哈爾濱市第六中學(xué)2021屆4月份階段性測(cè)試高一數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每題5分，共60分）1.若成等差數(shù)列，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意可得：2lgblga+lgclg（ac），進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得【詳解】因?yàn)閘ga、lgb、lgc成等差數(shù)列，所以2lgblga+lgclg（ac），即b2ac故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型2.已知內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且滿足，則=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理以及和與差的正弦公式可得答案；【詳解】0A，sinA0由atanAbcosC+ccosB，根據(jù)正弦定理：可得sinAtanAsinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sinAtanA1；tanA，那么A；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角形的正弦定理,內(nèi)角和定理以及和與差正弦公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題3.已知向量，且，則（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件先求出，然后再根據(jù)向量垂直的充要條件得到，即可得到結(jié)果【詳解】，故選D【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解題時(shí)根據(jù)向量垂直的充要條件得到數(shù)量積為零，進(jìn)而得到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項(xiàng)為運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項(xiàng)為，由，得2a1+8d34，4a1+43d38，解得d3， 故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題5.已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到兩零點(diǎn)之和的值，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)寫出要求的代數(shù)式，用已知來(lái)表示，得到結(jié)果【詳解】是函數(shù)f（x）x210x+16的兩個(gè)零點(diǎn)，10，故選：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),根與系數(shù)的關(guān)系，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6.在中，分別為角的對(duì)邊，若，且,則邊=( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用余弦定理表示出cosA，整理化簡(jiǎn)得a2b2+c2，與，聯(lián)立即可求出b的值【詳解】由sinB8cosAsinC，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：b8ccosA，將cosA代入得：b8c，整理得：a2b2+c2，即a2c2b2，a2c23b，b23b，解得：b4或b0（舍去），則b4故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理,準(zhǔn)確計(jì)算是解本題的關(guān)鍵，是中檔題7.已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為()，則的值為( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】【分析】本道題結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合，代入，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，而因?yàn)樵摂?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，可得，所以結(jié)合，可得，故選D?！军c(diǎn)睛】本道題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵抓住，即可，難度中等。8.已知，且，則等于（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)已知條件可以歸納出是以為周期的周期數(shù)列，由得，故選B考點(diǎn)：歸納推理.9.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若的面積為，且，則外接圓的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由余弦定理及三角形面積公式可得和，結(jié)合條件，可得，進(jìn)而得，由正弦定理可得結(jié)果。【詳解】由余弦定理得，所以又，所以有，即，所以，由正弦定理得，得所以外接圓面積為。答案選D?！军c(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題多為邊角求值的問(wèn)題，這就需要根據(jù)正弦定理、余弦定理結(jié)合已知條件，靈活選擇，它的作用除了直接求邊角或邊角互化之外，它還是構(gòu)造方程（組）的重要依據(jù)，把正、余弦定理，三角形的面積結(jié)合條件形成某個(gè)邊或角的方程組，通過(guò)解方程組達(dá)到求解的目標(biāo)，這也是一種常用的思路。10.等差數(shù)列共有項(xiàng)，若前項(xiàng)的和為200，前項(xiàng)的和為225，則中間項(xiàng)的和為（ ）A. 50B. 75C. 100D. 125【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列前m項(xiàng)的和為x，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，中間的m項(xiàng)的和可設(shè)為x+d，后m項(xiàng)的和設(shè)為x+2d，由題意得2x+d=200，3x+3d=225，解得x=125，d=50，故中間的m項(xiàng)的和為75，故選B11.設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，向量與夾角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的平方等于模長(zhǎng)的平方得到，再將兩邊用點(diǎn)乘，由向量點(diǎn)積公式得到夾角的余弦值.【詳解】 ，對(duì)兩邊用點(diǎn)乘，與夾角余弦值為.故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量的模長(zhǎng)的求法以及向量點(diǎn)積的運(yùn)算，題目比較簡(jiǎn)單基礎(chǔ)；平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角， （此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.12.在中，邊上的高，點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以所在邊為軸，所在邊為軸，建立直角坐標(biāo)系，將坐標(biāo)化，利用配方法求范圍即可.【詳解】以所在邊為軸，所在邊為軸，建立直角坐標(biāo)系，（如圖所示），故故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二次函數(shù)求范圍，是中檔題. 平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角， （此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.二、填空題（每空5分，共20分）13.一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在A處看見(jiàn)燈塔B在船的東北方向，1h后船在C處看見(jiàn)燈塔B在船的北偏東75的方向上，這時(shí)船與燈塔的距離BC等于_km.【答案】20km【解析】【分析】由題意畫出圖形：，推出，求出，利用正弦定理求【詳解】如圖所示， , (km)故答案為：20.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題14.等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使的的最小值為_(kāi).【答案】24【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式可得，的 正負(fù)即可求解【詳解】由題意可得：因?yàn)椋仕杂傻炔顢?shù)列的性質(zhì)可得：0，25，0所以使Sn0的n的最小值為24故答案為24【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，是中檔題15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意，滿足 ，則的值為_(kāi)【答案】91【解析】【分析】由Sn+1+Sn12（Sn+1），可得Sn+1SnSnSn1+2，可得an+1an2利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出【詳解】對(duì)于任意n1，nN*，滿足Sn+1+Sn12（Sn+1），n2時(shí)，Sn+1SnSnSn1+2，an+1an2數(shù)列an在n2時(shí)是等差數(shù)列，公差為2則1+9291故答案為91【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題16.中，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得y=（x3），當(dāng)該直線與直線BC相交時(shí)，|取得最大值【詳解】中，b=10，B=90；以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，如圖所示，AB=5，AC=10，BAC=60，A（0，0），B（5，0），C（5，5），設(shè)點(diǎn)P為（x，y），0x5，0y，=，（x，y）=（5，0）（5，5）=（32，2），y=（x3），直線BC的方程為x=5，聯(lián)立，得，此時(shí)|最大，|AP|=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用問(wèn)題，建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，是中檔題三、解答題（共70分）17.已知向量，（1）若與共線，求實(shí)數(shù)；（2）求的最小值及相應(yīng)的值.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用向量共線定理可得關(guān)于t方程，解出即得t值；（2）利用求模公式表示出|，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值及相應(yīng)的t值；【詳解】（1），又與共線，解得.（2）， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示、利用數(shù)量積求模等知識(shí)，熟記運(yùn)算性質(zhì)及定理，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式得，兩邊平方，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系求得的值；（2）由同角的三角函數(shù)求出sinB的值，再根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求出b的值【詳解】（1）由題.上式兩邊平方，整理得，解得（舍去）或.即.（2）由得，故.又，則.由余弦定理得，解得，故的周長(zhǎng)為8.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，三角函數(shù)求值問(wèn)題，也考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題19.已知 .（1）求；（2）求向量在向量方向上投影.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由求的值，再求模長(zhǎng)即可；（2）利用投影公式求解即可【詳解】（1），.， .（2），向量在向量方向上的投影為.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，模長(zhǎng)公式，投影計(jì)算，熟記公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題20.已知向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心;（2）設(shè)銳角三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若求和c【答案】（1）；（2）,.【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x），利用三角函數(shù)的對(duì)稱中心即可得解（2）由（1）知可得，結(jié)合A的范圍可求，解法一：由余弦定理解得c的值，解法二：由正弦定理解得sinB，由B是銳角，可求cosB，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC，根據(jù)正弦定理即可解得c的值【詳解】，令,解x=故對(duì)稱中心為.（2）.，.方法一 由余弦定理得，解得或.若，則，為鈍角，這與為銳角三角形不符，故.方法二 由正弦定理得，解得.是銳角，由正弦定理得，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題21.數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）兩邊同除以，得即可證明；（2）由（1）求再求和即可【詳解】（1）兩邊同除以，得，是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.)，（2）由（1），.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列證明，等差數(shù)列求和公式，推理