對(duì)幾何直觀的理解課標(biāo)（2011年版）在“課程設(shè)計(jì)思路”中提出了“幾何直觀”這個(gè)與學(xué)習(xí)內(nèi)容有關(guān)的新的核心概念，怎樣理解“幾何直觀”？它在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中有何作用？ 一、把握十個(gè)核心概念的三個(gè)層次第一層，主要體現(xiàn)在某一內(nèi)容領(lǐng)域的核心概念，如：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力主要體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，空間觀念主要體現(xiàn)在圖形與幾何領(lǐng)域，數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域；第二層，體現(xiàn)在不同領(lǐng)域的核心概念，包括幾何直觀、推理能力和模型思想；第三層，超越課程內(nèi)容，整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)課程都應(yīng)特別注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。二、對(duì)直觀的理解1、直觀是相對(duì)的，有不同的層面和表現(xiàn)。眼前的美景難以描摹，我們拍下照片，這是一種直觀；抽象的道理難以領(lǐng)悟，我們講了一個(gè)故事，這是直觀；復(fù)雜的邏輯關(guān)系難以梳理，我們畫(huà)了一個(gè)流程圖，這也是直觀。2、直觀含有可視化的意思（英文Visual），作為一個(gè)隱喻，直觀意味著是感官可以直接感知的，但并不局限于視覺(jué)。比如，相較于文字的描繪，聲音、顏色、氣味、圖形、味道，可以直接作用于不同感官的東西都可以構(gòu)成一種直觀。3、直觀它是認(rèn)識(shí)的淺層次階段，是進(jìn)一步抽象的基礎(chǔ)。三、幾何直觀的含義 標(biāo)準(zhǔn)指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用.”著名數(shù)學(xué)家徐利治先生也有過(guò)對(duì)幾何直觀的描述：“幾何直觀是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知.”也有學(xué)者這么描述：“幾何直觀是一種思維活動(dòng)，是人腦對(duì)客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識(shí)別或猜想的心理狀態(tài).” 從這些描述中，我們可以有以下的認(rèn)識(shí)： 幾何直觀是一種運(yùn)用圖形認(rèn)識(shí)事物的能力，或者說(shuō)是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式。這種能力可外化為一種在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的方法，這種方法區(qū)別于其他方法的典型特征在于它是以幾何圖形為工具的即“幾何”兩字的意義.用這種方法解決問(wèn)題，不是運(yùn)用幾何中常用的論證方法，而是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)、觀察、想象等途徑，直觀地感知問(wèn)題的結(jié)果或方向即“直觀”兩字的意義. 例如，三年級(jí)學(xué)生要學(xué)習(xí)同分子分?jǐn)?shù)大小比較，這個(gè)知識(shí)相對(duì)比較抽象，學(xué)生較難理解.此時(shí)，學(xué)生如果能主動(dòng)地采取畫(huà)出（或想到）幾何圖形的方式，然后通過(guò)觀察（或想象）圖形的特點(diǎn)及聯(lián)系，那么就能直觀地解決問(wèn)題，并理解“分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的反而大”的道理。學(xué)生如果具備這種解決問(wèn)題的思維方式，掌握這樣的方法，我們就可以說(shuō)學(xué)生有幾何直觀的能力. 四、幾何直觀與數(shù)形結(jié)合 在理解幾何直觀意義的過(guò)程中，最大的困惑就是難以將幾何直觀與數(shù)形結(jié)合清晰地區(qū)別開(kāi)來(lái)。比如說(shuō)，上文所舉的分?jǐn)?shù)大小比較時(shí)用幾何圖形來(lái)思考的例子，在以前，我們一直將其視為用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決問(wèn)題的典型.而如今，這樣的觀念要調(diào)整，數(shù)形結(jié)合變成了幾何直觀，這就難免讓人產(chǎn)生疑惑：數(shù)形結(jié)合與幾何直觀，區(qū)別到底在哪里？什么是數(shù)形結(jié)合？數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效策略.它是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可借助于“形”的直觀來(lái)理解抽象的“數(shù)”，或反過(guò)來(lái)運(yùn)用“數(shù)”與“式”的描述來(lái)刻畫(huà)“形”的特征。數(shù)形結(jié)合最基本的形式為“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。如小學(xué)數(shù)學(xué)中的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，我們運(yùn)用畫(huà)線段圖來(lái)分析其中的數(shù)量關(guān)系，這樣的情況就可叫做“以形助數(shù)”，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，以數(shù)解形例子極少。而我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中，用數(shù)對(duì)來(lái)描述圖形的變化（如平移、旋轉(zhuǎn)），或計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離等，這樣的情況則可叫做“以數(shù)解形”?！耙孕沃鷶?shù)”，是在發(fā)揮“形”所具有的直觀特點(diǎn)，來(lái)降低“數(shù)”的抽象度；而“以數(shù)解形”，則是在利用“數(shù)”的精確性，來(lái)準(zhǔn)確刻畫(huà)“形”，讓“形”得以量化。如此，直觀與抽象相互配合，取長(zhǎng)補(bǔ)短，從而順利、有效地解決問(wèn)題。如果用一個(gè)不太恰當(dāng)?shù)谋扔鱽?lái)形容數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，它就好比是架設(shè)在“數(shù)”與“形”之間的一條雙向通道，起著由此及彼、相互促進(jìn)的作用.從幾何直觀的概念可知，它是指“利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題”。幾何直觀就是用“形”來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。盡管這個(gè)“數(shù)學(xué)問(wèn)題”可能并不僅僅是“數(shù)”，可以是“形”或者其他數(shù)學(xué)問(wèn)題。但不管怎樣，如果與數(shù)形結(jié)合做個(gè)對(duì)比，那么它就只能算是一條由“形”出發(fā)的單向通道而已.幾何直觀，也是在用“形”，但這個(gè)“形”，可以是眼睛見(jiàn)到的，可以是畫(huà)出的，也可以是大腦想到的。更重要的是，它是要依托“形”直接地產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系及事物其他本質(zhì)屬性的感知，即“未經(jīng)充分邏輯推理而對(duì)事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對(duì)象的全貌和對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)?！蔽濉缀沃庇^案例幾何直觀是一種立足于“形”卻帶有思維跳躍性的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方式，它是基于表象的、在人頭腦中進(jìn)行的“快捷推理”【案例1】蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略（畫(huà)圖）”有這樣一題：小營(yíng)村原來(lái)有一個(gè)寬20米的長(zhǎng)方形魚(yú)池。后來(lái)因擴(kuò)建公路，魚(yú)池的寬減少了5米，這樣魚(yú)池的面積就減少了 150平方米?，F(xiàn)在魚(yú)池的面積是多少平方米？多數(shù)學(xué)生畫(huà)好圖后（如右），這樣算：1505=30（米），30（20-5）=450（平方米）。有的學(xué)生因?yàn)樽x題不仔細(xì)，同時(shí)受此前幾題都是求原來(lái)面積的干擾，算成了3020=600（平方米）。只有極少數(shù)的學(xué)生，根據(jù)畫(huà)的圖，直接列式計(jì)算：1503=450（平方米）。對(duì)這樣的簡(jiǎn)便算法，很多學(xué)生一時(shí)還不理解，但經(jīng)學(xué)生或老師的解釋?zhuān)捕寄芑腥淮笪颉?考察直接列式計(jì)算的學(xué)生的思維過(guò)程，畫(huà)圖給他提供了直觀的刺激：寬是5米的3倍，長(zhǎng)不變，面積自然也是減少部分的3倍；更直接的，先看減少的150平方米，以5米作為標(biāo)尺，根據(jù)圖形，現(xiàn)在的面積是就是150平方米的3倍。在這個(gè)過(guò)程中，1505=30的計(jì)算、長(zhǎng)方形的面積公式是可以跳過(guò)去的。這體現(xiàn)了幾何直觀的特點(diǎn)：未經(jīng)充分邏輯推理而對(duì)事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對(duì)象的全貌和對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。 【案例2】在北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”的教學(xué)中，教師出示題目：小華錄入一份稿件，錄入了3/4后，還剩700字，小華錄入了多少字？解法（1）：設(shè)這份稿件共有X個(gè)字，X 3/4X=700，X=2800，所以 X=2100。解法（2）：700（13/4）3/4 =2100。在匯報(bào)完上述兩種常規(guī)算法后，有一男生激動(dòng)地說(shuō)：我還有一種解法，7003=2100。學(xué)生們七嘴八舌，都認(rèn)為該生的結(jié)果是湊出來(lái)。這位男生不服氣了，說(shuō)：我可沒(méi)湊，我有依據(jù)的。我是借助線段圖來(lái)解題的。該生在黑板上畫(huà)好線段圖（如右），邊指著線段圖邊解說(shuō)：整條線段表示一本書(shū)字?jǐn)?shù)，錄入了3/4 就是把線段平均分成了4份，其中的3份表示已錄入的，剩下1份沒(méi)錄，還剩700字就是這沒(méi)錄的1份。求小華錄入了多少字，就是求3份的字?jǐn)?shù)，所以用7003?！景咐?】在人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法”一道練習(xí)題（如下）學(xué)生可以按照一般方法，先用241/2=48（件），求得獲獎(jiǎng)作品總件數(shù)；再用481/3=16（件）求得二等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)作品件數(shù)；然后用481/6=8（件）求得一等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)作品件數(shù)。其實(shí)也可以借助圖形，通過(guò)合情推理的方法得到結(jié)果，而省去了中間繁瑣的計(jì)算。 24人三等獎(jiǎng) 1/2 （ 16）人二等獎(jiǎng) 1/3 （ 8 ）人一等獎(jiǎng) 1/6（1）他們都直接借助圖形來(lái)思考，借助的手段有“幾何”特色。（2）借助圖形思考跳過(guò)了一些步驟，更加簡(jiǎn)潔、快速地獲得答案，體現(xiàn)了“直觀”的特色。（3）幾學(xué)生分析與解決的問(wèn)題都不屬于“圖形與幾何領(lǐng)域”，正