第 1頁(yè)（共 27頁(yè)） 第 1 章 菱形的性質(zhì)與判定 一、選擇題 1菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ） A對(duì)邊相等 B對(duì)角相等 C對(duì)角線互相平分 D對(duì)角線互相垂直 2如圖，菱形 4角線 交于 D 的中點(diǎn)，連接 線段 ） A 3 4 2如圖，四邊形 面積為 120角線 4四邊形 ） A 52 40 39 26如圖，在 角線 ，若增加一個(gè)條件，使 列給出的條件不正確的是（ ） A D B D D 如圖，菱形 B=60 ， E、 C、 接 ） 第 2頁(yè)（共 27頁(yè)） A 2 3 4 3如圖，在菱形 角線 ，若 ， 0 ，則 ） A 2 B 3 C D 2 7如圖，在菱形 ， ，則 ） A 18 B 16 C 15 D 14 8某校的校園內(nèi)有一個(gè)由兩個(gè)相同的正六邊形（邊長(zhǎng)為 成的花壇，如圖中的陰影部分所示，校方先要將這個(gè)花壇在原有的基礎(chǔ)上擴(kuò)建成一個(gè)菱形區(qū)域如圖所示，并在新擴(kuò)充的部分種上草坪，則擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長(zhǎng)為（ ） A 20m B 25m C 30m D 35m 9如圖，將 接 列條件能夠判定四邊形 ） A C B C C B=60 D 0 10如圖，四邊形 ， ， H，則 ） 第 3頁(yè)（共 27頁(yè)） A B C 5 D 4 二、填空題 11如圖，在菱形 角線 ， 0，則菱形 12如圖，在菱形 ，線段 垂直平分線交 ， 0，則 13如圖，平行四邊形 對(duì)角線 ，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 使其成為菱形（只填一個(gè)即可） 14如圖，將兩張長(zhǎng)為 9，寬為 3的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個(gè)菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的面積有最小值 9，那么菱形面積的最大值是 15如圖，在菱形 角線 ， ， ， 足為點(diǎn) E，則 第 4頁(yè)（共 27頁(yè)） 16菱形 C， ， E， D， 上的中點(diǎn)，連接 ，則菱形 17在菱形 A=30 ，在同一平面內(nèi)，以對(duì)角線 20 的等腰三角形 18如圖，菱形 ， B=60 ， E， C， 的點(diǎn)， 60 ，連接 三、解答題 19已知：如圖，在菱形 E、 D、 中點(diǎn)，連接 證： 20如圖，四邊形 ， ，求證：E 第 5頁(yè)（共 27頁(yè)） 21如圖， 接 證： （ 1） （ 2）四邊形 22如圖，在 0 ， D， C， 中點(diǎn)， （ 1）求證：四邊形 （ 2）當(dāng) A=30 時(shí)，求證：四邊形 23如圖， 交 ， 交 ， D 相交于點(diǎn) O，連接 1）求 （ 2）求證：四邊形 24如圖，在 ，點(diǎn) E、 C、 （ 1）求證： （ 2）當(dāng)四邊形 出該菱形的面積 第 6頁(yè)（共 27頁(yè)） 第 7頁(yè)（共 27頁(yè)） 第 1 章 菱形的性質(zhì)與判定 參考答案與試題解析 一、選擇題 1菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ） A對(duì)邊相等 B對(duì)角相等 C對(duì)角線互相平分 D對(duì)角線互相垂直 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì) 【分析】 由菱形的性質(zhì)可得：菱形的對(duì)角線互相平分且垂直；而平行四邊形的對(duì)角線互相平分；則可求得答案 【解答】解： 菱形具有的性質(zhì)：對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直； 平行四邊形具有的性質(zhì)：對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分； 菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是：對(duì)角線互相垂直 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)注意菱形的對(duì)角線互相平分且垂直 2如圖，菱形 4角線 交于 D 的中點(diǎn)，連接 線段 ） A 3 4 2考點(diǎn)】菱形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等求出 根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得 D，然后判斷出 根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得 【解答】解： 菱形 4 4 4=6 對(duì)角線 交于 第 8頁(yè)（共 27頁(yè)） D， 點(diǎn)， 6=3 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的對(duì)角線互相平分，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 3如圖，四邊形 面積為 120角線 4四邊形 ） A 52 40 39 26考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì) 【分析】可定四邊形 接 ，則可求得 用勾股定理可求得 長(zhǎng)，從而可求得四邊形 【解答】解： 如圖，連接 ， 四邊形 四邊形 S 四邊形 D， 2420，解得 0 第 9頁(yè)（共 27頁(yè)） 2 在 勾股定理可得 =13（ 四邊形 4 13=52（ 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的面積分式是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應(yīng)用 4如圖，在 角線 ，若增加一個(gè)條件，使 列給出的條件不正確的是（ ） A D B D D 考點(diǎn)】菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)菱形的定義和判定定理即可作出判斷 【解答】解： A、根據(jù)菱形的定義可得，當(dāng) B、根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判斷， C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是菱形，命題錯(cuò)誤； D、 C， 命題正確 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定定理，正確記憶定義和判定定理是關(guān)鍵 5如圖，菱形 B=60 ， E、 C、 接 ） 第 10頁(yè)（共 27頁(yè)） A 2 3 4 3考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形的角平分線、中線和高；勾股定理 【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)證明 后連接 推出 據(jù)等腰三角形三線合一的定理又可推出 據(jù)勾股定理可求出 長(zhǎng)繼而求出周長(zhǎng) 【解答】解： 四邊形 菱形， D=D， B= D， E、 C、 中點(diǎn)， F， 在 F， 連接 B= D=60 ， 腰三角形底邊上的中線與底邊上的高線重合）， 0 ， 0 ， 周長(zhǎng)是 3 故選 B 第 11頁(yè)（共 27頁(yè)） 【 點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)：菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和三角形中位線定理 6如圖，在菱形 角線 ，若 ， 0 ，則 ） A 2 B 3 C D 2 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì) 【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)知 D，再證出 三角函數(shù)求出 可求出 長(zhǎng) 【解答】解： 四邊形 形， 0 ， 0 ， BO= = ， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形和菱形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟記菱形的 對(duì)角線垂直平分，本題難度一般 7如圖，在菱形 ， ，則 ） 第 12頁(yè)（共 27頁(yè)） A 18 B 16 C 15 D 14 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；勾股定理 【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，可以求得 D， C，在 據(jù)勾股定理可以求得 長(zhǎng)，進(jìn)而 【解答】解：菱形對(duì)角線互相垂直平分， D=3， C=4， ， +5+6=16， 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形面積的計(jì)算，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了菱形各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，本題中根據(jù)勾股定理計(jì)算 長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵 8某校的校園內(nèi)有一個(gè)由兩個(gè)相同的正六邊形（邊長(zhǎng)為 成的花壇，如圖中的陰影部分所示，校方先要將這個(gè)花壇在原有的基礎(chǔ)上擴(kuò)建成一個(gè)菱形區(qū)域如圖所示，并在新擴(kuò)充的部分種上草坪，則擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長(zhǎng)為（ ） A 20m B 25m C 30m D 35m 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì) 【專題】 應(yīng)用題 【分析】根據(jù)題意和正六邊形的性質(zhì)得出 根據(jù)正六邊形的邊長(zhǎng)得出M=理可證出 F=根據(jù) G+F，求出 而得出擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長(zhǎng) 【解答】解：如圖， 花壇是由兩個(gè)相同的正六邊形圍成， 20 ， F= 0 ， 第 13頁(yè)（共 27頁(yè)） M=m）， 同理可證： F=m） G+F=3=m）， 擴(kuò)建后菱 形區(qū)域的周長(zhǎng)為 4=30（ m）， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和正六邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，找出等邊三角形 9如圖，將 接 列條件能夠判定四邊形 ） A C B C C B=60 D 0 【考點(diǎn)】菱形的判定； 平移的性質(zhì) 【分析】首先根據(jù)平移的性質(zhì)得出 D，得出四邊形 而利用菱形的判定得出答案 【解答】解： 將 D， 四邊形 當(dāng) 平行四邊形 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定和菱形的判定，得出 第 14頁(yè)（共 27頁(yè)） 10如圖，四邊形 ， ， H，則 ） A B C 5 D 4 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)求出 ， ， 0 ，根據(jù)勾股定理求出 根據(jù)菱形的面積公式求出即可 【解答】解： 四邊形 C， D， ， ， ， ， 0 ， 由勾股定理得： =5， S 菱形 ， ， ， 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)菱形的性質(zhì)得出 S 菱形是解此題的關(guān)鍵 二、填空題 11如圖，在菱形 角線 ， 0，則菱形 30 第 15頁(yè)（共 27頁(yè)） 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì) 【分析】由在菱形 角線 ， 0，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線積的一半，即可求得答案 【解答】解： 在菱形 ，對(duì)角線 ， 0， 菱形 D=30 故答案為： 30 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)注意菱形的面積等于對(duì)角線積的一半 12如圖，在菱形 ，線段 垂直平分線交 ， 0，則 6 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì) 【分析】由菱形性質(zhì) D=4，根據(jù)中垂線性質(zhì)可得 N，繼而由 0可得N+D+N=C 【解答】解：如圖， 四邊形 ， D=4， D， N， 第 16頁(yè)（共 27頁(yè)） 0， N+D+N=C=10， ， 故答案為： 6 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形的性質(zhì)和中垂線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的四邊相等及中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是關(guān)鍵 13如圖，平行四邊形 對(duì)角線 ，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 0 或 C 使其成為菱 形（只填一個(gè)即可） 【考點(diǎn)】菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì) 【專題】計(jì)算題；矩形 菱形 正方形 【分析】利用菱形的判定方法確定出適當(dāng)?shù)臈l件即可 【解答】解：如圖，平行四邊形 C， ，添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件為： 0 或 故答案為： 0 或 C 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的判定，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解本題的關(guān)鍵 14如圖， 將兩張長(zhǎng)為 9，寬為 3的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個(gè)菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的面積有最小值 9，那么菱形面積的最大值是 15 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì) 【分析】當(dāng)兩張紙條如圖所示放置時(shí)，菱形面積最大，然后根據(jù)勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算即可 第 17頁(yè)（共 27頁(yè)） 【解答】解：如圖， 此時(shí)菱形 設(shè) AB=x， x， ， 則由勾股定理得到： 32+（ 9 x） 2= 解得 x=5， S 最大 =5 3=15； 故答案為： 15 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，難度較大，解答關(guān)鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的面積最大和最小，然后根據(jù)圖形列方程 15如圖，在菱形 角線 ， ， ， 足為點(diǎn) E，則 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì) 【專題】計(jì)算題 【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得 D= ， C= ，再在 C=5，然后利用面積法計(jì)算 【解答】解： 四邊形 菱形， D= ， C= ， 在 ， ， =5， 第 18頁(yè)（共 27頁(yè)） C= C， = 故答案為 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組 對(duì)角也考查了勾股定理和三角形面積公式 16菱形 C， ， E， D， 上的中點(diǎn)，連接 ，則菱形 2 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形中位線定理 【分析】根據(jù) 據(jù)三角形中位線定理求的 長(zhǎng)，然后根據(jù)菱形的面積公式求解 【解答】解： E、 D， ， 則 S 菱形 D= 2 2=2 故答案是： 2 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中 位線定理和菱形的面積公式，理解中位線定理求的 17在菱形 A=30 ，在同一平面內(nèi)，以對(duì)角線 20 的等腰三角形 45 或 105 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì) 【分析】如圖當(dāng)點(diǎn) D 右側(cè)時(shí)，求出 可解決問(wèn)題，當(dāng)點(diǎn) 出 即可解決問(wèn)題 【解答】解：如圖， 四邊形 D=D， A= C=30 ， 第 19頁(yè)（共 27頁(yè)） 50 ， 5 ， B， 20 ， 0 ， 05 ， 當(dāng)點(diǎn) E 在 30 ， E 45 ， 05 或 45 ， 故答案為 105 或 45 【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形，考慮問(wèn)題要全面，屬于中考?？碱}型 18如圖，菱形 ， B=60 ， E， C， 的點(diǎn)， 60 ，連接 3 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì) 【分析】首先由 可得 C，以求得 B=60 ，然后利用平行線與三角形外角的性質(zhì)，可求得 得 可得 F，證得 面積最小值即可 【解答】解：當(dāng) C， 0 ， B= 0 ， 第 20頁(yè)（共 27頁(yè)） 0 + D+ 0 + 在 ， F， 0 ， 當(dāng) ， ， ， ， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)解答 三、解答題 19已知：如圖，在菱形 E、 D、 中點(diǎn)，連接 證： 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定 【專題】證明題 【分析】由 菱形的性質(zhì)得出 D，由中點(diǎn)的定義證出 F，由 【解答】證明： 四邊形 D， 點(diǎn) E、 D、 中點(diǎn)， 第 21頁(yè)（共 27頁(yè)） F， 在 ， 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定、菱形的性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 20如圖，四邊形 ， ，求證：E 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) 【專題】證明題 【分析】連接 據(jù)菱形的性質(zhì)可得 分 C，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 C，然后利用 明 可得出 E 【解答】證明：連接 四邊形 C， C， 0 在 t ， E 第 22頁(yè)（共 27頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等同時(shí)考查了全等三角形的判定與性質(zhì) 21如圖， 接 證： （ 1） （ 2）四邊形 【考點(diǎn)】菱形的判定；全等三角形的性質(zhì) 【專題】證明題 【分析】（ 1）欲證明 要證明 （ 2）先證明四邊形 根據(jù) D 即可判定 【解答】證明；（ 1） （ 2） D， B， D 第 23頁(yè)（共 27頁(yè)） 四邊形 D， 四邊形 【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，記住平行四邊形、菱形的判定方法，屬于中考常考題型 22如圖，在 0 ， D， C， 中點(diǎn)， （ 1）求證：四邊形 （ 2）當(dāng) A=30 時(shí)，求證：四邊形 【考點(diǎn)】菱形的判定；含 30 度角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質(zhì) 【分析】（ 1）利用平行四邊形的判定證明即可； （ 2）利用菱形的判定證明即可 【解答】證明：（ 1） D， C， 中點(diǎn)， 又 四邊形 （ 2） 0 ， A=30 ， E 又由（ 1）知，四邊形 平行四邊形， 四邊形 第 24頁(yè)（共 27頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平