第三章均勻半導(dǎo)體,本章內(nèi)容,3.1晶體中的電子的準(zhǔn)經(jīng)典力學(xué)3.2導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)3.3價(jià)帶結(jié)構(gòu)3.4本征半導(dǎo)體3.5非本征半導(dǎo)體3.6空穴的概念3.7能帶中電子的態(tài)密度函數(shù)3.8費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)3.9電子和空穴暗能量的分布3.10總結(jié),經(jīng)典力學(xué)，包括我們所熟悉的物理量，如質(zhì)量、速度、動(dòng)能和勢(shì)能，以及我們所熟悉的方程，如等，不能用來(lái)描述晶體中的電子。但是，如果能夠使用經(jīng)典力學(xué)，而不是量子力學(xué)，將是十分方便的，因?yàn)榻?jīng)典力學(xué)的方程很簡(jiǎn)單，而且經(jīng)典力學(xué)的物理圖像很清楚。在這一節(jié)里我們將看到，定義準(zhǔn)經(jīng)典力學(xué)是可能的。在準(zhǔn)經(jīng)典力學(xué)中，仍可以采用經(jīng)典的物理量，只是需要將電子的真實(shí)質(zhì)量換成電子的有效質(zhì)量，有效質(zhì)量包含了電子和晶體周期性勢(shì)場(chǎng)的相互作用。將有效質(zhì)量應(yīng)用到經(jīng)典力學(xué)的方程中，可以正確地預(yù)測(cè)晶體中的電子在受到來(lái)自外部的力（或外力）時(shí)的行為。先討論最簡(jiǎn)單的情況，一維晶體中的電子。,3.1晶體中的電子的準(zhǔn)經(jīng)典力學(xué),在第1章，我們討論了一維晶體中的電子在兩種情況下的能量-波失關(guān)系。在自由電子近似中，假設(shè)勢(shì)能是常數(shù)。E-K關(guān)系有如下的形式,3.1.1一維晶體,一、自由電子,式中第二項(xiàng)是動(dòng)能,對(duì)于自由電子，德布羅意關(guān)系成立，有，其中是電子的速度。動(dòng)能的經(jīng)典值是,在這種情況下，牛頓定律是成立的。注意到對(duì)于自由電子的情況，不存在來(lái)自晶體的附加的力，一次采用真正的經(jīng)典方程和自由電子的真實(shí)質(zhì)量。,晶體中，電子的速度由群速度確定,速度正比于E-K曲線的斜率。電子的質(zhì)量可以表示成,由于E-K曲線是拋物線，因此是一個(gè)常數(shù)，所以電子的質(zhì)量也是常數(shù)，和能量無(wú)關(guān)。,在準(zhǔn)自由電子模型中，電子處于晶體的某個(gè)區(qū)域，電子的勢(shì)能是在兩個(gè)方向都延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)的周期函數(shù)。為了得到準(zhǔn)自由電子行為的物理圖像，用類似于自由電子的形式來(lái)表示他們的性質(zhì)是很方便的。,二、準(zhǔn)自由電子,圖3.1（a）E-K曲線,圖3.1（b）E-K曲線,圖3.1（c）E-K曲線,為了得到有效質(zhì)量，考察材料的E-K曲線。我們選擇了一種導(dǎo)帶底在K=0的材料，GaAs就是這樣的材料。將E-K關(guān)系展開成冪級(jí)數(shù)。因?yàn)槲覀兛紤]的是導(dǎo)帶底E=Ec處的電子，因此把能量在K=0附近展開為,式中，HOTs代表高階項(xiàng)。導(dǎo)數(shù)項(xiàng)K=0處的值，其中。忽略高階項(xiàng)，有,這是一個(gè)拋物線方程?？梢宰C明，對(duì)于E-K關(guān)系是拋物線的區(qū)域此處就是能帶底部附近，忽略高階項(xiàng)是可以的。對(duì)于自由電子，群速度為,晶體中的群速度也具有同樣的形式。也就是說(shuō)，晶體中電子的速度等于群速度，為,群速度正比于E-K關(guān)系曲線的斜率。因?yàn)閯?dòng)能是與運(yùn)動(dòng)相關(guān)的能量，因此可以推斷，在處的動(dòng)能。電子的總能量是動(dòng)能和勢(shì)能的和，所以，在導(dǎo)帶底部的電子的總能量等于勢(shì)能。也就是說(shuō)，因此，在導(dǎo)帶底部附近的電子的勢(shì)能就等于能帶底的能量。,自由電子,準(zhǔn)自由電子,動(dòng)能,有效質(zhì)量定義為,與自由電子質(zhì)量的表示類似,有效質(zhì)量反比于E-K關(guān)系曲線的斜率。,下面考察作用在電子上的力。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)在準(zhǔn)經(jīng)典力學(xué)中，對(duì)于帶底附近的電子，勢(shì)能等于,并且,圖3.2一個(gè)外部電場(chǎng)施加在半導(dǎo)體棒上（a）物理圖像,(b)能帶圖。導(dǎo)帶的電子被電場(chǎng)向右加速，在兩次碰撞之間，保持恒定的能量運(yùn)動(dòng),電子在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，會(huì)和原子、缺陷或者是雜志發(fā)生碰撞。在碰撞中，能量是傳遞給其他粒子，同時(shí)電子會(huì)損失一部分總能量，如圖3.2（b）所示。但是，電子還會(huì)繼續(xù)被外加電場(chǎng)加速。加速度為在最小值附近，是正值，根據(jù)，電子在外力的方向上被加速。相反地，在最大值附近，有效質(zhì)量是負(fù)的，這表明電子朝著外力相反的方向加速這一概念和直覺是相反的。這種結(jié)果是由于作用在電子上的總的力，是外部施加的作用力，加上晶體內(nèi)部所有原子施加在電子上的力。有效質(zhì)量中計(jì)入了內(nèi)部原子的作用力，所以準(zhǔn)經(jīng)典力學(xué)才得以應(yīng)用。這種違反直覺的情況就是由于內(nèi)部的作用力，才使得電子在外力作用下向“錯(cuò)誤的”方向加速。,3.1.2三維晶體在經(jīng)典力學(xué)中，我們用E-K關(guān)系來(lái)求有效質(zhì)量，并據(jù)此推斷電子的行為，例如在外加電場(chǎng)下的運(yùn)動(dòng)。記得在第1章，我們通過(guò)討論布洛赫波函數(shù)得到了一些關(guān)于E-K圖的般形狀和性質(zhì)的知識(shí)(例如，關(guān)于K的周期性、在布里淵區(qū)中心的斜率為零，等等)。一維情況下關(guān)于E-K圖的討論和準(zhǔn)經(jīng)典力學(xué)中用到的有效參數(shù)可以推廣到二維和三維的情況。這里給出三維晶體的結(jié)果。1、三維布洛赫波由下式給出：2、任意一個(gè)能帶的關(guān)系在空間是周期性的，周期為,3、從E-K關(guān)系得到的全部信息和從中推出的參數(shù)，都包含在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)或第一布里淵區(qū)。4、三維情況下，電子的（群）速度為5、對(duì)于每一個(gè)主要晶向，在K=0處和簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的邊界都存在相對(duì)極值。6、對(duì)于三維晶體，關(guān)系是很難畫出來(lái)的。7、在一個(gè)能帶的相對(duì)極值附近，可以定義有效質(zhì)量，以便應(yīng)用牛頓定律。在極小值附近，有效質(zhì)量是正的；在極大值附近，有效質(zhì)量是負(fù)的。8、在極值附近曲線的曲率和的方向有關(guān)，從而和電子運(yùn)動(dòng)的方向有關(guān)。9、對(duì)于立方晶胞結(jié)構(gòu)的半導(dǎo)體，如果在K=0處有極值，那么曲率就和方向無(wú)關(guān)，并且有,3.2導(dǎo)帶結(jié)構(gòu),GaAs導(dǎo)帶能量的絕對(duì)最小值位于K=0處。由于立方結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，最小值附近E-K圖的曲率，從而在任何運(yùn)動(dòng)方向上都是相同的。因此，對(duì)于GaAs，導(dǎo)帶底附近電子的有效質(zhì)量是一個(gè)標(biāo)量。測(cè)得GaAs的電子有效質(zhì)量是0.067m0，m0是自由電子的靜止質(zhì)量。GaAs就是一種在布里淵區(qū)方向邊界處兩個(gè)能帶具有相同能量的材料，因此，在邊界處，E-K關(guān)系曲線的斜率不為零，但是兩個(gè)E-K關(guān)系曲線斜率的和等于零。,圖3.3三種常見半導(dǎo)體的E-K關(guān)系圖。,對(duì)于Si（如圖3.3（b）所示），導(dǎo)帶最小值在方向，位于大約等于布里淵區(qū)邊界K值0.85倍的K值處，這一點(diǎn)就是導(dǎo)帶底，絕大多數(shù)我們感興趣的電子都在這里。不幸的是，這里的電子有效質(zhì)量不是標(biāo)量，這是因?yàn)樵诖俗钚≈堤帲豄空間的不同方向，關(guān)系的曲率不同。對(duì)Si沿100方向運(yùn)動(dòng)的電子，有一個(gè)有效質(zhì)量，叫做縱有效質(zhì)量;還有兩個(gè)橫有效質(zhì)量，用來(lái)表征沿另外兩個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的電子，它們是相等的，用表示。從圖3.3(c)我們看到，Ge導(dǎo)帶的絕對(duì)最小值位于方向布里淵區(qū)的邊界，有效質(zhì)量也不是標(biāo)量。在K=0處還有另一個(gè)能量較高的極小值。在此較高能量的極小值處，電子的有效質(zhì)量是一個(gè)標(biāo)量。兩種最常用的平均方法可以得到兩種有效質(zhì)量，種是電子的電導(dǎo)率有效質(zhì)量，用于電導(dǎo)率和有關(guān)的計(jì)算；另一類是態(tài)密度有效質(zhì)量，用于計(jì)算電子濃度。,3.3價(jià)帶結(jié)構(gòu),雖然半導(dǎo)體的導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)隨材料不同而不同，但是大多數(shù)電子學(xué)中有重要應(yīng)用的半導(dǎo)體材料的價(jià)帶結(jié)構(gòu)都是類似的。價(jià)帶結(jié)構(gòu)一般比導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，包含3個(gè)交疊的能帶。這3個(gè)能帶的絕對(duì)最大值都在K=0處，但是E-K關(guān)系的曲率不同，因此有效質(zhì)量也不同，如圖3.4所示。,電子的有效質(zhì)量和E-K關(guān)系的曲率成反比，價(jià)帶頂附近電子的有效質(zhì)量是負(fù)值。另外，價(jià)帶一般情況下幾乎完全被電子占滿，只在帶頂附近有少量空態(tài)。如果把這此事態(tài)看成空穴的話可以認(rèn)為空穴是只有正有效質(zhì)量的，擁有一個(gè)正電荷的粒子。,圖3.4大多數(shù)半導(dǎo)體材料價(jià)帶的E-K關(guān)系圖,在K=0處的兩個(gè)能帶具有相同的最大值。h和l這兩個(gè)帶分別代表重空穴(較小曲率)和輕空穴(較大曲率)。第三個(gè)能帶向下分裂了能量，這是自旋軌道耦合導(dǎo)致的。這種自旋軌道相互作用來(lái)自于電子個(gè)體的自旋形成的磁場(chǎng)和電子軌道的磁場(chǎng)的影響，這個(gè)分裂能帶用s來(lái)表示。,表3.2幾種半導(dǎo)體的價(jià)帶空穴有效質(zhì)量（質(zhì)量的單位是自由電子靜止質(zhì)量）,3.4本征半導(dǎo)體,一個(gè)半導(dǎo)體如果沒有雜質(zhì)和晶格缺陷，就稱它是本征的。我們將看到，本征意味著導(dǎo)帶中電子的濃度(單位體積的數(shù)日)等于價(jià)帶中空穴的濃度。在絕對(duì)零度時(shí)，對(duì)于本征半導(dǎo)體，電子占據(jù)了價(jià)帶中所有的電子能態(tài)，導(dǎo)帶中的所有能態(tài)即是空的。這是因?yàn)樵诮^對(duì)零度，每一個(gè)電子都處于可能的最低能態(tài)。在稍高的溫度下，電子獲得從晶格傳遞過(guò)來(lái)的熱能。晶體中的原子會(huì)發(fā)生振動(dòng)，晶格的振動(dòng)以波的形式在晶體中傳播，這種聲學(xué)波也叫聲子，每個(gè)聲子都是具有能量和波矢。像子和光子一樣，聲子可以當(dāng)作是波，也可以看作粒子。聲子可以將電子從價(jià)帶激發(fā)到導(dǎo)帶，這樣就在價(jià)帶留下一個(gè)空態(tài)或空穴。這個(gè)導(dǎo)帶的電子是準(zhǔn)自由的，價(jià)帶的空穴也是準(zhǔn)自由的。電子和空穴一起稱做電子空穴對(duì)。如果電子一空穴對(duì)是通過(guò)吸收聲子產(chǎn)生的。我們就把這個(gè)過(guò)程稱為熱產(chǎn)生。因?yàn)槁曌踊蚓Ц裾駝?dòng)攜帶晶體的熱能如果激發(fā)的能量是由光子提供的，這個(gè)過(guò)程就叫做光產(chǎn)生。,圖3.5在熱產(chǎn)生過(guò)程中，一個(gè)價(jià)帶電子需要獲得額外的能量，躍遷到導(dǎo)帶。（a）實(shí)際圖像或化學(xué)鍵圖示。（b）能帶圖。在復(fù)合過(guò)程（c）中，導(dǎo)帶的一個(gè)電子落到價(jià)帶的空穴中，導(dǎo)帶電子和價(jià)帶空穴同時(shí)消失。電子還可以通過(guò)和其他粒子碰撞（c）圖右邊）而損失一部分能量,3.5非本征半導(dǎo)體,在本征半導(dǎo)體中，導(dǎo)帶電子的濃度等于價(jià)帶空穴的濃度。通過(guò)加入摻雜原子，可以讓電子和空穴的數(shù)目不等，在這種情況下，材料就是非本征的。如果一個(gè)半導(dǎo)體的的，稱之為非本征半導(dǎo)體。通過(guò)添加雜質(zhì)原子到本征材料中，就可以形成非本征半導(dǎo)體(這個(gè)過(guò)程叫摻雜)。如后面將介紹的，摻雜原子可以是施主，也可以是受主。如果，那么半導(dǎo)體就是n型的，意味著電流主要由帶負(fù)電的電子攜帶。如果，那么半導(dǎo)體就是P型的，電流主要由帶正電的空穴攜帶。,3.5.1施主假設(shè)一個(gè)外層有5個(gè)電子的原子，例如磷(P)替代了純硅晶體中的一個(gè)Si原子，如圖3.6（a）的價(jià)鍵圖所示。Si是4價(jià)。磷原子多余的一個(gè)電子不需要參與構(gòu)成共價(jià)鍵，因?yàn)橐呀?jīng)有足夠的電子構(gòu)成共價(jià)鍵了。因此，多余的這個(gè)電子就比共價(jià)鍵的電子受磷原子的束縛弱。正如我們將看到的，這個(gè)電子很容易“貢獻(xiàn)”給導(dǎo)帶，因此磷原子稱為施主原子。,圖3.6硅晶體中的施主：（a）晶體的價(jià)鍵圖。（b）摻有一個(gè)磷（施主）原子的硅的能帶圖,現(xiàn)在我們來(lái)較為定量地研究施主，并試著確定它們的能級(jí)。前面講過(guò)，由施主原子貢獻(xiàn)的多余的電子處于導(dǎo)帶。如果是這樣的話，施主原子失去一個(gè)電子，應(yīng)該成為正離子，那么離子的正電荷就對(duì)帶負(fù)電的電子產(chǎn)生庫(kù)侖力。這個(gè)問題和氫原子類似，在氫原子中，一個(gè)電子束縛在帶有一個(gè)正電荷的氫原子核周圍。根據(jù)氫原子的玻爾模型（同時(shí)依據(jù)量子力學(xué)），第n個(gè)能級(jí)由下式確定玻爾半徑是對(duì)于真空中的氫原子，是將一個(gè)電子從氫原子核的作用下移走(產(chǎn)生一個(gè)自由電子)所需要的最小總能量?？臻g中一個(gè)孤立的磷原子和氫原子類似，也具有一系列分立能級(jí)。,圖3.7（a）孤立磷離子中的分立能態(tài)。（b）含有一個(gè)受主原子的半導(dǎo)體晶體的能帶圖。對(duì)于孤立原子來(lái)說(shuō)，一個(gè)電子的能量必須等于或大于，才能脫離原子核的影響。在半導(dǎo)體中，電子的能量必須等于或大于，才能不受受主原子的影響。（c）GaAs中的一個(gè)受主原子的能級(jí)圖。,3.5.2受主除了向半導(dǎo)體中摻雜施主，還可以摻雜外層電子數(shù)比被替代原子的電子數(shù)少的雜質(zhì)。我們來(lái)看Si(4個(gè)價(jià)電子)個(gè)摻雜有3個(gè)價(jià)電子的硼原子的情況。圖3.8（a）描述了摻人硼原子的Si是如何成為P型材料的。在Si中，硼叫做受主。我們知道，原子通?？偸莾A向于填滿外面的殼層，即使是通過(guò)共享電子的方式。B原子周圍的Si原子都希望有8個(gè)外層電子但是總數(shù)卻少一個(gè)。如果鄰近的Si原子能提供一個(gè)電子占據(jù)這個(gè)空態(tài)，價(jià)鍵就填滿了。但是硼原子就變成帶負(fù)電的了，因?yàn)檫@時(shí)它的電子數(shù)多于質(zhì)子數(shù)。由于待膩?zhàn)幼钣锌赡軄?lái)自于鄰近的共價(jià)鍵，因此將在那里留下一個(gè)空穴。摻雜了一個(gè)受主的半導(dǎo)體材料的能帶圖如圖3.8（b）所示。注意，在圖3.8(a)中，空穴已經(jīng)運(yùn)動(dòng)離開硼原子一段距離了。將一個(gè)電子從價(jià)帶激發(fā)到受主態(tài)并不需要很高的能量。當(dāng)電子激發(fā)到受主態(tài)時(shí)，在價(jià)帶產(chǎn)生一個(gè)空穴(空穴可以四處移動(dòng))，受主原子成為負(fù)離子。同樣，受主原子被固定在晶體中不能移動(dòng)，也不能攜帶電流；只行有空穴能夠移動(dòng)。,圖3.8半導(dǎo)體中的受主：（a）價(jià)鍵圖。（b）能帶圖。一個(gè)電子從價(jià)帶激發(fā)到受主態(tài)，留下一個(gè)準(zhǔn)自由空穴,對(duì)于受主，求受主態(tài)的能量EA，要看價(jià)帶，而不是看導(dǎo)帶。如前面所指出的，大部分在電子學(xué)中有用的半導(dǎo)體有3個(gè)價(jià)帶，最大值都在K=0處。其中，兩個(gè)帶的最大值在E=EV，第三個(gè)帶的最大值比EV低。采用和計(jì)算施主態(tài)類似的步驟并作相同的假設(shè)，得到空穴的束縛態(tài)為如果-族材料(如GaAs)是主體材料，那么可以通過(guò)將砷原子(5個(gè)價(jià)電子)用元素周期表中的族元素(如碲)來(lái)代替，使其成為n型(將稼原子(3個(gè)價(jià)電子)用族原子(如硅)來(lái)代替，也可以使GaAs成為n型。無(wú)論是哪一種方法，都比形成完整的共價(jià)鍵多出一個(gè)電子)。類似地，用族原子(鋅)替代族原于(鎵)，或者用族原子硅替代族原子砷，都可以使GaAs成為P型。兩種方法都使系統(tǒng)比形成完整的共價(jià)鍵少一個(gè)電子、摻入的原子就成為受主。因此在GaAs中，族元素(如鍺和硅)既可以是施主，也可以是受主，取決于所替代的是哪一種原子。我們把這種原子叫做雙性雜質(zhì)。在GaAs中，硅趨向于占據(jù)鎵原子的位置因此一般是施主。,3.6空穴的概念,3.6.1空穴的電荷價(jià)帶中未被電子占據(jù)的能態(tài)可以看作是空穴，這些空穴可以在價(jià)帶中移動(dòng)。在這一節(jié)，我們將進(jìn)一步發(fā)展這一概念，還將更嚴(yán)格地說(shuō)明空穴具有正電荷并可以攜帶電流，我們通過(guò)考察電流來(lái)進(jìn)行分析?？疾焓┘恿穗妶?chǎng)的n型半導(dǎo)體。在導(dǎo)帶，單位體積內(nèi)有n個(gè)電子，價(jià)帶單位體積內(nèi)有p個(gè)空穴。這樣，導(dǎo)帶中的電荷密度為-qn，即電子電荷乘以電子密度。電子的電流密度(單位面積安培數(shù))為,圖3.9圖上的價(jià)帶能態(tài)。（a）所有的能態(tài)都被沾滿。（b）有一個(gè)能態(tài)是空的（空穴），這表明有一個(gè)電子沒有能量相同但波矢和速度相反的電子與之對(duì)應(yīng),從圖中可以看出，E-K曲線是對(duì)稱的，因此，每個(gè)速度為vi的電子都對(duì)應(yīng)一個(gè)速度為-vi的電子。因此，當(dāng)價(jià)帶中的能態(tài)被填滿時(shí)，價(jià)帶電子的總電流密度J=0。當(dāng)然，電子是在真實(shí)空間運(yùn)功的，但是對(duì)于任何一個(gè)給定的能量E，圖中都有兩個(gè)具有相反速度的能態(tài)。,3.6.2空穴的有效質(zhì)量在價(jià)帶頂附近的電子具有負(fù)的有效質(zhì)量，因?yàn)樵谶@個(gè)區(qū)域，能帶的曲率是負(fù)值?，F(xiàn)在要說(shuō)明，如果把價(jià)帶頂?shù)目諔B(tài)當(dāng)作帶正電的空穴，必須認(rèn)為它們具有正的有效質(zhì)量，大小等于那個(gè)未成對(duì)電子的有效質(zhì)量，但符號(hào)相反?？疾祀娏飨蛴伊鲃?dòng)(電子向左流動(dòng))的p型半導(dǎo)體，如圖3.10(a)所示。另外還施加了一個(gè)指向紙面的磁場(chǎng)B。施加到末成對(duì)電子的洛侖茲力由下式確定如果不考慮電子，而是考慮如圖3.10（b）所示的一個(gè)空穴，那么洛侖茲力為,圖3.10作用在P型半導(dǎo)體中的一個(gè)電子上的洛倫茲力。（a）未成對(duì)電子（負(fù)電荷，負(fù)有效值量）被向下加速。（b）具有正電荷和正有效質(zhì)量的空穴被向上加速。,因?yàn)殡娏魇窍蛴业?，所以帶正電的空穴的速度也是向右的?？昭ㄊ艿降膬袈鍋銎澚臀闯蓪?duì)電子的大小、方向都相同。因此，可以得到如下結(jié)論：在一個(gè)接近填滿的能帶（價(jià)帶）中，可以把空的能態(tài)當(dāng)作粒子來(lái)處理，這種粒子叫做空穴?？昭ň哂姓姾珊驼行з|(zhì)量，并對(duì)外力有響應(yīng)?？昭ǖ挠行з|(zhì)量大小等于價(jià)帶頂電子的有效質(zhì)量，而符號(hào)相反（為正）。,3.7能帶中電子的態(tài)密度函數(shù),我們已經(jīng)知道，半導(dǎo)體中的能態(tài)形成能帶，電子可以占據(jù)這些能態(tài)。同時(shí)，大多數(shù)我們感興趣的電子在導(dǎo)帶底附近，而大多數(shù)空穴在價(jià)帶定附近。要描述半導(dǎo)體中的電流，還需要更多的信息。需要更準(zhǔn)確地知道自由電子和空穴的密度，以及按能量的分布。雖然并不是顯而易見的，但是對(duì)大多數(shù)電子器件來(lái)說(shuō)，器件電流是由具有足夠能量來(lái)越過(guò)器件內(nèi)不同勢(shì)壘的電子或空穴的數(shù)目決定的。要確定這些器件的電流-電壓關(guān)系，必須知道電子（和空穴）按能量的分布。要確定電子（空穴）按能量的分布，需要知道兩件事情。首先知道允許的能態(tài)按能量如何分布，第二是給定能量的能態(tài)被電子（空穴）占據(jù)的幾率。例如，我們的直覺是，能量越高的能態(tài)，被占據(jù)的可能性越小。,3.7.1態(tài)密度和態(tài)密度有效質(zhì)量對(duì)一個(gè)自由電子(Ep=E0為常數(shù))，允許的能態(tài)按能量的分布為考慮E-K關(guān)系中拋物線的區(qū)域，其中，有效質(zhì)量是常數(shù)。對(duì)導(dǎo)帶底附近的一個(gè)電子，有,導(dǎo)帶,價(jià)帶,圖3.11導(dǎo)帶和價(jià)帶中的電子和空穴的態(tài)密度函數(shù)。態(tài)密度與能量關(guān)系的曲線疊加在能帶圖（能量對(duì)位置x的關(guān)系上）,圖3.11所示是導(dǎo)帶和價(jià)帶中，電子和空穴的態(tài)密度示意圖，其中是疊加在能帶圖(能量對(duì)位置的關(guān)系)上的。注意到禁帶中沒有電子或空穴的態(tài)(純的本征材料)，因此禁帶中的為零。,3.8費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì),3.9.1能帶中電子和空穴的費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)在一個(gè)允許的能帶中，電子占據(jù)能量為E的給定能態(tài)的幾率為圖3.12（a）給出了幾種不同溫度下，作為能量的函數(shù)的費(fèi)米一狄拉克分布。圖中還標(biāo)出了可能的Ec和Ev的值。在間3.12（b）中,我們把通常的圖旋轉(zhuǎn)900，用自變量作y軸、因變量作x軸。這樣,分布圖就可以和其他以能量為縱軸的圖(如能帶圖)統(tǒng)一起來(lái)。在圖3.12（b）中，橫軸向左代表幾率增大。,費(fèi)米-狄拉克幾率函數(shù),圖3.12費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)給出能量為E的能態(tài)（如果該能態(tài)存在的話）被占據(jù)的幾率,費(fèi)米能級(jí)是一個(gè)特殊的能級(jí)，在費(fèi)米能級(jí)處f(E)=1/2，也就是處于該能量的能態(tài)(如果該能態(tài)存在的話)被占據(jù)的幾率是50。在費(fèi)米能級(jí)以下的能級(jí)被占據(jù)的幾率大于空著的幾率。在費(fèi)米能級(jí)以上的能級(jí)，被占據(jù)的幾率小于1/2，意味著這些能態(tài)更趨向于是空著的。圖3.12中畫出了幾個(gè)不同溫度下的費(fèi)米狄拉克分布函數(shù)。在絕對(duì)零度，每個(gè)電子占據(jù)盡可能低的能態(tài)。對(duì)半導(dǎo)體而言，這意味著價(jià)帶的每一個(gè)能態(tài)都被占據(jù)，因此，價(jià)帶中的任何能態(tài)被占據(jù)的幾率為1，而導(dǎo)帶中的任何能態(tài)被占據(jù)的幾率為0。對(duì)本征半導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，費(fèi)米能級(jí)位于十分接近禁帶中央的位置。