第 1頁(yè)（共 26頁(yè)） 第 4 章 圖形的相似 一、選擇題 1如圖， A， B， C， D， E， G， H， M， 小正方形的頂點(diǎn)），要使 點(diǎn) ， H， M， ） A B C D 2 ： 4，則 周長(zhǎng)比為（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 16 3如圖，在 = ，則 =（ ） A B C D 4在研究相似問(wèn)題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下： 甲：將邊長(zhǎng)為 3、 4、 5的三角形按圖 1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為 1，則新三角形與原三角形相似 乙：將鄰邊為 3和 5的矩形按圖 2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為 1，則新矩形與原矩形不相似 對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ） A兩人都對(duì) B兩人都不對(duì) C甲對(duì)，乙不對(duì) D甲不對(duì)，乙對(duì) 第 2頁(yè)（共 26頁(yè)） 5如圖， B 上的一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中： B； =B；P滿足 ） A B C D 6如圖，在 D 的中點(diǎn)， D 于點(diǎn) F，則 ） A 3： 2 B 3： 1 C 1： 1 D 1： 2 7四邊形 BCD 位似， 1 ： 3，則 S 四邊形 S 四邊形 ABCD=（ ） A 1： 9 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 8小剛身高 得他站立在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為 接著他把手臂豎直舉起，么小剛舉起手臂超出頭頂（ ） A 0.5 m B m C 0.6 m D 2.2 m 9如圖，在 = ，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A = B = C = D = 10如圖，已知 D 垂直，垂足 分別是 B、 D、 F，且 ， ，那么 ） 第 3頁(yè)（共 26頁(yè)） A B C D 二、填空題 11若 ，則 = 12如果 = = =k（ b+d+f 0），且 a+c+e=3（ b+d+f），那么 k= 13已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 6， 8和 10，與其相似的一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為 18，則較小三角形與較大三角形的相似比 k= 14在 284一個(gè)與它相似的 ABC 的周長(zhǎng)為 18 ABC 各邊長(zhǎng)分別為 15如圖，一束光線從點(diǎn) A（ 3， 3）出發(fā)，經(jīng)過(guò) 反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（ 1， 0），則光線從點(diǎn) 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 16如圖， ， ， ， ，則 第 4頁(yè)（共 26頁(yè)） 17如圖，在 = ， ，則 18如圖，在正方形 ： 1， ，則 三、解答題 19已知線段 a， b， c， a=6b=3d= 線段 20若 = ，求 的值 21已知 a、 b、 滿足 ，且 a+b+c=12，請(qǐng)你探索 22如圖， B 上的高，且 = （ 1）求證： （ 2）求 23如圖，在正方形 E、 D、 的點(diǎn)， D， 接 （ 1）求證： （ 2）若正方形的邊長(zhǎng)為 4，求 長(zhǎng) 第 5頁(yè)（共 26頁(yè)） 24某小區(qū)居民籌集資金 1600元，計(jì)劃在兩底分別為 10m、 20圖： （ 1） 他們?cè)?帶上種植太陽(yáng)花，單價(jià)為 8元 / 中陰影部分），共花了 160元，計(jì)算種滿 （ 2）若其余地帶有玫瑰、茉莉兩種可供選擇，單價(jià)分別為 12元 /10元 /選哪種花木，剛好用完所籌資金？ 25如圖，已知在 （ 1）若 0這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng) （ 2）若 12這兩個(gè)三角形的面積 26某一天，小明和小亮來(lái)到一河邊，想用遮陽(yáng)帽和皮尺測(cè)量這條河的大致寬度，兩人在確保無(wú)安全隱患的情況下，先在河岸邊選擇了一點(diǎn) B（點(diǎn) 所確定的直線垂直于河岸） 小明在 整帽檐，使視線通過(guò)帽檐正好落在樹(shù)的底部點(diǎn) 圖所示，這時(shí)小亮測(cè)得小明眼睛距地面的距離 小明站在原地轉(zhuǎn)動(dòng) 180 后蹲下，并保持原來(lái)的觀察姿態(tài)（除身體重心下 移外，其他姿態(tài)均不變），這時(shí)視線通過(guò)帽檐落在了 長(zhǎng)線上的點(diǎn) 時(shí)小亮測(cè)得 明的眼睛距地面的距離 根據(jù)以上測(cè)量過(guò)程及測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出河寬 第 6頁(yè)（共 26頁(yè)） 第 7頁(yè)（共 26頁(yè)） 第 4 章 圖形的相似 參考答案與試題解析 一、選擇題 1如圖， A， B， C， D， E， G， H， M， 小正方形的頂點(diǎn)），要使 點(diǎn) ， H， M， ） A B C D 【考點(diǎn)】相似三角形的判定 【專題】壓軸題；網(wǎng)格型；數(shù)形結(jié)合 【分析】根據(jù)兩三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似進(jìn)行解答 【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1，則 、 、 ，只能 或 各邊是 6、 2 ， 2 與 選 C 【點(diǎn)評(píng)】此題考查三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似判定定理的應(yīng)用 2 ： 4，則 周長(zhǎng)比為（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 16 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì) 【分析】由相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可得出結(jié)果 【解答】解： ： 4， ： 4； 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)；熟記相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 第 8頁(yè)（共 26頁(yè)） 3如圖，在 = ，則 =（ ） A B C D 【考點(diǎn)】平行線分線段成比例 【分析】直接利用平行線分線段成比例定理寫出答案即可 【解答】解： = = ， 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，了解定理的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)定義或定理，難度不大 4在研究相似問(wèn)題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下： 甲：將邊長(zhǎng)為 3、 4、 5的三角形按圖 1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為 1，則新三角形與原三角形相似 乙：將鄰邊為 3和 5的矩形按圖 2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為 1，則新矩形與原矩形不相似 對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ） A兩人都對(duì) B兩人都不對(duì) C甲對(duì)，乙不對(duì) D甲不對(duì)，乙對(duì) 【考點(diǎn)】相似三角形的判定；相似多邊形的性質(zhì) 【專題】數(shù)形結(jié)合 【分析】甲：根據(jù)題意得： AB ， AC ， BC ，即可證得 A= A ， B= B ，可得 ABC ； 第 9頁(yè)（共 26頁(yè)） 乙：根據(jù)題意得： D=3， C=5，則 AB=CD=3 +2=5， AD=BC=5 +2=7，則可得，即新矩形與原矩形不相似 【解答】解：甲：根據(jù)題意得： AB ， AC ， BC ， A= A ， B= B ， ABC ， 甲說(shuō)法正確； 乙： 根據(jù)題意得： D=3， C=5，則 AB=CD=3 +2=5， AD=B C=5 +2=7， ， ， ， 新矩形與原矩形不相似 乙說(shuō)法正確 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形以及相似多邊形的判定此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 5如圖， B 上的一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中： B； PP滿足 ） A B C D 【考點(diǎn)】相似三角形的判定 第 10頁(yè)（共 26頁(yè)） 【分析】根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì) 進(jìn)行判斷；根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì) 進(jìn)行判斷 【解答】解：當(dāng) B， 所以 當(dāng) 所以 當(dāng) P 即 P： 所以 當(dāng) P=B，即 = ， 而 所以不能判斷 似 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 6如圖，在 D 的中點(diǎn)， D 于點(diǎn) F，則 ） A 3： 2 B 3： 1 C 1： 1 D 1： 2 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì) 【專題】幾何圖形問(wèn)題 【分析】根據(jù)題意得出 而得出 = ，利用點(diǎn) D 的中點(diǎn)得出答案即可 【解答】解： 第 11頁(yè)（共 26頁(yè)） = ， 點(diǎn) E= = 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出 7四邊形 BCD 位似， 1 ： 3，則 S 四邊形 S 四邊形 ABCD=（ ） A 1： 9 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 【考點(diǎn)】位似變換 【分析】四邊形 BCD 位似，四邊形 四邊形 ABCD ，可知 AD ， ，求出相似比從而求得 S 四邊形 S 四邊形 ABCD的值 【解答】解： 四邊形 四邊形 ABCD 位似， 四邊形 四邊形 ABCD ， AD ， ， OA= AD=1 ： 3， S 四邊形 S 四邊形 ABCD=1： 9 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似的相關(guān)知識(shí)，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方 第 12頁(yè)（共 26頁(yè)） 8小剛身高 得他站立在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為 接著他把手臂豎直舉起，么小剛舉起手臂超出頭頂（ ） A 0.5 m B m C 0.6 m D 2.2 m 【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用 【分析】根據(jù)在同一時(shí)物體的高度和影長(zhǎng)成正比，設(shè)出手臂豎 直舉起時(shí)總高度 x，即可列方程解出 減去身高即可得出小剛舉起的手臂超出頭頂?shù)母叨?【解答】解：設(shè)手臂豎直舉起時(shí)總高度 方程得： = ， 解得 x= 所以小剛舉起的手臂超出頭頂?shù)母叨葹?故選： A 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是明確在同一時(shí)刻物體的高度和影長(zhǎng)成正比 9如圖，在 = ，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A = B = C = D = 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】由 得 后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得 ，然后由 = ，即可判斷 A、 B 的正誤，然后根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等 于相似比，面積之比等于相似比的平方即可判斷 C、 【解答】解： 第 13頁(yè)（共 26頁(yè)） ， = ， = ， 故 A、 = = ， =（ ） 2= ， 故 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比等于相似比；相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比；相似三角形的面積之比等于相似比的平方 10如圖，已知 D 垂直，垂足分別是 B、 D、 F，且 ， ，那么 ） A B C D 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】易證 據(jù) 相似三角形的性質(zhì)可得 = ， = ，從而可得 + = + =1然后把 ， 代入即可求出 【解答】解： 與 = ， = ， + = + = =1 ， ， 第 14頁(yè)（共 26頁(yè)） + =1， 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，發(fā)現(xiàn) + =1是解決本題的關(guān)鍵 二、填空題 11若 ，則 = 【考點(diǎn)】比例的性質(zhì) 【專題】常規(guī)題型 【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求出 的值，然后兩邊加 1進(jìn)行計(jì)算即可得解 【解答】解： ， 2= ， =2+ = ， +1= +1， 即 = 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知條件求出 的值是解題的關(guān)鍵 12如果 = = =k（ b+d+f 0），且 a+c+e=3（ b+d+f），那么 k= 3 【考點(diǎn)】比例的性 質(zhì) 【分析】根據(jù)等比性質(zhì)，可得答案 【解答】解：由等比性質(zhì)，得 k= = =3， 故答案為： 3 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了等比性質(zhì)： = = =kk= = 第 15頁(yè)（共 26頁(yè)） 13已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 6， 8和 10，與其相似的一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為 18，則較小三角形與較大三角形的相似比 k= 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì) 【分析】由一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 6， 8和 10，與其相似的一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為 18，根據(jù)相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比，即可求得答案 【解答】解： 一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 6， 8和 10，與其相似的一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為 18， 較小三角形與較大三角形的相似 比 k= = 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似比的定義此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是熟記定義 14在 284一個(gè)與它相似的 ABC 的周長(zhǎng)為 18 ABC 各邊長(zhǎng)分別為 468 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì) 【分析】由 ABC 據(jù)相似 三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，即可求得答案 【解答】解： ABC ABC 的周長(zhǎng)： AB ： 在 284 54 ABC 的周長(zhǎng)為 18 AB ： C ： C ： ， AB=4 BC=6 AC=8 故答案為： 468 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性 質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 15如圖，一束光線從點(diǎn) A（ 3， 3）出發(fā)，經(jīng)過(guò) 反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（ 1， 0），則光線從點(diǎn) 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 5 第 16頁(yè)（共 26頁(yè)） 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用 【專題】計(jì)算題；壓軸題 【分析】延長(zhǎng) 根據(jù)光的反射原理，點(diǎn) B、 B 關(guān)于 B 路徑長(zhǎng)就是 的長(zhǎng)度結(jié)合 用勾股定理求解 【解答】解：如圖所示， 延長(zhǎng) 則點(diǎn) B、 B 關(guān)于 B 作 x 軸于 ， 3 +1=4 即光線從點(diǎn) 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 5 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)滲透光學(xué)中反射原理，構(gòu)造直角三角形是解決本題關(guān)鍵 16如圖， ， ， ， ，則 第 17頁(yè)（共 26頁(yè)） 【考點(diǎn)】三角形中位線定理 【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出 根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解 【解答】解： 中位線， 2=4， = ， 即 = ， 解得 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 17如圖，在 = ， ，則 18 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】根據(jù)相似三角形的判定，可得 據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案 【解答】解； 在 = ， 第 18頁(yè)（共 26頁(yè)） =（ ） 2= ， ， S 8， 故答案為： 18 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì) 18如圖，在正方形 ： 1， ，則 9： 11 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì) 【專題】壓軸題 【分析】根據(jù)題意，先設(shè) CE=x， S a，再求出 S 用四部分的面積和等于正方形的面積，得到 x與 么兩部分的面積比就可以求出來(lái) 【解答】解：設(shè) CE=x， S a， CE=x， ： 1， x， C=D=3x； 又 S S = = ，那么 S a S S 四邊形 正方形 S S a=9 3x2x ， 化簡(jiǎn)可求出 ； S S 四邊形 ： = ： =9： 11，故答案為 9： 11 第 19頁(yè)（共 26頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】此題運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)，還用到了相似三角形的面積比等于相似比的平方 三、解答題 19已知線段 a， b， c， a=6b=3d= 線段 【考點(diǎn)】比例線段 【分析】根據(jù)比例 線段的定義得出 = ，即 = ，解之可得 c 【解答】解：根據(jù)題意， = ，即 = ， 解得： c=3， 答：線段 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查比例線段，掌握比例線段的定義是關(guān)鍵 20若 = ，求 的值 【考點(diǎn)】比例的性質(zhì) 【分析】首先由已知條件可得 x= ，然后再代入 即可求值 【解答】解： = ， 8x 6y=x y， x= ， = = 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積 21已知 a、 b、 滿足 ，且 a+b+c=12，請(qǐng)你探索 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理 【專題】探究型 第 20頁(yè)（共 26頁(yè)） 【分析】令 =k根據(jù) a+b+c=12，得到關(guān)于 得 進(jìn)一步求得 a，b， 而判定三角形的形狀 【解答】解：令 =k a+4=3k， b+3=2k， c+8=4k， a=3k 4， b=2k 3， c=4k 8 又 a+b+c=12， （ 3k 4） +（ 2k 3） +（ 4k 8） =12， k=3 a=5， b=3， c=4 【點(diǎn)評(píng)】此題能夠利用方程求得 一步求得三角形的三邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形的形狀 22如圖， B 上的高，且 = （ 1）求證： （ 2）求 【考點(diǎn)】相似三 角形的判定與性質(zhì) 【分析】（ 1）由兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，即可證明 （ 2）由（ 1）知 后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得： A= 后由 A+ 0 ，可得： 0 ，即 0 【解答】（ 1）證明： 邊 0 ， = （ 2）解： 第 21頁(yè)（共 26頁(yè)） A= 在 0 ， A+ 0 ， 0 ， 即 0 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理 23如圖，在正方形 E、 D、 的點(diǎn)， D， 接 （ 1）求證： （ 2）若正方形的邊長(zhǎng)為 4，求 長(zhǎng) 【考點(diǎn)】相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)；平行線分線段成比例 【專題】計(jì)算題；證明題 【分析】（ 1）利用正方形的性質(zhì)，可得 A= D，根據(jù)已知可得 ，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等三角形相似，可得 （ 2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得 可求得 長(zhǎng) 【解答】（ 1）證明： 正方形， B=C， A= D=90 ， D， ， ， ， 第 22頁(yè)（共 26頁(yè)） （ 2）解： ， 又 方形的邊長(zhǎng)為 4， ， ， C+0 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等三角形相似）、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 24（ 10 分）（ 2012富順縣校級(jí)模擬）某小區(qū)居民籌集資金 1600元，計(jì)劃在兩底分別為 10m、 20圖： （ 1）他們?cè)?帶上種植太陽(yáng)花，單價(jià)為 8元 / 中陰影部分），共花了 160元，計(jì)算種滿 （ 2）若其余地帶有玫瑰、茉莉兩種 可供選擇，單價(jià)分別為 12元 /10元 /選哪種花木，剛好用完所籌資金？ 【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用 【專題】應(yīng)用題 【分析】（ 1）易得 據(jù) S 此可得種滿 （ 2）根據(jù)每平方米 8元來(lái)看， 0 平米方米， 0平方米，因此可以得出梯形的高也就是兩三角形高的和為 12 米，那么可得梯形面積為 180平方米，還有 80 平方米未種，800元未用，所以要選擇每平 方米十元的茉莉花 【解答】解：（ 1） 四邊形 第 23頁(yè)（共 26頁(yè)） S S 10： 20 ） 2=1： 4 種植 60 元，單價(jià)為 8元 / S 0 S 0 80=640（元）； （ 2）設(shè) 形 高為 h S 100， ， S 200， ， S 梯形 （ C） h = （ 10+20） （ 4+8） =180 S 80 20 80=80（ 160+640+80 12=1760（元），