2016-2017學(xué)年江蘇省泰州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1直線y=x+1的傾斜角大小為 2若直線x+ay=2與直線2x+4y=5平行，則實(shí)數(shù)a的值是 3無論k取任何實(shí)數(shù)，直線y=kxk都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為 4若x0，則x+的最小值為 5過圓x2+y2=2上一點(diǎn)（1，1）的切線方程為 6底面邊長和側(cè)棱長均為2的正四棱錐的體積為 7若實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=3x+y的取值范圍是 8點(diǎn)P（3，2）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為 9已知an=2n1（nN*），則+= 10已知m、n為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的序號(hào)為 若mn，n，則m；若m，則m；若m，n，n，則m；若mn，n，則m11若ABC的面積為，BC=2，則的取值范圍是 12若正實(shí)數(shù)a，b滿足+=，則ab+a+b的最小值為 二、解答題（共8小題，滿分100分）13在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b=3，c=1，A=60（1）求a的值；（2）求sinB14已知圓P過A（8，0），B（2，0），C（0，4）三點(diǎn)，圓Q：x2+y22ay+a24=0（1）求圓P的方程；（2）如果圓P和圓Q相外切，求實(shí)數(shù)a的值15如圖，PA平面ABCD，ADBC，AD=2BC，ABBC，點(diǎn)E為PD中點(diǎn)（1）求證：ABPD；（2）求證：CE平面PAB16設(shè)等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2=2，S5=15；等比數(shù)列bn滿足b2=4，b5=32（1）求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn17已知函數(shù)f（x）=x2（a+1）x+b（1）若f（x）0的解集為（1，3），求a，b的值；（2）當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意xR，f（x）0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)b=a時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）0（結(jié)果用a表示）18如圖1，在路邊安裝路燈，路寬為OD，燈柱OB長為h米，燈桿AB長為1米，且燈桿與燈柱成120角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為2，燈罩軸線AC與燈桿AB垂直（1）設(shè)燈罩軸線與路面的交點(diǎn)為C，若OC=5米，求燈柱OB長；（2）設(shè)h=10米，若燈罩軸截面的兩條母線所在直線一條恰好經(jīng)過點(diǎn)O，另一條與地面的交點(diǎn)為E（如圖2）；（i）求cos的值；（ii）求該路燈照在路面上的寬度OE的長；19如圖，過點(diǎn)E（1，0）的直線與圓O：x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C（2，0）且與AB垂直的直線與圓O的另一交點(diǎn)為D（1）當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，求直線CD的方程；（2）求四邊形ABCD面積S的最大值20已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn（1）若Sn=2n1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若a1=，Sn=anan+1，an0，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)無窮數(shù)列an是各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列，是否存在無窮等比數(shù)列bn，使得an+1=anbn恒成立？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由2016-2017學(xué)年江蘇省泰州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1直線y=x+1的傾斜角大小為60【考點(diǎn)】I2：直線的傾斜角【分析】求出直線的斜率，然后求出直線的傾斜角即可【解答】解：因?yàn)橹本€y=x+1的斜率為：，所以直線的傾斜角為，tan，所以=60故答案為：602若直線x+ay=2與直線2x+4y=5平行，則實(shí)數(shù)a的值是2【考點(diǎn)】II：直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系【分析】利用兩條直線平行的條件即可得出【解答】解：由2a4=0，解得a=2，經(jīng)過驗(yàn)證滿足兩條直線平行，a=2故答案為：23無論k取任何實(shí)數(shù)，直線y=kxk都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）【考點(diǎn)】IO：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程【分析】直線y=kxk，即k（x1）y=0，令，解出即可得出【解答】解：直線y=kxk，即k（x1）y=0，令，解得x=1，y=0無論k取任何實(shí)數(shù)，直線y=kxk都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（1，0），故答案為：（1，0），4若x0，則x+的最小值為2【考點(diǎn)】7F：基本不等式；3U：一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)直接求解即可【解答】解：x0，由基本不等式可知x+，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x2=2，x=時(shí)取等號(hào)，x+的最小值為故答案為：25過圓x2+y2=2上一點(diǎn)（1，1）的切線方程為x+y2=0【考點(diǎn)】J7：圓的切線方程【分析】要求過點(diǎn)（1，1）的切線方程，關(guān)鍵是求出切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)（1，1）在圓上，故代入圓的切線方程，整理即可得到答案【解答】解：點(diǎn)（1，1）在圓上，過點(diǎn)（1，1）的圓x2+y2=2的切線方程為1x+1y=2，故答案為：x+y2=06底面邊長和側(cè)棱長均為2的正四棱錐的體積為【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【分析】底面邊長和側(cè)棱長均為2的正四棱錐SABCD中，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)SO，則SO底面ABCD，亞洲 屆AO=，由此能求出正四棱錐的體積【解答】解：如圖，底面邊長和側(cè)棱長均為2的正四棱錐SABCD中，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)SO，則SO底面ABCD，S正方形ABCD=ABBC=22=4，AO=，=，正四棱錐的體積：V=故答案為：7若實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=3x+y的取值范圍是2，8【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃【分析】根據(jù)題意畫出約束條件表示的平面區(qū)域，根據(jù)圖形得出直線z=3x+y過點(diǎn)B（0，2）時(shí)z取得最小值，過點(diǎn)A時(shí)z取得最大值即可【解答】解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示；當(dāng)直線z=3x+y過點(diǎn)B（0，2）時(shí)，z取得最小值為2；當(dāng)直線z=3x+y過點(diǎn)A（2，2）時(shí)，z取得最大值為8；所以z=3x+y的取值范圍是2，8故答案為：2，88點(diǎn)P（3，2）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）【考點(diǎn)】IQ：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程【分析】點(diǎn)P（3，2）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），則由垂直及中點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件，求出a、b的值，可得結(jié)論【解答】解：點(diǎn)P（3，2）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），則，解得a=1，b=4，故答案為（1，4）9已知an=2n1（nN*），則+=【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和【分析】=利用裂項(xiàng)求和方法即可得出【解答】解： =+=+=故答案為：10已知m、n為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的序號(hào)為若mn，n，則m；若m，則m；若m，n，n，則m；若mn，n，則m【考點(diǎn)】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【分析】在中，m與相交、平行或m；在中，m與相交、平行或m；在中，由線面垂直的判定定理得m；在中，m與相交、平行或m【解答】解：由m、n為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，知：在中，若mn，n，則m與相交、平行或m，故錯(cuò)誤；在中，若m，則m與相交、平行或m，故錯(cuò)誤；在中，若m，n，n，則由線面垂直的判定定理得m，故正確；在中，若mn，n，則m與相交、平行或m，故錯(cuò)誤故答案為：11若ABC的面積為，BC=2，則的取值范圍是，【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算【分析】作ADBC，交BC于D，設(shè)BD=x，則AD=，AB=，AC=，從而，設(shè)f（x）=，（0x2），則，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出的取值范圍【解答】解：作ADBC，交BC于D，設(shè)BD=x，則AD=，AB=，AC=，設(shè)f（x）=，（0x2），則，當(dāng)0x2時(shí)，f（x）0恒成立，x=0時(shí)，f（x）取最小值，x=2時(shí)，f（x）取最大值，的取值范圍是，故答案為：，12若正實(shí)數(shù)a，b滿足+=，則ab+a+b的最小值為6+14【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】用a表示出b，利用基本不等式得出最值【解答】解： +=，3（a+1）+3（b+2）=（a+1）（b+2），ab=a+2b+7，a=，a，b都是正數(shù)，b1ab+a+b=a+2b+7+a+b=2a+3b+7=+3b+7=3（b1）+142+14=6+14當(dāng)且僅當(dāng)3（b1）=即b=+1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a=2+故答案為：6+14二、解答題（共8小題，滿分100分）13在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b=3，c=1，A=60（1）求a的值；（2）求sinB【考點(diǎn)】HR：余弦定理【分析】（1）由已知及余弦定理即可解得a的值（2）由正弦定理即可求得sinB的值【解答】（本題滿分為10分）解：（1）b=3，c=1，A=60由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=9+12=7，a=5分（2）由正弦定理可得，sinB=10分14已知圓P過A（8，0），B（2，0），C（0，4）三點(diǎn)，圓Q：x2+y22ay+a24=0（1）求圓P的方程；（2）如果圓P和圓Q相外切，求實(shí)數(shù)a的值【考點(diǎn)】J7：圓的切線方程；J1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）設(shè)圓P的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用待寶系數(shù)法能求出圓P的方程（2）圓P的圓心P（3，0），半徑r=5，圓Q的圓心Q（0，a），半徑r=2，由圓P和圓Q相外切，得|PQ|=5+2=7，由此利用兩點(diǎn)間距離公式能求出a【解答】解：（1）設(shè)圓P的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，圓P過A（8，0），B（2，0），C（0，4）三點(diǎn)，解得D=6，E=0，F(xiàn)=16，圓P的方程為x2+y2+6x16=0（2）圓P的方程即（x+3）2+y2=25，圓心P（3，0），半徑r=5，圓Q：x2+y22ay+a24=0，即x2+（ya）2=4，圓心Q（0，a），半徑r=2，圓P和圓Q相外切，|PQ|=5+2=7，（30）2+（0a）2=72，解得a=15如圖，PA平面ABCD，ADBC，AD=2BC，ABBC，點(diǎn)E為PD中點(diǎn)（1）求證：ABPD；（2）求證：CE平面PAB【考點(diǎn)】LX：直線與平面垂直的性質(zhì)；LS：直線與平面平行的判定【分析】（1）推導(dǎo)出PAAB，ABAD，由此能證明AB平面PAD，從而ABPD（2）取PA的取中點(diǎn)F，連結(jié)EFAD，推導(dǎo)出四邊形BCEF是平行四邊形，從而ECBF，由此能證明CE平面PAB【解答】證明：（1）PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，又ABBC，ADBC，ABAD，又PAAB，PAAD=A，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD（2）取PA的取中點(diǎn)F，連結(jié)EFAD，EF=AD，又ADBC，AD=2BC，EFBC，EF=BC，四邊形BCEF是平行四邊形，ECBF，EC平面PAB，BF平面PAB，CE平面PAB16設(shè)等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2=2，S5=15；等比數(shù)列bn滿足b2=4，b5=32（1）求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn【考點(diǎn)】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；8E：數(shù)列的求和【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，得到方程組，解方程可得首項(xiàng)和公差、公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得anbn=n2n，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a2=2，S5=15，可得a1+d=2，5a1+d=15，解得a1=d=1，則an=1+（n1）=n；設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，由b2=4，b5=32，可得b1q=4，b1q4=32，解得b1=q=2，可得bn=b1qn1=2n；（2）anbn=n2n，前n項(xiàng)和Tn=12+222+n2n，2Tn=122+223+n2n+1，相減可得，Tn=2+22+2nn2n+1=n2n+1，化簡可得，Tn=（n1）2n+1+217已知函數(shù)f（x）=x2（a+1）x+b（1）若f（x）0的解集為（1，3），求a，b的值；（2）當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意xR，f（x）0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)b=a時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）0（結(jié)果用a表示）【考點(diǎn)】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】（1）將x=1，3代入f（x）=0，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；（2）將a=1代入函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出b的范圍即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為x2（a+1）x+a0，即（x1）（xa）0，通過討論a的范圍求出不等式的解集即可【解答】解：（1）f（x）0的解集是（1，3），x2（a+1）x+b=0的兩個(gè)根是1，3，解得：a=1，b=3；（2）a=1時(shí)，f（x）=x22x+b，xR，f（x）0恒成立，=（2）24b0，解得：b1，故b的范圍是1，+）；（3）b=a時(shí)，f（x）0即x2（a+1）x+a0，（x1）（xa）0，a1時(shí)，ax1，a=1時(shí)，x，a1時(shí)，1xa，綜上，a1時(shí)，不等式f（x）0的解集是x|ax1，a=1時(shí)，不等式f（x）0的解集是，a1時(shí)，不等式f（x）0的解集是x|1xa18如圖1，在路邊安裝路燈，路寬為OD，燈柱OB長為h米，燈桿AB長為1米，且燈桿與燈柱成120角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為2，燈罩軸線AC與燈桿AB垂直（1）設(shè)燈罩軸線與路面的交點(diǎn)為C，若OC=5米，求燈柱OB長；（2）設(shè)h=10米，若燈罩軸截面的兩條母線所在直線一條恰好經(jīng)過點(diǎn)O，另一條與地面的交點(diǎn)為E（如圖2）；（i）求cos的值；（ii）求該路燈照在路面上的寬度OE的長；【考點(diǎn)】HU：解三角形的實(shí)際應(yīng)用【分析】（1）作AEOD，BFAE，求出AF，BF，得出CE的長，根據(jù)tanACE=求出AE，從而得出OB的長；（2）（i）在AOB中，利用正弦定理求出sinBAO即可得出cos；（ii）利用差角公式計(jì)算sinAEO，在AOE中，利用正弦定理計(jì)算OE【解答】解：（1）過A作AEOD，垂足為E，過B作BFAE，垂足為F，則ABF=12090=30，AF=AB=，BF=AB=，OE=BF=，CE=OCOE=在四邊形ABOC中，BOC=BAC=90，ABO=120，ACO=60，在RtACE中，tanACE=，AE=CE=，OB=EF=AEAF=13即燈柱OB高13米（2）（i）在ABO中，由余弦定理得OA=，由正弦定理得=，sinBAO=cos=sinBAO=（ii）sin=，sin2=2sincos=，sinAEO=sin（60）=在AOE中，由正弦定理得=，解得OE=19如圖，過點(diǎn)E（1，0）的直線與圓O：x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C（2，0）且與AB垂直的直線與圓O的另一交點(diǎn)為D（1）當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，求直線CD的方程；（2）求四邊形ABCD面積S的最大值【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系【分析】（1）當(dāng)B（0，2）時(shí)，直線AB的斜率為2，由CD與AB垂直，直線CD的斜率為，由此能求出直線CD的方程（2）當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，AB=2，CD=4，四邊形ACBD的面積，當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB方程為kxyk=0，則直線CD方程為x+ky2=0，求出點(diǎn)O到直線AB的距離，從而得到弦長AB和CD，由此利用配方法能求出四邊形ACBD面積的最大值【解答】解：（1）當(dāng)B（0，2）時(shí)，直線AB的斜率為，CD與AB垂直，直線CD的斜率為，直線CD的方程為y=（x2），即x+2y2=0（2）當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，AB=2，CD=4，四邊形ACBD的面積S=，當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=k（x1），即kxyk=0，則直線CD方程為y=，即x+ky2=0，點(diǎn)O到直線AB的距離為，AB=2=2，CD=2=4，則四邊形ACBD面積S=4，令k2+1=t1（當(dāng)k=0時(shí)，四邊形ACBD不存在），=4（0，4），四邊形ABCD面積S的最大值為420已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn（1）若Sn=2n1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若a1=，Sn=anan+1，an0，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)無窮數(shù)列an是各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列，是否存在無窮等比數(shù)列bn，使得an+1=anbn恒成立？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由【考點(diǎn)】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【分析】（1）由數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a1=S1，當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）求出a1=a1a2，a10，可得a2=1，當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=anan+1an1an，即有an+1an1=1，即有數(shù)列an中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求通項(xiàng)；（3）設(shè)an=c+dn，假設(shè)存在無窮等比數(shù)列bn，使得an+1=anbn恒成立設(shè)數(shù)列bn的公比為q，則bn+1=qbn，即有=q，則（dn+2d+c）（dn+c）=q（dn+d+