導(dǎo)數(shù)中的有關(guān)方程根的問題一、常見基本題型： (1) 判斷根的個(gè)數(shù)問題，常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過構(gòu)造函數(shù)來求解， 例1.已知函數(shù) 求方程的根的個(gè)數(shù). 解： 令 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 因此，在時(shí)，單調(diào)遞減， 在時(shí)，單調(diào)遞增. 又為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，極小值為 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故的根的情況為： 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原方程有2個(gè)根； 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原方程有3個(gè)根； 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原方程有4個(gè)根 （2）已知方程在給定的區(qū)間上解的情況，去求參數(shù)的取值范圍，另外有關(guān)方程零點(diǎn)的 個(gè)數(shù)問題其實(shí)質(zhì)也是方程根的問題。 例1.已知是不同時(shí)為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為， （1）求證：函數(shù)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)； （2）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于 的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值 范圍. 解：（1）證明：因?yàn)?當(dāng)時(shí)，符合題意； 當(dāng)時(shí)，令，則 令， 當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)有零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有零點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 綜上可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) （2） 因?yàn)闉槠婧瘮?shù)， 所以，所以，. 又在處的切線垂直于直線， 所以，即. 在上是單調(diào)遞增函數(shù)， 在上是單調(diào)遞減函數(shù)，由解得， 由解之得 作與的圖知交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，過圖象上任意一點(diǎn)向左作平行于 軸的直線與都只有唯一交點(diǎn)，當(dāng)取其它任何值時(shí)都有兩個(gè)或沒有交點(diǎn)。 所以當(dāng)時(shí)，方程在上有 且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. 二、針對(duì)性練習(xí) 1。設(shè)函數(shù) 當(dāng)，方程有唯一實(shí)數(shù)解， 求正數(shù)的值 解: 因?yàn)榉匠逃形ㄒ粚?shí)數(shù)解， 所以有唯一實(shí)數(shù)解， 設(shè)，則令， 因?yàn)?，所以（舍去），?dāng)時(shí)，在（0，）上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在（，+）單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，=0，取最小值 則既 所以，因?yàn)?，所以?）設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解 因?yàn)?，所以方程?）的解為， 即，解得 2.設(shè)函數(shù)，且為的極值點(diǎn) () 若為的極大值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間（用表示）； ()若恰有兩解，求實(shí)數(shù)的取值范圍 解： ，又 所以且， （I）因?yàn)闉榈臉O大值點(diǎn)，所以 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以的遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為 （II）若，則在上遞減，在上遞增 恰有兩解，則，即，所以； 若，則， 因?yàn)?，則的極大值為， 的極小值為， 從而只有一解； 若，則的極小值為 的極大值為， 則只有一解. 綜上，使恰有兩解 的的范圍為 3.已知函數(shù), 函數(shù),若方程在 上恰有兩解, 求實(shí)數(shù)的