1,導數(shù)的概念,函數(shù)的求導法則與高階導數(shù),復合函數(shù)的求導法則隱函數(shù)求導函數(shù)的微分,第三章 導數(shù)與微分,高等數(shù)學,書名：高等數(shù)學書號：978-7-111-57474-3作者：鄧云輝機械工業(yè)出版社,2,書名：高等數(shù)學書號：978-7-111-57474-3作者：鄧云輝機械工業(yè)出版社,3.1.導數(shù)的概念,一、問題的提出,1.自由落體運動的瞬時速度問題,如圖,取極限得,如圖,如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.,極限位置即,二、導數(shù)的定義,定義,其它形式,即,關于導數(shù)的說明：,注意:,2.右導數(shù):,單側導數(shù),1.左導數(shù):,三、由定義求導數(shù),步驟:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,例5,解,例6,解,四、導數(shù)的幾何意義,1.幾何意義,切線方程為,法線方程為,例7,解,由導數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為,所求切線方程為,法線方程為,五、可導與連續(xù)的關系,定理 凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).,證,注意: 該定理的逆定理不成立.,例8,解,六、小結,1. 導數(shù)的實質: 增量比的極限;,3. 導數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,4. 函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;,5. 求導數(shù)最基本的方法: 由定義求導數(shù).,6. 判斷可導性,不連續(xù),一定不可導.,連續(xù),直接用定義;,看左右導數(shù)是否存在且相等.,思考題,思考題解答,3.2函數(shù)的求導法則與高階導數(shù),1.和、差、積、商的求導法則,定理,設f(x),g(x)在x點可導,則,推論,解,同理可得,例 求下列函數(shù)的導數(shù),解,同理可得,2、高階導數(shù),定義,如果函數(shù),的導函數(shù),在點x,處可導,則稱導函數(shù),在點x處的,導數(shù)為函數(shù),的二階導數(shù).,二階導數(shù)的導數(shù)稱為,的三階導數(shù).,三階導數(shù)的導數(shù)稱為,的四階導數(shù).,階導數(shù)的導數(shù)稱為,的n階導數(shù).,(1)二階以及二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù).,(2)記號,(3) x0,處的n階導數(shù)記號,(4)求法,2至5階,反復求導.,n階導數(shù),先求幾階再總結規(guī)律.,例1,求,(n為正整數(shù))的n階導數(shù).,解,3.反函數(shù)的求導法則,即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).,例1,解,同理可得,3.3復合函數(shù)的求導法則,定理 1,（鏈式法則）,復合函數(shù)的求導法則,即 因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則),證:,在點 u 可導,故,（當 時 ),例如,關鍵: 搞清復合函數(shù)結構, 由外向內逐層求導.,推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.,例2,解,解,例4,例3. 設,求,解:,例5,解,2、基本導數(shù)公式,例6,解,例7,解,為求導方便起見，對于函數(shù)積或