【主題】超強(qiáng)助學(xué)高數(shù)版原來積分可以如此簡(jiǎn)單一種令你難忘的思考CQM20120102原來積分可以如此簡(jiǎn)單【預(yù)覽】【簡(jiǎn)介】故事是這樣的，靈感來源于上面那個(gè)彩色的表格。陷于積分計(jì)算的混沌之中的我，將所有學(xué)過的積分按照一定的方法分類，再將所有學(xué)過的方法用箭頭標(biāo)注在表格上，突然發(fā)現(xiàn)，好像所有知識(shí)都能串起來于是，幾經(jīng)努力和修改，終于寫出了這個(gè)想法?！拘浴渴虑?，原來可以如此簡(jiǎn)單【參考資料】高等數(shù)學(xué)（下）華南理工大學(xué)同步習(xí)題冊(cè)（下）【聲明】本文僅代表個(gè)人觀點(diǎn)，效果因人而異。如有不足，歡迎指正。本文由MRAGENT獨(dú)家首發(fā)。開源，無版權(quán)。已上傳至百度文庫。前言如果問一個(gè)我們大一的學(xué)生考試什么科目最頭疼，我們大部分一定會(huì)毫不猶豫地說高數(shù)而微積分想必是我們心中永遠(yuǎn)的痛。不過，看完下面的內(nèi)容，你也許會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)積分可以是很簡(jiǎn)單的，甚至是有趣的我經(jīng)常在想，學(xué)習(xí)知識(shí)，怎樣才能擺脫死記硬背，真正在需要的時(shí)候能用的上呢慢慢覺得，其關(guān)鍵是在自己腦中建立一個(gè)知識(shí)的系統(tǒng)，就好像是一個(gè)用文件夾分類并標(biāo)注名稱整理得很好的硬盤，無論想用什么都顯得容易很多?，F(xiàn)在，就讓我們來閱讀下面的文字，看看這個(gè)總結(jié)有沒有讓你感到眼前一亮呢正文目錄一、積分是什么一我們學(xué)過的六類積分二六類積分之間的聯(lián)系三積分的統(tǒng)一定義二、積分怎么算一定義法二核心方法三、積分計(jì)算的實(shí)例一計(jì)算技巧二思考一、積分是什么一我們學(xué)過的六類積分1定積分直線區(qū)域（坐標(biāo)軸）上定義的函數(shù)的積分BAIFXD2二重積分平面區(qū)域（坐標(biāo)平面）上定義的函數(shù)的積分,DY3三重積分空間區(qū)域上定義的函數(shù)的積分,IFXYZV4曲線積分平面曲線區(qū)域上定義的函數(shù)的積分,LDS5曲線積分空間曲線區(qū)域上定義的函數(shù)的積分IFXYZ6曲面積分曲面區(qū)域上定義的函數(shù)的積分,S（注不定積分是計(jì)算被積函數(shù)原函數(shù)的運(yùn)算，這里并未包括在內(nèi)，故以下只研究上述六類積分間的關(guān)系）二六類積分之間的聯(lián)系1觀察這些積分的表達(dá)式，我們看到，所有的積分都是由一下這四部分構(gòu)成的積分區(qū)域如X軸上的區(qū)間（A，B），XOY平面上的區(qū)域D，一條空間曲線被積函數(shù)一元函數(shù)F（X），二元函數(shù)F（X，Y）積分變量DX，D積分號(hào)、所以，我們完全可以把所有的積分統(tǒng)一寫成12N,DIFXX2各類積分的關(guān)系我們所學(xué)的六種積分類型，其實(shí)是按照積分區(qū)域的不同來劃分的分布維數(shù)線分布（一維分布）面分布（二維分布）體分布（三維分布）線形區(qū)域BAIFXD,LIFXYDS,IFXYZDS面形區(qū)域DS區(qū)域形狀體形區(qū)域,IFXYZV表一我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，變量的個(gè)數(shù)是與分布維數(shù)對(duì)應(yīng)的，而積分號(hào)的個(gè)數(shù)與區(qū)域形狀有關(guān)。請(qǐng)記住這張表，因?yàn)樗鼘⑹鼓愕闹R(shí)更加系統(tǒng)，使你的思路更加清晰，我們后面討論計(jì)算方法時(shí)還要用到它。值得注意的是積分的類型取決于被積函數(shù)定義域的形狀，即積分區(qū)域的形狀；積分，其實(shí)是先微分再積分，不同的積分區(qū)域，對(duì)函數(shù)的微分方式也不同，這體現(xiàn)在積分變量上。例如是線形區(qū)域，在一維的情況下，積分區(qū)域?yàn)樽鴺?biāo)軸上的一段區(qū)間（A，B），那么，積分為定積分；BAIFXD是線形區(qū)域，在二維的情況下，積分區(qū)域?yàn)樽鴺?biāo)平面上的一條曲線L，那么，積分為平面曲線積分；,LIFYS是線形區(qū)域，在三維的情況下，積分區(qū)域?yàn)榭臻g坐標(biāo)系下的一條曲線，那么，積分為空間曲線積分；,IFXZD是面形區(qū)域，在二維的情況下，積分區(qū)域?yàn)樽鴺?biāo)平面上的一塊區(qū)域D，那么，積分為二重積分；,DIFY是面形區(qū)域，在三維的情況下，積分區(qū)域?yàn)榭臻g坐標(biāo)系下的一塊曲面，那么，積分為曲面積分；,IFXZDS是體形區(qū)域，在三維的情況下，積分區(qū)域?yàn)榭臻g坐標(biāo)系下的一個(gè)立體區(qū)域，那么，積分為三重積分；,IFYV三積分的統(tǒng)一定義1有了以上對(duì)積分的重新整理和認(rèn)識(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，不論積分的名字是什么，或者采用了怎樣的表示形式，其實(shí)它們從本質(zhì)上都是一樣的在一定區(qū)域上定義了函數(shù)U，則相應(yīng)的積分為。1IIIUQ如果你對(duì)積分的統(tǒng)一定義已經(jīng)十分認(rèn)同，特別是上述的積分表達(dá)形式，那么其實(shí)你可以直接開始第二部分的閱讀但如果還有疑惑，不妨繼續(xù)看看下面緊接著的內(nèi)容2我們已經(jīng)給出了所有積分的統(tǒng)一的表示形式，但是那個(gè)形式畢竟不是來源于定義而是來源于合情的推理，所以我們有必要對(duì)積分進(jìn)行統(tǒng)一的定義，并且抓住積分的本質(zhì)，這對(duì)于以后的計(jì)算是很有幫助的為了完成這個(gè)目標(biāo)，我們需要思考，積分到底是什么回顧讓我們先來看看定積分是怎么定義的設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有界，在中任意插入N1個(gè)分點(diǎn)FX,AB,AB012I11INXXXB把區(qū)間分劃成N個(gè)小區(qū)間，01211,IINXXXX記，并記，在每個(gè)小區(qū)間12IIIXN1MAIIN上任取一點(diǎn)，作和式1,III1NIIIFX如果不論對(duì)區(qū)間怎樣劃分，也不論對(duì)小區(qū)間上的點(diǎn)怎樣的取法，極限,AB1,III01LIMNIIFX的值都為一個(gè)常數(shù)，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并稱極限值為函數(shù)在區(qū)間FX,ABFX上的定積分，記為，即,ABBAD，01LIMNBIAFXFX其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分變量，叫做積分區(qū)FXFD,AB間。我們不難發(fā)現(xiàn)，積分其實(shí)就是一個(gè)極限值。怎樣的一個(gè)極限值呢一個(gè)和式的極限值。怎樣的一個(gè)和式呢是這樣一個(gè)和式它有N各項(xiàng)，每個(gè)項(xiàng)都是由一個(gè)小區(qū)域和一個(gè)這個(gè)區(qū)域上定義的函數(shù)在這個(gè)區(qū)域上某點(diǎn)的函數(shù)值的乘積構(gòu)成的。而這小個(gè)區(qū)域和這個(gè)函數(shù)是從哪里來的呢這個(gè)小區(qū)域就是我們需要處理的函數(shù)的定義域，而這個(gè)函數(shù)則是我們需要處理的函數(shù)在定義在小區(qū)域上的部分?，F(xiàn)在我們突然發(fā)現(xiàn)，我們已經(jīng)將積分的統(tǒng)一定義用語言描述出來了，但是我們需要的是一個(gè)數(shù)學(xué)的定義。剩下的工作其實(shí)就很簡(jiǎn)單了。3積分的統(tǒng)一定義和表示設(shè)為一個(gè)有界的N維閉區(qū)域，它是可以度量的。上任意一點(diǎn)QI（X1，X2，XN）按照一定的映射F都有一個(gè)唯一的值UQI與之對(duì)應(yīng)，則在上定義了一個(gè)N元函數(shù)，記為，或。12N,UFXIUFQ設(shè)函數(shù)UF（QI）在上是有界的，將任意劃分為M個(gè)小部分1，2，M，在I上任取一點(diǎn)QI，作乘積并求和IIFI1MIIFQ設(shè)為I的直徑，且極限IR1AXIIMR01LIMIIF存在，那么定義該極限值為函數(shù)在上的積分，記為IUFQ。01DLINIIFF這就是積分的統(tǒng)一定義。二、積分怎么算一定義法我們知道積分是一個(gè)和式的極限，所以我們可以用極限的求法來計(jì)算積分的值。但是毫無疑問，這種方法是我們不愿意經(jīng)常使用的，那么怎么辦呢二核心方法1首先來聊一個(gè)比較無聊的題外話假如你要從廣州去到深圳，你會(huì)選擇怎么走想象一下在古代，人們都是步行或者是騎馬，但是這樣的確很慢，后來我們有了火車就快多。再想象一下，如果你給鐵道部建議實(shí)現(xiàn)家家通火車，你覺得怎么樣當(dāng)然你一定覺得這是一個(gè)不錯(cuò)的想法，但是事實(shí)上目前還不太可能實(shí)現(xiàn)，即使實(shí)現(xiàn)也不太可能會(huì)是火車。好了，其實(shí)我想說，定義法就好像是我們步行去深圳，雖然能走，但是非常艱難，更何況如果是讓你每天走個(gè)十次八次的那么我們同樣需要一列火車來代步。現(xiàn)在讓我們來考慮整個(gè)旅途首先不論是誰只要是想去深圳的人，先從四面八方匯聚到廣州火車站，然后坐上一列專門駛往深圳的列車，這列火車是從一個(gè)固定的地點(diǎn)發(fā)車的而不是從每個(gè)人的家門口發(fā)出的，然后到達(dá)一個(gè)統(tǒng)一的目的地深圳。因此，我們計(jì)算所有積分，一般都遵循這樣的思路首先將積分就行一定的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的會(huì)計(jì)算的形式，然后再用同一個(gè)固定的方式，將其算出來。2核心方法轉(zhuǎn)化公式法這個(gè)轉(zhuǎn)化的過程是比較復(fù)雜的，我們會(huì)在之后詳細(xì)說明，但是這最后坐火車的步驟是非常簡(jiǎn)單的，我們只需要知道一個(gè)公式就好，這個(gè)公式就是我們熟悉的牛頓萊布尼茨公式BAFXDFBAFXF我們只要將所有需要計(jì)算的積分轉(zhuǎn)化成可以用這個(gè)公式解決的形式就問題不大了，而這個(gè)公式所包含的知識(shí)內(nèi)容則是不定積分和定積分的內(nèi)容，我們?cè)谶@里就不再敘述了。眾所周知，轉(zhuǎn)化這步可不是說說這么簡(jiǎn)單的，比如說這個(gè)積分223208,|4DXYDRDDXY其中為我們看到其實(shí)如何轉(zhuǎn)化才是我們計(jì)算積分的關(guān)鍵那么既然如此，我們就有必要好好研究一下究竟該怎樣轉(zhuǎn)化。3核心方法轉(zhuǎn)化的艱辛1首先，讓我們先來對(duì)比一下理想和現(xiàn)實(shí)的差距。理想230DR現(xiàn)實(shí)2DXY我們通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，差別主要表現(xiàn)為目標(biāo)中的積分變量是只含一個(gè)變量的，如DX，而現(xiàn)實(shí)是積分變量為DXDY，DS，DS，DV等等；積分區(qū)域目標(biāo)中是一個(gè)一維的區(qū)間，如（A，B），而現(xiàn)實(shí)是我們所處理的積分區(qū)域要么是一個(gè)曲線區(qū)域，要么是一個(gè)曲面區(qū)域，或者是一個(gè)空間區(qū)域；被積函數(shù)原來是關(guān)于X，Y的函數(shù)，現(xiàn)在是關(guān)于的函數(shù)。,R不要緊，找到差距就好辦，下面我們就來逐一消除這三個(gè)差距。2差距消滅一積分變量的轉(zhuǎn)化對(duì)于幾種積分變量，一般有如下的關(guān)系（1）2DSXY（2）DZ（3）22SXYX在計(jì)算第一型曲線積分或曲面積分,LIFDSXYZ,IFS時(shí)，以下公式可以用來發(fā)揮作用。這是我們對(duì)123式根號(hào)里的表達(dá)式進(jìn)行變換得到的（1）222DS1XYXYD（2）XZZ（3）222SYXYD這樣積分變量只會(huì)是DX或DY或DXDY，也就是說將曲線積分化成了定積分或二重積分來計(jì)算，當(dāng)然，如下列的參數(shù)方程法也是可以的，但是本質(zhì)上與上述方法別無二致（2）222DSDXYZXYZDTT也就是說，我們這里強(qiáng)調(diào)的是怎樣變換積分變量使計(jì)算可行。在計(jì)算第二型曲線積分或曲面積分,LIPXYDQXY,IZZRZD,IPXYZDQXYZDRXYZD時(shí)，我們也可以將其用DX，DY單獨(dú)表示的積分化為用DS表示的積分（4）COSLLPS（5）COPDXYRZRD（6）COSSZQDXQS根據(jù)公式，我們便可以完成轉(zhuǎn)化。這就是課本上計(jì)算第二型曲線積分和曲面積分的方法。那么我們來總結(jié)一下，其實(shí)進(jìn)行變換的公式有（注為了不破壞以下公式的連續(xù)閱讀效果，我將一些需要的說明提到前面來這些公式的總結(jié)是省略了證明過程的，但是由于其特殊的表示形式和對(duì)稱性的存在，在記憶上可謂非常簡(jiǎn)單。紅色底色為記憶的重點(diǎn)，其余均可類比）第一組從“DS”或“DS”到“DX”或“DXDY”第一類（41）XDY（42）YD（51）XZ（52）YDZ第二類（1）2DSX（2）YDZ（3）22SXX1，2，3式就是這兩類公式組合而成的。第二組從“DXDY”或“DXDYDYDZDZDX”到“DS”或“DS”第三類平面曲線某點(diǎn)處切線的方向向量的方向角，滿足（61）221COSXDXY（62）221COSYDYXX空間曲線在某點(diǎn)處切線的方向向量的方向角滿足,（71）2221COSDXXXYDZYZ（72）2222S1YYYX（73）222CODZZZYDX曲面在某一點(diǎn)的切平面的法向量的方向角，滿足（81）2222CSS1XYYZZXYXZ（82）2222ODXYDZ（83）22221CSSXYXYXYDZ第四類對(duì)于曲線積分有（91）COSX（92）DY（93）CSZ對(duì)于曲面積分有（101）ODYS（102）CSZX（103）Y4，5，6就是由以上兩類公式組合得到的。第五類從“DXDY”或“DXDYDYDZDZDX”到“DXDY”或“DXDYDZ”從“DXDYDZ”到“DXDYDYDZDZDX”（格林公式）（11）LDQPDXYPQDYA（高斯公式）（12）PRVZXRXYZ（斯托克斯）RQPDDXDYQDYRZZ（13）（斯托克斯公式）COSCOSYZPDXYRDSXZXYZPQRPQRA（13）第六類（141）DXYJUV,XYUVJYV（142）DXYZJUVDW,XUVWYZYJVZUV即換元法，這里將換元法的公式列出來，但是我們其實(shí)只需要熟悉常用的換元法直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系之間的換元法就可以了。對(duì)于轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系的積分變量，DXYR對(duì)于轉(zhuǎn)化為柱坐標(biāo)系的積分變量，ZDZ對(duì)于轉(zhuǎn)化為球坐標(biāo)系的積分變量，2SINXY這六類公式可以幫助我們?cè)谝阎囊恍┓e分變量之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。而且我們發(fā)現(xiàn)，存在三種地位似乎不等的積分變量第一型DX、DXDY、DXDYDZ第二型DS、DSXUV第三型DXDY、DXDYDZ、DXDYDYDZDZDX第一組公式顯然是從第二型變化到第一型，第二組公式是從第三型變到第二型，第五類公式是從第三型變道第一型或第二型，第六類公式是在第一型內(nèi)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。也就是說，我們?cè)谧龇e分變量的變化的時(shí)候，主要是想將積分轉(zhuǎn)化成第一型，即定積分、二重積分、三重積分的形式。下面我們來回顧之前的例子223208,|4DXYDRDDXY其中為我們剛才只做到將轉(zhuǎn)化為，而該怎2DXY22112RDDR12,R樣確定呢3差距消滅二積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化積分變量的改變往往帶來的是積分區(qū)間的改變，事實(shí)上積分區(qū)域并未真正變化，而是它的表現(xiàn)形式發(fā)生了變化。所以我們還要研究用怎樣的形式把積分區(qū)域合理地表示出來。引入定限與變量分離我們首先來看我們熟悉的二重積分和三重積分的定限。定限一定是與積分變量相對(duì)應(yīng)的，如極坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的是角度和長(zhǎng)度的變化范圍，而直角坐標(biāo)系下是兩個(gè)正交變量X和Y的變化范圍，這是有區(qū)別的。也就是說定限的過程不是獨(dú)立的，而是與積分的計(jì)算聯(lián)系起來的。我們先來看積分區(qū)域在坐標(biāo)平面的二重積分的計(jì)算設(shè)被積函數(shù)為U，定義域?yàn)镈土黃色的積分區(qū)域D上，變量沿著兩個(gè)方向展開，一個(gè)是X方向，一個(gè)是Y方向。Y方向上，每一個(gè)點(diǎn)處函數(shù)的值從變化到，010X20XX方向上，X的值從變化到，所以積分的結(jié)果按2照這樣的方法計(jì)算2211XXDUDYUDY如果先考慮沿X方向伸展，每一個(gè)點(diǎn)處函數(shù)0Y的值從變化到，再考慮沿Y10Y2方向，從變化到，所以積分計(jì)算方法為2圖二圖一2211YYDUDXDUX那么對(duì)于三重積分呢其實(shí)是一樣的設(shè)被積函數(shù)為U，定義域?yàn)樵诳臻g積分區(qū)域上，有三個(gè)延伸方向X方向，Y方向和Z方向。如果先考慮Z方向，對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)（X0，Y0），函數(shù)值都從變化到1,XY，接下來我們可以選擇考慮X或Y方向的2,任意一個(gè)，如果考慮Y方向，如圖一，對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)處函數(shù)的值從變化到，0X1020X方向上，X的值從變化到，則三重積分的計(jì)X2算方法是222111,XXXYUDYZDUDZ深入?yún)^(qū)域的表達(dá)但是如果我們僅僅將課本上的知識(shí)原翻不動(dòng)地記下來，顯然是不夠的，現(xiàn)在讓我們來把上述的定限過程提取出來，看一下它們有什么內(nèi)在的聯(lián)系1212,DXYXY或121212,ZXY如果將它們寫成12121,|,DXYXXYY121212,|,ZXZXY我們看到，所謂定限，實(shí)際上就是用這樣具體的形式來表示D，這樣抽象的區(qū)域，因此，第二步積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化，我們可以說成是區(qū)域的表達(dá)。第一類普通的積分區(qū)域定積分情況12,PX此時(shí)控制積分區(qū)域的變量只有一個(gè)X，我們稱之為控制變量（自變量）。圖三圖四圖五平面曲線積分情況12,LXYFX1,或此時(shí)有兩個(gè)變量，一個(gè)是控制積分區(qū)域的變量X，另一個(gè)變量Y與X通過一個(gè)函數(shù)YFX關(guān)聯(lián)而不能自由變化，稱這個(gè)函數(shù)為關(guān)聯(lián)表達(dá)式，稱Y為相關(guān)變量（因變量）。空間曲線積分情況1211,XYXZ2,Y或122,ZXZZ或這里有一個(gè)控制變量和兩個(gè)關(guān)聯(lián)表達(dá)式。二重積分情況1212,DXXYX1,YY或這里有兩個(gè)變量對(duì)積分區(qū)域起控制作用，但是只有一個(gè)變量（X或Y）的變化是完全自由的，另一個(gè)變量（Y或X）的自由變化范圍取決于第一個(gè)變量的值，則稱前者為完全控制變量，后者為不完全控制變量。同時(shí)沒有關(guān)聯(lián)表達(dá)式。曲面積分情況,XYDZFY這里有兩個(gè)控制變量，即X和Y，和一個(gè)關(guān)聯(lián)表達(dá)式。三重積分情況12,XYDZYXZZ或圖六圖七圖八圖九12,XZDYXZ或這里有三個(gè)控制變量，對(duì)于第一種表示形式，Z一定為不完全控制變量。同時(shí)沒有相關(guān)變量，也就沒有關(guān)聯(lián)表達(dá)式。第二類經(jīng)過換元的積分區(qū)域如二重積分中，進(jìn)行變換，,XUVY則積分區(qū)域?yàn)椋?個(gè)完全控制變量和1個(gè)不1212,DUU完全控制變量）；如果U和V沒有關(guān)聯(lián)，即U和V的變化范圍互不影響，則積分區(qū)域?yàn)椋?個(gè)完全控制變量）。121,又如三重積分中，進(jìn)行如下變換，,XUVWYZ則積分區(qū)域?yàn)椋?2,UVDVU如果U，V之間沒有關(guān)聯(lián)，則積分區(qū)域?yàn)椋?個(gè)完全控制變量，1個(gè)不121212,W完全控制變量）；如果U，V，W之間沒有關(guān)聯(lián)，則積分區(qū)域?yàn)椋?個(gè)完全控制變量）。121212,V第三類經(jīng)過參數(shù)代換的積分區(qū)域區(qū)域若用參數(shù)方程表示12XTTY這里有3個(gè)變量，一個(gè)完全控制變量，2個(gè)相關(guān)變量，但是變量T可以通過消參消去，最后轉(zhuǎn)化為只剩下X，Y的一般形式，此時(shí)仍舊只有一個(gè)控制變量（如X），而相關(guān)變量個(gè)數(shù)也只剩下一個(gè)（如Y），說明參數(shù)形式中，相關(guān)變量的個(gè)數(shù)并不是最少的，即控制變量數(shù)為1，最少相關(guān)變量數(shù)為1，則最少關(guān)聯(lián)表達(dá)式個(gè)數(shù)為1。如果是空間曲線12XTYTZT這里的完全控制變量數(shù)為1，最少關(guān)聯(lián)表達(dá)式個(gè)數(shù)為2。值得注意的是，對(duì)于一個(gè)積分區(qū)域一定的積分，其控制變量總數(shù)和最少關(guān)聯(lián)表達(dá)式的數(shù)目是恒定的，不會(huì)因?yàn)閾Q元的轉(zhuǎn)化而改變。4差距消滅三被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化對(duì)于一些積分，我們需要對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如說223208,|4DXYDRDDXY其中為原被積函數(shù)原為關(guān)于X，Y的函數(shù)，當(dāng)積分變量變化為時(shí)，被積函數(shù)也要用表,R,R示。在進(jìn)行區(qū)域的表達(dá)時(shí)，我們知道一些區(qū)域的表達(dá)里存在關(guān)聯(lián)表達(dá)式，如中的；,XYZFY,ZFXY換元法里的,UVWZ以及參數(shù)方程里的XTY利用這些關(guān)聯(lián)表達(dá)式進(jìn)行代換，就是所謂的被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化。這是我們最后一步需要做的，當(dāng)然也是最簡(jiǎn)單的一個(gè)，因?yàn)橹灰懒岁P(guān)聯(lián)表達(dá)式這種變量之間的函數(shù)關(guān)系就可以代換了。我們稱之為第三步轉(zhuǎn)化。4核心方法轉(zhuǎn)化法的總結(jié)1第一步轉(zhuǎn)化再拿出我們的那個(gè)表來，我們可以將所有的方法標(biāo)注在上表中分布維數(shù)BAFXDFA線分布（一維分布）面分布（二維分布）體分布（三維分布）線形區(qū)域BAIFXD,LIFXYDS,IFXYZDS面形區(qū)域DS區(qū)域形狀體形區(qū)域,IFXYZV表二現(xiàn)在，我們一一分析每一種方法的本質(zhì)第一行的兩條墨綠色向左的箭頭其實(shí)顯示了曲線積分中真正的變量只有一個(gè)的真理而轉(zhuǎn)化則是使得積分表達(dá)式的維數(shù)降低222DS11XYXYD222DS1XXYDZYZD22TT表中的體現(xiàn)就是從右向左的箭頭，因此我們稱之為降維法，顯然第二行的墨綠色箭頭也是如此。兩行間從上到下的三個(gè)藍(lán)色箭頭，它們分別代表三個(gè)公式（格林公式）LDQPDXYPQDYA（高斯公式）PRVZXRDYZ（斯托PPDYDXQDYRZXA克斯公式）但實(shí)際上，他們都是將線形區(qū)域的積分升為面形區(qū)域的積分或者是將面形區(qū)域的積分化為體形區(qū)域的積分來計(jì)算，顯然在特定的條件下，這種將積分類型升一級(jí)的方法會(huì)比較簡(jiǎn)單，我們稱之為升型法。對(duì)于兩類曲線積分和兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化，我們用表示。如前所述，我們可以將其轉(zhuǎn)化為第一型的積分來算（4）COSLLPDXQYQDS（5）CORZR（6）COSSDYZXDYPDS我們知道這種方法實(shí)際上是來源于物理上矢量作為積分變量（如位移）和被積函數(shù)（如力）時(shí)的計(jì)算方法，例如LLWFDSXQDY即做向量的數(shù)量積，所以我們稱這種方法為正交法。在每行最左邊的一格中，我們用表示換元法，換元法的目的是簡(jiǎn)化積分區(qū)域的表達(dá)難度和最終的計(jì)算難度。接著我們發(fā)現(xiàn)，不論選用前面四種方法中的哪一種，我們最終都是將積分轉(zhuǎn)化為某行最左邊的類型，這并非巧合，而是因?yàn)橹挥凶钭筮叺念愋筒拍苓M(jìn)行進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化。因此，我們稱上面的四種方法為第一步轉(zhuǎn)化。不難看出，第一步轉(zhuǎn)化所依靠的主要是積分變量變換的六類公式2第二步轉(zhuǎn)化經(jīng)過第一步轉(zhuǎn)化得到的積分再通過積分區(qū)域的表達(dá)來使積分變量分離成單一的形式。我們將所有區(qū)域的表達(dá)整理到表格中，并將控制變量個(gè)數(shù)和最少關(guān)聯(lián)表達(dá)式個(gè)數(shù)寫在下表中（【控制變量個(gè)數(shù)最少關(guān)聯(lián)表達(dá)式個(gè)數(shù)】）分布維數(shù)普通類型線分布（一維分布）面分布（二維分布）體分布（三維分布）線形區(qū)域【10】12,PX【11】12,LXYFX【12】1211,XYXZ面形區(qū)域【20】12,DXYX【21】,XYXDZFXY區(qū)域形狀體形區(qū)域【30】12,XYZXY表三1分布維數(shù)參數(shù)形式線分布（一維分布）面分布（二維分布）體分布（三維分布）線形區(qū)域【10】12,PXTT【11】12XTLYTT【12】12XTYTZT面形區(qū)域略略區(qū)域形狀體形區(qū)域表三2分布維數(shù)換元形式線面分布（二維分布）體分布（三維分布）線略略略面形區(qū)域【20】1212,XUVYDVU或略區(qū)域形狀體形區(qū)域【30】121212,XUVWYUVZUVW或表三3我們來觀察一下控制變量數(shù)和最少關(guān)聯(lián)表達(dá)式數(shù)分布維數(shù)線分布（一維分布）1面分布（二維分布）2體分布（三維分布）3線形區(qū)域1【10】【11】【12】面形區(qū)域2【20】【21】區(qū)域形狀體形區(qū)域3【30】表四其中控制變量數(shù)是和積分號(hào)個(gè)數(shù)一致的，也就是說線形區(qū)域?yàn)?，面形區(qū)域?yàn)?，體形區(qū)域?yàn)?，我們可以將這三種區(qū)域稱為1形，2形和3形；而控制變量數(shù)和最少關(guān)聯(lián)表達(dá)式數(shù)的和是與其對(duì)應(yīng)的分布維數(shù)一致的。5總結(jié)綜上所述，我們計(jì)算積分的方法是12第一步轉(zhuǎn)化第三步轉(zhuǎn)化正交法、升型法、降維法2換元法被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化牛頓萊布尼茨公式第二步轉(zhuǎn)化積分區(qū)域的表達(dá)積分表達(dá)式積分表達(dá)式結(jié)果三、積分計(jì)算的實(shí)例（一）計(jì)算技巧1積分計(jì)算的特點(diǎn)是計(jì)算量大，技巧性強(qiáng)，然而一般來說，這兩者不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在一道題目中。如果將我們上述的轉(zhuǎn)化公式法看做是統(tǒng)一的方法，及“萬能的方法”，那么下面我們討論的是除了統(tǒng)一方法之外的或比統(tǒng)一方法簡(jiǎn)單得多的方法。這些方法一般帶有很強(qiáng)的技巧性（注為不增加閱讀負(fù)擔(dān)，習(xí)題全部選自華南理工大學(xué)同步作業(yè)冊(cè)（下）。）2在計(jì)算積分的過程中，以下的方法有可能會(huì)使計(jì)算從難變易，甚至從不可能變成可能1利用對(duì)稱性利用積分區(qū)間和被積函數(shù)的一些對(duì)稱的性質(zhì)可以大大簡(jiǎn)化積分的計(jì)算例一，計(jì)算，其中為球面與平面相交的部分2ZDSA22XYZA0XYZ（A0）。解本題如果想要完全采用前述統(tǒng)一的算法則會(huì)出現(xiàn)幾乎無法解決的局面2122222222222010134633041XXXXXXZYYZXYZAZZXZAAXXYAAZDSYZDZYZDAX這樣來解顯然是十分繁瑣的。但是考慮到積分區(qū)間的輪換對(duì)稱性（將X換成Y，Y換成Z，Z換成X后表達(dá)式完全不變的性質(zhì)），和的值其實(shí)是一樣的。2SA22ZSA所以，。2223111333ZDSXYZDADA利用對(duì)稱性，積分計(jì)算可以獲得比較簡(jiǎn)單的解答。例二，計(jì)算，其中L為橢圓，由點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)2LXYDA21XYAB,0AA到點(diǎn)的弧段。0,CB,0BA解我們考慮前述統(tǒng)一的方法來算。22232222,XXAALBYDYXBXYDDXYA觀察上式的積分區(qū)間是對(duì)稱的，那么繼續(xù)觀察，發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)第一項(xiàng)是奇函數(shù)，則結(jié)果為0，第二項(xiàng)為偶函數(shù)，所以最后的結(jié)果是。2222230044140AALABXBBXYDDXDX2割補(bǔ)法將積分區(qū)域進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)充，有事是一個(gè)聰明的選擇例三，計(jì)算，其中L是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正LDXYA1,0,1,0,ABCD方形的整個(gè)邊界（去正向）。解我們首先想到的是能否利用格林公式來算，但是發(fā)現(xiàn)有一不在定義域內(nèi)的點(diǎn)（0,0）被包含在L圍成的區(qū)域內(nèi)，所以不能直接利用格林公式，這時(shí)需要對(duì)L圍成的面積做適當(dāng)修補(bǔ)從區(qū)域中挖去一個(gè)洞。設(shè)L1為圓的邊界，取正向，則220XYR1111LLLLLDDXDYXDYXYAAA第一個(gè)積分將（0，0）排除在外，可以用格林公式，第二個(gè)積分利用極坐標(biāo)代換得202SINCOS0SINCO0LDXYDRR例四，計(jì)算，其中是上半球面的上側(cè)。2YZXY24ZXY解同理本題也不能直接用高斯公式來解，為此，我們需要給曲面補(bǔ)一個(gè)面構(gòu)成閉區(qū)域。設(shè)2為，取上側(cè)，則204ZXY1122400240RVDYZDDZXYZDXYAR例五，計(jì)算，（HR）。2222XYZRDSYZH解我們考慮用統(tǒng)一的方法，把DS化成DXDY。由于這個(gè)積分區(qū)域是閉合曲面，而投影的話應(yīng)該注意將曲面分隔成兩塊和221ZXY22ZXY所以，22RDSXY22222222222222222222222011XYZRDDZHDXYRDXYRXYHXYXYRRDRHRRRTTTDTHTR2202RRDTHTHRH3尋找適當(dāng)?shù)膮?shù)有一些題，題目中已經(jīng)將參數(shù)方程給出，我們只需照著公式去做就好，然而有一些題并未給出，甚至并未提示要用參數(shù)法來做。例六，計(jì)算，其中是圓柱螺線從T0YDXZ2COS,IN,3XTYTZ到T2的一段弧。解直接利用和公式2COS,IN,3TT（2）222DDXYZXYZDTT20SINICOS3YXZTTTT例七，計(jì)算，其中是從點(diǎn)（1,1,1）到點(diǎn)（2,3,4）的一段1DYXDZ直線。解我們先考慮用統(tǒng)一的解法來解。212211132134878678XYZDDXDXDXX本題也是可以用參數(shù)法解決的，而且對(duì)于可以方便寫出來的曲線積分，用參數(shù)法的確是一種很好的思路。123XTYZT1012002134673XDXYDZTTDTTT例八，計(jì)算，其中L是。22LYDSXZA224,0XYZAX解首先，我們考慮利用球坐標(biāo)系的公