角,通過解直角三角形求得線面角的正弦值.【試題解析】證明：（1）平面，平面，, ,平面,平面.（2）是正方形，,，平面,平面，平面平面,（3）取的中點，連接，平面平面，平面,平面平面,平面,是在平面內(nèi)的射影.就是與平面所成的角,在等腰中，是的中點，,在中，,，,.18.已知等比數(shù)列的前項和為，滿足,，數(shù)列滿足， ，且.（1）求數(shù)列,的通項公式；（2）設(shè)， 為的前項和，求.【答案】（1），；（2）.【解析】試題分析：（1）由，可推出，結(jié)合，即可求出數(shù)列的通項公式，再將兩邊同除以得，可推出數(shù)列為等差數(shù)列，從而可求出的通項公式；（2）由（1）知，利用分組求和，裂項相消法及錯位相減法即可求出.試題解析：（1） 又 由兩邊同除以，得，從而數(shù)列為首項，公差的等差數(shù)列，從而數(shù)列的通項公式為 (2)由（1）知 設(shè)， 則， 兩式相減得， 整理得. 點睛：（1）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型（如 ），符號型（如 ），周期型（如 ）；（2）用錯位相減法求和的注意事項：要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；在寫出“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解19.設(shè)橢圓：的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點（）求橢圓的方程；（）若（為原點），求直線的方程；（）若是橢圓經(jīng)過原點的弦，求證：為定值.【答案】（1）（2）或（3）詳見解析【解析】試題分析：（1）由題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1；（2）設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，x1x2y1y22，利用韋達(dá)定理，解得答案；（3）|MN|x1x2|，|AB|x3x4|，代入韋達(dá)定理計算，得到答案。試題解析：(1)橢圓的頂點為(0，)，即b，e，a2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題可知，直線l與橢圓必相交當(dāng)直線斜率不存在時，經(jīng)檢驗不合題意當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，x1x2y1y2x1x2k2x1x2(x1x2)1k22，解得k，故直線l的方程為y (x1)或y (x1)(3)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，由(2)可得|MN|x1x2|，由消去y并整理得x2，|AB|x3x4|4，4，為定值20.已知函數(shù),（）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若不等式對任意的正實數(shù)都成立，求滿足條件的實數(shù)的最大整數(shù)；（）當(dāng)時，若存在實數(shù)且，使得，求證：.【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，通過求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得對任意的正實數(shù)都成立，等價于對任意的正實數(shù)都成立，設(shè)，求出，即可求出實數(shù)的最大整數(shù)；（3）由題意，（），得出在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，若存在實數(shù)，則介于之間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性列出不等式組，即可求證.試題解析：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù). 當(dāng)時，令， 當(dāng)時，；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù). 且，綜上，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為. （2）由可得對任意的正實數(shù)都成立，即對任意的正實數(shù)都成立.記，則 ，可得，令在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù) 又,存在唯一零點，