泊松分布及其在實(shí)際中的應(yīng)用,泊松分布是法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松于1838年引入的，是概率論中的幾大重要分布之一。作為一種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布，其在實(shí)際中有著非常廣泛的應(yīng)用。,張曉東、鄭茂元、劉文濤、,1.泊松分布的定義及基本知識(shí),1.1定義：（1）若隨機(jī)變量X的分布列為則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布，并用記號(hào)XP()表示。（2）泊松流：隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流：隨機(jī)現(xiàn)象中源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的序列。若質(zhì)點(diǎn)流具有平穩(wěn)性、無(wú)后效性、普通性,則稱(chēng)該質(zhì)點(diǎn)流為泊松事件流(泊松流)。例如某電話(huà)交換臺(tái)收到的電話(huà)呼叫數(shù);到某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù);一個(gè)售貨員接待的顧客數(shù)等這些事件都可以看作泊松流。,1.泊松分布的定義及基本知識(shí),1.2有關(guān)泊松分布的一些性質(zhì)（1）滿(mǎn)足分布列的兩個(gè)性質(zhì)：P(X=k)0(k=0,1,2,），且有.（2）若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，則X的期望和方差分別為：E(X)=;D(X)=.,1.泊松分布的定義及基本知識(shí),（3）以n,p為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)n,p0時(shí)，使得np=保持為正常數(shù)，則對(duì)于k=0,1,2，一致成立。由如上定理的條件知，當(dāng)n很大時(shí)，p很小時(shí)，有下面的近似公式,2泊松分布的應(yīng)用,對(duì)于試驗(yàn)成功概率很小而試驗(yàn)次數(shù)很多的隨機(jī)過(guò)程,都可以很自然的應(yīng)用于泊松分布的理論。在泊松分布中的概率表達(dá)式只含一個(gè)參數(shù)，減少了對(duì)參數(shù)的確定與修改工作量,模型構(gòu)建比較簡(jiǎn)單,具有很重要的實(shí)際意義。,2泊松分布的應(yīng)用,（1）泊松分布在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用：泊松分布是經(jīng)濟(jì)生活中的一種非常重要的分布形式，尤其是經(jīng)常被運(yùn)用在運(yùn)籌學(xué)研究中的一個(gè)分布模型。如物料訂單的規(guī)劃，道路交通信號(hào)燈的設(shè)計(jì)，生產(chǎn)計(jì)劃的安排，海港發(fā)貨船期的調(diào)度等等都需要用到泊松分布。例1：下面討論一個(gè)泊松分布在商場(chǎng)現(xiàn)代化管理中的應(yīng)用。某商場(chǎng)一天內(nèi)來(lái)的顧客數(shù)、一天內(nèi)顧客購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)等均服從或近似服從泊松分布實(shí)例：若商場(chǎng)一天內(nèi)來(lái)k個(gè)顧客的概率服從參數(shù)為的泊松分布，而且每個(gè)到達(dá)商場(chǎng)的顧客購(gòu)買(mǎi)商品是獨(dú)立的，其概率為p。,討論一天內(nèi)有顧客買(mǎi)東西的概率：設(shè)=“商場(chǎng)一天內(nèi)來(lái)k個(gè)顧客”（0,1，r，），B=“商場(chǎng)一天內(nèi)有r個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)商品”，則（k=0,1,，r，）；P(k=r,）則,討論一天內(nèi)買(mǎi)東西的顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望：設(shè)商場(chǎng)內(nèi)一天購(gòu)買(mǎi)東西的顧客為X，則，（r=0,1,），即X，所以，所以商場(chǎng)一天內(nèi)購(gòu)買(mǎi)商品的平均顧客數(shù)為：例2：接下來(lái)討論泊松分布在事故發(fā)生預(yù)測(cè)的應(yīng)用。通過(guò)某路口的每輛汽車(chē)發(fā)生事故的概率為=0.0001,假設(shè)在某路段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車(chē)通過(guò)此路口，則求在此時(shí)間段內(nèi)發(fā)生事故次數(shù)的概率分布。,通過(guò)路口的1000輛汽車(chē)發(fā)生事故與否，可以看成=1000次伯努利試驗(yàn)，所以服從二項(xiàng)分布，由于=1000很大，且=0.0001很小，且=0.1，所以X服從泊松分布，。此段時(shí)間內(nèi)發(fā)生2次以上事故的概率為：,2泊松分布的應(yīng)用,（2）泊松分布在生物學(xué)中的應(yīng)用：在生物學(xué)研究中,服從泊松分布的隨機(jī)變量是常見(jiàn)的，如每升飲水中大腸桿菌數(shù),計(jì)數(shù)器小方格中血球數(shù),單位空間中某些野生動(dòng)物或昆蟲(chóng)數(shù)等都是服從泊松分布的。泊松分布在生物學(xué)領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用前景，對(duì)生物學(xué)中所涉及到的概率研究起到了重要的指導(dǎo)作用。,例：泊松分布在估計(jì)一個(gè)基因文庫(kù)所需克隆數(shù)中的應(yīng)用判斷基因克隆過(guò)程的分布情況：由于基因組DNA是從大量細(xì)胞中提取的,每個(gè)細(xì)胞中均含有全部基因組DNA,那么每一種限制性片段的數(shù)目是大量的,因此可以說(shuō)各限制性片段的數(shù)目是相等的。在基因克隆中,基因組DNA用限制性酶切割后與載體混合反應(yīng)以及隨后的過(guò)程均是隨機(jī)的生化反應(yīng)過(guò)程。一,對(duì)克隆來(lái)說(shuō)一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆,只有這兩種結(jié)果;第二,由于總體限制性片段是大量的,被克隆的對(duì)總體影響很小;第三,在克隆中一片段被克隆的概率為f(f較小),不被克隆的概率為1-,f且克隆時(shí)這兩種概率都不變。綜上所述,基因克隆過(guò)程符合泊松分布。,設(shè)p為基因被克隆的概率;N為要求的克隆的概率為p時(shí)一個(gè)基因文庫(kù)所需含有重組DNA的克隆數(shù);f為限制性片段的平均長(zhǎng)度與基因組DNA總長(zhǎng)度之比,若基因組DNA被限制性酶切割成n個(gè)DNA片段,f即。則在克隆數(shù)為N時(shí)，任一段被克隆一次或一次以上的概率為，可推出,一般要求目的基因序列出現(xiàn)的概率p的期望值定為99%，那么。在分子生物學(xué)中，上述一個(gè)完整的基因文庫(kù)所需克隆數(shù)的估計(jì)對(duì)基因克隆實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)具有重要意義。,2泊松分布的應(yīng)用,（3)泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用：泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，如熱電子的放射，某些激光場(chǎng)的分布等等都服從泊松分布。例：對(duì)某一放射性物質(zhì)而言,各相鄰原子群體之間,其中一個(gè)原子核的衰變,對(duì)相鄰的原子核而言,可視為外界的變化,而這種外界的變化,不會(huì)影響相鄰原子核的衰變過(guò)程。即在某一放射性物質(zhì)中,各個(gè)原子核的衰變過(guò)程,互不影響,相互獨(dú)立。因此衰變過(guò)程滿(mǎn)足獨(dú)立性。,放射性原子核的衰變過(guò)程是一個(gè)相互彼此無(wú)關(guān)的過(guò)程，所以放射性原子核衰變的統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)可以看成是一種伯努利試驗(yàn)問(wèn)題。若在一個(gè)原子核體系中，單位時(shí)間原子核發(fā)生衰變的概率為，則沒(méi)有發(fā)生衰變的概率為。由二項(xiàng)分布得到，在t時(shí)間內(nèi)的核衰變數(shù)為n的概率為。（1）由于在放射性衰變中，原子核數(shù)目很大，而p相對(duì)很小，并且滿(mǎn)足，所以上式可以近似化為泊松分布，因?yàn)榇藭r(shí)，對(duì)于附近的值可得到：,帶入（1)式中得到：令，得到:,即為泊松分布。并且有。綜上，泊松分布作為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一，具有很多特殊的