第2章導(dǎo)數(shù)與微分,1.1導(dǎo)數(shù)的概念1.2導(dǎo)數(shù)的運算1.3微分,結(jié)束,定義設(shè)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，屬于該鄰域，記若存在，則稱其極限值為y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記為,或,2.1導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)定義與下面的形式等價：,若y=f(x)在x=x0的導(dǎo)數(shù)存在，則稱y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，反之稱y=f(x)在x=x0不可導(dǎo)，此時意味著不存在.,左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):,右導(dǎo)數(shù):,顯然可以用下面的形式來定義左、右導(dǎo)數(shù),定理3.1y=f(x)在x=x0可導(dǎo)的充分必要條件是y=f(x)在x=x0的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,當(dāng)自變量從變化到時，曲線y=f(x)上的點由變到,此時為割線兩端點M0，M的橫坐標(biāo)之差，而則為M0，M的縱坐標(biāo)之差，所以即為過M0，M兩點的割線的斜率.,曲線y=f(x)在點M0處的切線即為割線M0M當(dāng)M沿曲線y=f(x)無限接近時的極限位置M0P，因而當(dāng)時，割線斜率的極限值就是切線的斜率.即：,所以，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點M0(x0,f(x0)處的切線斜率.,M0,M,設(shè)函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：而當(dāng)時,曲線在的切線方程為,(即法線平行y軸).,當(dāng)時,曲線在的法線方程為,而當(dāng)時,曲線在的法線方程為,例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取極限:同理可得:特別地,.,例2求曲線在點處的切線與法線方程.解:因為,由導(dǎo)數(shù)幾何意義,曲線在點的切線與法線的斜率分別為:于是所求的切線方程為:即法線方程為:,即,2.1.2可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理2若函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，,則f(x)在點x0處連續(xù).,例3證明函數(shù)在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo).,證因為,所以在x=0連續(xù),而,即函數(shù)在x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相等,從而在,x=0不可導(dǎo).,由此可見，函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件,即可導(dǎo)定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo).,2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,2.2導(dǎo)數(shù)的運算,特別地,如果,可得公式,注：法則（1）（2）均可推廣到有限多個可導(dǎo)函數(shù)的情形,例：設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點x處均可導(dǎo)，則,解：,例2設(shè),解：,例1,解：,即,類似可得,例3求y=tanx的導(dǎo)數(shù),基本導(dǎo)數(shù)公式表,2.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解：,例4,2.2.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例6,解：,解：,例5,1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例7求方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解：,方程兩端對x求導(dǎo)得,2.2.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)即是由所確定的函數(shù)，其求導(dǎo)方法就是把y看成x的函數(shù)，方程兩端同時對x求導(dǎo)，然后解出。,即,例8,2.3.1微分的概念,2.3微分,于是函數(shù),，稱自變量的微分，,上式兩端同除以自變量的微分，得,因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商,f(x)在點x0處的微分又可寫成,f(x)在(a,b)內(nèi)任一點x處的微分記為,記為,解：,于是,