4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式庖丁巧解牛知識(shí)巧學(xué)一、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本步驟（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（如n0=1或n0=2等等）時(shí)，命題正確；（2）證明如下事實(shí)：假設(shè)當(dāng)n=k（kN且kn0）時(shí)，命題正確，由此推出當(dāng)n=k+1時(shí)命題也正確.完成了以上兩步后，就可斷定命題對(duì)于從n0開始的所有自然數(shù)都正確.用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的.但從證題的難易來分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變，先比較n=k與n=k+1這兩個(gè)不等式間的差異，以決定n=k時(shí)不等式做何種變形.一般地,只能變出n=k+1等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明.辨析比較數(shù)學(xué)歸納法與其他證明不等式的方法數(shù)學(xué)歸納法證明不等式有它的局限性，它只能用來證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式.而其他證明不等式的方法運(yùn)用比較廣泛.但具體運(yùn)用時(shí)，各自都有自己的具體要求，比如數(shù)學(xué)歸納法就有嚴(yán)格的兩個(gè)步驟，反證法就有嚴(yán)格的格式（必須先假設(shè)結(jié)論的否命題，再推出矛盾，最后否定假設(shè)，肯定原命題），分析法也有自己的格式（綜合法的逆過程），綜合法是廣泛運(yùn)用已知的定理、性質(zhì)、推論等來證明.但是與自然數(shù)有關(guān)的不等式其他方法不如數(shù)學(xué)歸納法來得簡(jiǎn)潔，在數(shù)學(xué)歸納法的第二步中，也經(jīng)常使用反證法、分析法、綜合法、放縮法等作為輔助手段.二、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)和難點(diǎn)1.重點(diǎn)：鞏固對(duì)數(shù)學(xué)歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達(dá)解題過程，以及掌握利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本思路.2.難點(diǎn)：在證明中，對(duì)于n=k+1時(shí)的證明是整個(gè)數(shù)學(xué)歸納法證明過程中的難點(diǎn).要注意分離出該命題中，可以使用歸納假設(shè)的部分（沒有使用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法的證明），即假設(shè)f(k)g(k)成立，證明f(k+1)g(k+1)成立.對(duì)這個(gè)條件不等式的證明，除了靈活運(yùn)用作差比較法、作商比較法、綜合法、分析法等常用的不等式證明方法外；放縮法作為證明不等式的特有技巧，在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，更被經(jīng)常使用.誤區(qū)警示數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，不能簡(jiǎn)單套用兩個(gè)基本步驟，一定要用到歸納假設(shè)，對(duì)于n=k+1時(shí)的證明注意以下幾點(diǎn)：（1）在從n=k到n=k+1的過程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端（一般是左端）項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征；（2）瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地進(jìn)行放縮、分析；（3）活用起點(diǎn)的位置；（4）有的試題需要先作等價(jià)變換.三、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的運(yùn)用范圍數(shù)學(xué)歸納法是用來證明與自然數(shù)有關(guān)命題的一種有效方法，在我們高中數(shù)學(xué)中，經(jīng)常會(huì)以數(shù)列和函數(shù)為知識(shí)載體，構(gòu)造一些與自然數(shù)有關(guān)的命題，數(shù)學(xué)歸納法是證明它們的有效手段，但不是唯一手段.聯(lián)想發(fā)散在上一節(jié)中，我們還學(xué)習(xí)了歸納猜想證明的方法，在數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的運(yùn)用中，可不可以也先根據(jù)題目的條件歸納出一般規(guī)律，大膽猜想出一個(gè)不等式的命題，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明呢？典題熱題知識(shí)點(diǎn)一： 命題的結(jié)構(gòu)特征例1 求證：,n2,nN.思路分析：本題在由n=k到n=k+1時(shí)的推證過程中，不是第k項(xiàng)，應(yīng)是第2k項(xiàng)，數(shù)列各項(xiàng)分母是連續(xù)的自然數(shù)，最后一項(xiàng)是以3k收尾.根據(jù)此分母的特點(diǎn)，在3k后面還有3k+1、3k+2,最后才為3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了,共三項(xiàng)，而不是只增加一項(xiàng).證明：（）當(dāng)n=2時(shí)，右邊=+，不等式成立.（）假設(shè)當(dāng)n=k(k2,kN)時(shí)命題成立，即.則當(dāng)n=k+1時(shí)，=.所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（）（）可知，原不等式對(duì)一切n2,nN*均成立.誤區(qū)警示錯(cuò)誤的思維定式認(rèn)為從n=k到n=k+1時(shí)，只增加一項(xiàng)，求和式中最后一項(xiàng)即為第幾項(xiàng)的通項(xiàng)，所以一定要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征.例2 已知，Sn=1+,nN，用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+,n2,nN.思路分析：本題在由n=k到n=k+1時(shí)的推證過程中，不等式左端增加了2k項(xiàng)，而不是只增加了這一項(xiàng)，否則證題思路必然受阻.證明：（）當(dāng)n=2時(shí)，=1+=1+1+，命題成立.（）假設(shè)當(dāng)n=k(k2,kN)時(shí)命題成立，即=1+.則當(dāng)n=k+1時(shí)，=1+1+所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（）（）可知，原不等式對(duì)一切n2,nN均成立.方法歸納本題在由n=k到n=k+1時(shí)的推證過程中，一定要注意分析清楚命題的結(jié)構(gòu)特征，即由n=k到n=k+1時(shí)不等式左端項(xiàng)數(shù)的增減情況.知識(shí)點(diǎn)二： 比較法例3 求證：1+.思路分析：本題在由n=k到n=k+1時(shí)的推證過程中，關(guān)鍵的是證明，為證此，我們采用了不等式證明方法中的比較法.證明：（）當(dāng)n=1時(shí)，左式=1，右式=，左式=右式;當(dāng)n=2時(shí)，左式=1+=,右式=;,左式右式.當(dāng)n=1或n=2時(shí)，不等式成立.()假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí)，不等式成立，即1+.則當(dāng)n=k+1時(shí)，左式=1+.0,=右式.由不等式的傳遞性，可得左式右式，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（）（）可得，對(duì)一切nN,不等式都成立.誤區(qū)警示在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，我們經(jīng)常因思維定式認(rèn)為只能做代數(shù)變形，比較法是一種綜合證明法，不能在數(shù)學(xué)歸納法中使用，這是一種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).證明不等式的基本方法在數(shù)學(xué)歸納法的第二步中都可以使用，究竟選擇哪種方法要因具體題目而定.知識(shí)點(diǎn)三： 放縮法例4 證明：，n2,nN.思路分析：本題在由n=k到n=k+1時(shí)的推證過程中，在證明時(shí)，使用了均值定理進(jìn)行放縮.證明：()當(dāng)n=2時(shí)，左邊=，右邊=.左邊Tn.思路分析：要證SnTn，只需證32n+1+2n-63n2+11n，即證2n+1n2+3n+2.這就證明了原不等式的等價(jià)不等式，從而將命題簡(jiǎn)化.證明：an=3n+2，=32n+2，Sn=a2+a4+a8+a=3(2+4+8+2n)+2n=32n+1+2n-6.而Tn=n(9+an)=3n2+11n.要證SnTn，只需證32n+1+2n-63n2+11n，即證2n+1n2+3n+2.用數(shù)學(xué)歸納法來證明：()當(dāng)n=4時(shí)，S4=98,T4=92,S4T4成立.()假設(shè)當(dāng)n=k(k4)時(shí)，結(jié)論成立，就是2k+1k2+3k+2，那么2k+2-(k+1)2+3(k+1)+22(k2+3k+2)-(k2+5k+6)=k2+k-2=(k+2)(k-1).k4,(k+2)(k-1)0.2k+2(k+1)2+3(k+1)+2.這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，SnTn也成立.由()()知，對(duì)n4,SnTn都成立.方法歸納本題用數(shù)學(xué)歸納法證明2n+1n2+3n+2，第二步采用的是作差比較法：作差利用歸納假設(shè)變形（因式分解）定號(hào).這比通常的“作差變形定號(hào)”多了利用歸納假設(shè)這一步，這是因?yàn)闅w納假設(shè)是用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)所必需的.巧解提示也可不用數(shù)學(xué)歸納法來證明2n+1n2+3n+2(n4)，而是利用二項(xiàng)展開式和放縮法直接證得.當(dāng)n4時(shí)，2n+1=22n=2(1+1)n=2()2()=n2+3n+4n2+3n+2.知識(shí)點(diǎn)五： 單調(diào)性例6 已知數(shù)列an中，所有項(xiàng)都是正數(shù)，且an+1an-a2n，求證：an0,a20，可得a11，命題成立.（）假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí)命題成立，即ak.則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1ak-a2k=ak(1-ak)，ak1-=.由于以上二式不是同向不等式，所以無法完成由k到(k+1)的證明.所以我們可以利用函數(shù)f(x)=-x2+x的單調(diào)性進(jìn)行證明：函數(shù)f(x)=-x2+x的最大值為f()=，且在(-,上為增函數(shù).證明：（）當(dāng)n=1時(shí)，由a2a1-a12=a1(1-a1)，且a10,a20，可得a11，命題成立.而a2a1-a12=f(a1)，故n=2時(shí)命題也成立.（）假設(shè)n=k(k2)時(shí)，命題成立，即ak，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=-x2+x在(-,上為增函數(shù)，所以由ak及ak+1ak-a2k得ak+1f(ak)f()=+=,即ak+1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.根據(jù)（）（）可知，對(duì)任何nN*，an.知識(shí)點(diǎn)六： 活用起點(diǎn)的位置例7 已知函數(shù)f(x)=ax-x2的最大值不大于，又當(dāng)x,時(shí)，f(x).（1）求a的值；（2）設(shè)0a1,an+1=f(an),nN*,證明:an.思路分析：在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，充分利用了數(shù)列遞推關(guān)系式an+1=f(an)=a2n+an的函數(shù)單調(diào)性，需注意命題的遞推關(guān)系式中起點(diǎn)位置的推移.(1)解：由于f(x)=axx2的最大值不大于,所以f()=,即a21.又x,時(shí)f(x),所以解得a1.a=1.(2)證明：（）當(dāng)n=1時(shí)，0a1，不等式0an0,x(0,),所以0a2=f(a1),故n=2時(shí)不等式也成立.（）假設(shè)n=k(k2)時(shí)，不等式0ak成立，因?yàn)閒(x)=x-x2的對(duì)稱軸為x=,知f(x)在0,為增函數(shù)，所以由0ak得0f(ak)f(),于是有0ak+1-.所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)（）（）可知，對(duì)任何nN*，不等式an成立.方法歸納將起點(diǎn)的位置推移至2的目的，就是要將ak和置于函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間0,內(nèi)，從而由0ak得0f(ak)f().問題探究交流討論探究問題1 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過貝努利不等式（1+x）n1+nx的證明，如果我們加強(qiáng)條件，如：已知x-1，且x0，nN，n2.如何來證明不等式（1+x）n1+nx.證明的方法有哪些呢？探究過程:老師：首先驗(yàn)證n=2時(shí)的情況.（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x20，則原不等式成立.（2）假設(shè)n=k時(shí)（k2），不等式成立，即（1+x）k1+kx.現(xiàn)在要證的目標(biāo)是（1+x）k+11+（k+1）x，請(qǐng)同學(xué)們考慮.同學(xué)甲：因?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要運(yùn)用歸納假設(shè)，所以當(dāng)n=k+1時(shí).應(yīng)構(gòu)造出歸納假設(shè)適應(yīng)的條件.所以有（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）.因?yàn)閤-1（已知），所以1+x0,于是（1+x）k（1+x）（1+kx）（1+x）.同學(xué)乙：現(xiàn)將命題轉(zhuǎn)化成如何證明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x.顯然，上式中“=”不成立.故只需證：（1+kx）（1+x）1+（k+1）x.老師：證明不等式的基本方法有哪些？同學(xué)丙：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法.老師：在第二步證明中，合理運(yùn)用歸納假設(shè)的同時(shí)，其本質(zhì)是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用.同學(xué)?。鹤C明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x，可采用作差比較法.（1+kx）（1+x）-1+（k+1）x=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx20（因x0，則x20）.所以，（1+kx）（1+x）1+（k+1）x.同學(xué)甲：也可采用綜合法的放縮技巧.（1+kx）（1+x）=1+kx+x+kx2=1+（k+1）x+kx2.因?yàn)閗x20，所以1+（k+1）x+kx21+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）1+（1+k）x成立.老師：這些方法，哪種更簡(jiǎn)便，更適合數(shù)學(xué)歸納法的書寫格式？學(xué)生丙用放縮技巧證明顯然更簡(jiǎn)便，利于書寫.探究結(jié)論:在證明中，對(duì)于n=k+1時(shí)的證明是整個(gè)數(shù)學(xué)歸納法證明過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn).要注意分離出該命題中可以使用歸納假設(shè)的部分（沒有使用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法的證明），并借助于其他數(shù)學(xué)方法（如分析法、比較法、綜合法、反證法等）.問題2 我們?cè)谧C明不等式的時(shí)候，常用放縮法的技巧來達(dá)成目的，可在具體的題目中究竟如何放縮還要視具體的題目而定，我們不妨來看看這樣一個(gè)命題的證明，求證：2上標(biāo)n+2n2，nN.探究過程:老師：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=21+2=4；右邊=1，左邊右邊.所以原不等式成立.（2）假設(shè)n=k時(shí)（k1且kN）時(shí)，不等式成立，即2k+2k2.現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們考慮n=k+1時(shí)，如何論證2k+1+2（k+1）2成立.同學(xué)甲：利用歸納假設(shè)2k+1+2=22k+2=2（2k+2）-22k2-2.老師：將不等式2k2-2（k+1）2，右邊展開后得k2+2k+1.由于轉(zhuǎn)化目的十分明確，所以只需將不等式的左邊向k2+2k+1方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3.由此不難看出，只需證明k2-2k-30，不等式2k2-2k2+2k+1即成立.同學(xué)乙：因?yàn)閗2-2k-3=（k-3）（k+1），而kN，故k+10，但k-30成立的條件是k3，所以當(dāng)kN時(shí)，k-30未必成立.老師：不成立的條件是什么？同學(xué)乙：當(dāng)k=1，2時(shí)，不等式k-30不成立.老師：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用歸納法，將其逐一驗(yàn)證原命題成立，因此在證明第一步中，應(yīng)補(bǔ)充驗(yàn)證n=2時(shí)原命題成立.那么，n=3時(shí)是否也需要論證？同學(xué)丙：n=3需要驗(yàn)證，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)歸納