第一章熱力學(xué)的基本規(guī)律11試求理想氣體的體脹系數(shù),壓強(qiáng)系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)。解已知理想氣體的物態(tài)方程為（1）,PVNRT由此易得（2）11,P（3）,VNRT（4）2111TTTPP12證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實(shí)驗(yàn),測(cè)得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得LNTVDP如果，試求物態(tài)方程。1,TP解以為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為,VTP其全微分為（1）PTDD全式除以，有V11PTDVVDDPT根據(jù)體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)的定義，可將上式改寫為（2）TDVDP上式是以為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，有,TP（3）LNT若，式（3）可表為1,TP（4）1LNVDTP選擇圖示的積分路線，從積分到，再積分到（），相應(yīng)地0,TP0,TP體積由最終變到，有0V00LNLN,VTP即（常量），0PCT或（5）PVT式（5）就是由所給求得的物態(tài)方程。確定常量C需要進(jìn)一步1,T的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。13在和1下，測(cè)得一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為0CNP可近似看作常量，今使銅塊加熱至。517148K8T和T和10C問（A）壓強(qiáng)要增加多少才能使銅塊的體積維持不變（B）若壓強(qiáng)增加NP100，銅塊的體積改變多少NP解（A）根據(jù)12題式（2），有（1）TDVDP上式給出，在鄰近的兩個(gè)平衡態(tài)，系統(tǒng)的體積差，溫度差和壓強(qiáng)差VDT之間的關(guān)系。如果系統(tǒng)的體積不變，與的關(guān)系為DP（2）TDP在和可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得T（3）2121TP將式（2）積分得到式（3）首先意味著，經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)等容過程后，系統(tǒng)在初態(tài)和終態(tài)的壓強(qiáng)差和溫度差滿足式（3）。但是應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，只要初態(tài)和終1,VT態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)間的壓強(qiáng)差和溫度差就滿足式（3）。這是因?yàn)?，?,VT衡狀態(tài)的狀態(tài)參量給定后，狀態(tài)函數(shù)就具有確定值，與系統(tǒng)到達(dá)該狀態(tài)的歷史無關(guān)。本題討論的銅塊加熱的實(shí)際過程一般不會(huì)是準(zhǔn)靜態(tài)過程。在加熱過程中，銅塊各處的溫度可以不等，銅塊與熱源可以存在溫差等等，但是只要銅塊的初態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的壓強(qiáng)和溫度差就滿足式（3）。將所給數(shù)據(jù)代入，可得5217480162NPP因此，將銅塊由加熱到，要使銅塊體積保持不變，壓強(qiáng)要增強(qiáng)0C062NP（B）12題式（4）可改寫為（4）21211TVP將所給數(shù)據(jù)代入，有57148018017V因此，將銅塊由加熱至，壓強(qiáng)由增加，銅塊體積將增加原體0CNPN積的倍。47114簡(jiǎn)單固體和液體的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)數(shù)值都很小，在一T定溫度范圍內(nèi)可以把和看作常量試證明簡(jiǎn)單固體和液體的物態(tài)方程可T近似為00,1TVPP解以為狀態(tài)參量，物質(zhì)的物態(tài)方程為,TP,VTP根據(jù)習(xí)題12式（2），有（1）TDD將上式沿習(xí)題12圖所示的路線求線積分，在和可以看作常量的情形下，T有（2）000LN,TVP或（3）000,TPVTPE考慮到和的數(shù)值很小，將指數(shù)函數(shù)展開，準(zhǔn)確到和的線性項(xiàng)，有TT（4）000,1T如果取，即有0P（5）00,TVTPP15描述金屬絲的幾何參量是長(zhǎng)度，力學(xué)參量是張力J，物態(tài)方程是L,FJT實(shí)驗(yàn)通常在1下進(jìn)行，其體積變化可以忽略。NP線脹系數(shù)定義為1JLT等溫楊氏模量定義為TYAL其中是金屬絲的截面積，一般來說，和是T的函數(shù)，對(duì)J僅有微AY弱的依賴關(guān)系，如果溫度變化范圍不大，可以看作常量，假設(shè)金屬絲兩端固定。試證明，當(dāng)溫度由降至?xí)r，其張力的增加為1221JYAT解由物態(tài)方程（1）,0FL知偏導(dǎo)數(shù)間存在以下關(guān)系（2）1JLTT所以，有（3）LJTAY積分得（4）21JYAT與13題類似，上述結(jié)果不限于保持金屬絲長(zhǎng)度不變的準(zhǔn)靜態(tài)冷卻過程，只要金屬絲的初態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的張力差21,JLJ就滿足式（4），與經(jīng)歷的過程無關(guān)。16一理想彈性線的物態(tài)方程為20,LJBT其中是長(zhǎng)度，是張力J為零時(shí)的L值，它只是溫度T的函數(shù)，B是常量L0試證明（A）等溫?fù)P氏模量為20BTYAL在張力為零時(shí)，其中A是彈性線的截面面積。03BTY（B）線脹系數(shù)為3031,2LT其中001DLT（C）上述物態(tài)方程適用于橡皮帶，設(shè)3130K,10NK,TB，試計(jì)算當(dāng)分別為和時(shí)的值，624101M,5KA0L52JY并畫出對(duì)的曲線,JY0L解（A）根據(jù)題設(shè)，理想彈性物質(zhì)的物態(tài)方程為（1）20,LJBT由此可得等溫楊氏模量為（2）2001TLLJBTYBALA張力為零時(shí)，03,L（B）線脹系數(shù)的定義為1JLT由鏈?zhǔn)疥P(guān)系知（3）1,LTJ而2002203,1,LTDLJBB所以（4）23002033011112LLDLBBTT（C）根據(jù)題給的數(shù)據(jù)，對(duì)的曲線分別如圖1,JY0L2（A），（B），（C）所示。17抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入，當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到外界壓強(qiáng)時(shí)將活門關(guān)上，試證明小匣內(nèi)的空氣在沒有與外界交換熱量之前，0P它的內(nèi)能與原來在大氣中的內(nèi)能之差為，其中是它原來在U0U0PV0大氣中的體積，若氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。解將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能與其原來在U大氣中的內(nèi)能由式（153）0（1）0WQ確定。由于過程進(jìn)行得很迅速，過程中系統(tǒng)與外界沒有熱量交換，過0Q程中外界對(duì)系統(tǒng)所做的功可以分為和兩部分來考慮。一方面，大氣將系12統(tǒng)壓入小匣，使其在大氣中的體積由變?yōu)榱恪Ｓ捎谛∠缓苄?，在將氣體壓0V入小匣的過程中大氣壓強(qiáng)可以認(rèn)為沒有變化，即過程是等壓的（但不是準(zhǔn)0P靜態(tài)的）。過程中大氣對(duì)系統(tǒng)所做的功為100WP另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過程中不受外界阻力，與外界也就沒有功交換，則2因此式（1）可表為（2）0UPV如果氣體是理想氣體，根據(jù)式（1311）和（1710），有（3）0,NRT（4）001VC式中是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式（2）即有N（5）0T活門是在系統(tǒng)的壓強(qiáng)達(dá)到時(shí)關(guān)上的，所以氣體在小匣內(nèi)的壓強(qiáng)也可看作，0P0P其物態(tài)方程為（6）00VNR與式（3）比較，知（7）018滿足的過程稱為多方過程，其中常數(shù)名為多方指數(shù)。試證NPVCN明理想氣體在多方過程中的熱容量為NC1V解根據(jù)式（161），多方過程中的熱容量（1）0LIMNTNNNQUCPT對(duì)于理想氣體，內(nèi)能U只是溫度T的函數(shù)，,VNC所以（2）NVNPT將多方過程的過程方程式與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強(qiáng)可PCP得（常量）。（3）1NTV將上式微分，有120,NNDTDV所以（4）1N代入式（2），即得（5）,1NVVPCCTN其中用了式（178）和（179）。19試證明理想氣體在某一過程中的熱容量如果是常數(shù)，該過程一N定是多方過程，多方指數(shù)。假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是NPVC常量。解根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有（1）DUQW對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)過程有,PV對(duì)理想氣體有,VDCT氣體在過程中吸收的熱量為,NQ因此式（1）可表為（2）NVCDTP用理想氣體的物態(tài)方程除上式，并注意可得PVR,PVCVR（3）NVPV將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有（4）DTP式（3）與式（4）聯(lián)立，消去，有（5）0NVNPDDVCC令，可將式（5）表為NPVC（6）0DPVN如果和都是常量，將上式積分即得,PVCN（常量）。（7）NPC式（7）表明，過程是多方過程。110聲波在氣體中的傳播速度為SP假設(shè)氣體是理想氣體，其定壓和定容熱容量是常量，試證明氣體單位質(zhì)量的內(nèi)能和焓可由聲速及給出UH21AAUUH200,1其中為常量。0,UH解根據(jù)式（189），聲速的平方為A（1）2V,P其中V是單位質(zhì)量的氣體體積。理想氣體的物態(tài)方程可表為,MVRT式中是氣體的質(zhì)量，是氣體的摩爾質(zhì)量。對(duì)于單位質(zhì)量的氣體，有MM（2）1V,P代入式（1）得（3）2ARTM以表示理想氣體的比內(nèi)能和比焓（單位質(zhì)量的內(nèi)能和焓）。由式,UH（1710）（1712）知0,1TUU（4）0RMHH將式（3）代入，即有20,1AUU（5）20H式（5）表明，如果氣體可以看作理想氣體，測(cè)定氣體中的聲速和即可確定氣體的比內(nèi)能和比焓。111大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對(duì)流層中的低處與高處之間空氣不斷發(fā)生對(duì)流，由于氣壓隨高度而降低，空氣上升時(shí)膨脹，下降時(shí)收縮，空氣的導(dǎo)熱率很小，膨脹和收縮的過程可以認(rèn)為是絕熱過程，試計(jì)算大氣溫度隨高度的變化率，并給出數(shù)值結(jié)果。DTZ解取軸沿豎直方向（向上）。以和分別表示在豎直高度ZPZDZ為和處的大氣壓強(qiáng)。二者之關(guān)等于兩個(gè)高度之間由大氣重量產(chǎn)生的ZD壓強(qiáng)，即（1）,PZDZGZ式中是高度為處的大氣密度，是重力加速度。將展開，有ZZPZD,PZ代入式（1），得（2）DPGZ式（2）給出由于重力的存在導(dǎo)致的大氣壓強(qiáng)隨高度的變化率。以表大氣的平均摩爾質(zhì)量。在高度為處，大氣的摩爾體積為，MZMZ則物態(tài)方程為（3）,MPZRTZ是豎直高度為處的溫度。代入式（2），消去得TZZZ（4）DGPZPZRT由式（186）易得氣體在絕熱過程中溫度隨壓強(qiáng)的變化率為（5）1SP綜合式（4）和式（5），有（6）1SDTDMGZZPR大氣的（大氣的主要成分是氮和氧，都是雙原子分子），平均摩爾質(zhì)14量為，代入式（6）得312290KGMOL,98S（7）10KKDTZ式（7）表明，每升高1KM，溫度降低10K。這結(jié)果是粗略的。由于各種沒有考慮的因素，實(shí)際每升高1KM，大氣溫度降低6K左右。112假設(shè)理想氣體的是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過PVC和之比程中的關(guān)系，該關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)，其表達(dá)式為TV和FTLN1DFT解根據(jù)式（181），理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中滿足（1）0VCDP用物態(tài)方程除上式，第一項(xiàng)用除，第二項(xiàng)用除，可得PVNRTNRTPV（2）利用式（178）和（179），,PVCN可將式（2）改定為（3）10DTV將上式積分，如果是溫度的函數(shù)，定義（4）1LN,DFT可得（常量），（5）1LLVC或（常量）。（6）FT式（6）給出當(dāng)是溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中T和V的關(guān)系。113利用上題的結(jié)果證明當(dāng)為溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為21T解在是溫度的函數(shù)的情形下，19就理想氣體卡諾循環(huán)得到的式（194）（196）仍然成立，即仍有（1）211LN,VQRT（2）324L,（3）321214LNLVWQRT根據(jù)113題式（6），對(duì)于19中的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程（二）和（四），有（4）123,FV（5）41T從這兩個(gè)方程消去和，得12（6）3214,V故（7）211LN,WRT所以在是溫度的函數(shù)的情形下，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為（8）211QT114試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交。解假設(shè)在圖中兩條絕熱線交于點(diǎn)，如圖所示。設(shè)想一等溫線與PVC兩條絕熱線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)（因?yàn)榈葴鼐€的斜率小于絕熱線的斜率，這AB樣的等溫線總是存在的），則在循環(huán)過程中，系統(tǒng)在等溫過程中從外ABCAB界吸取熱量，而在循環(huán)過程中對(duì)外做功，其數(shù)值等于三條線所圍面積QW（正值）。循環(huán)過程完成后，系統(tǒng)回到原來的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有。Q這樣一來，系統(tǒng)在上述循環(huán)過程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α耍@違背了熱力學(xué)第二定律的開爾文說法，是不可能的。因此兩條絕熱線不可能相交。115熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量，在熱機(jī)從其中吸收熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫1T度為，試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過2T21T解根據(jù)克勞修斯不等式（式（1134），有（1）0,IQT式中是熱機(jī)從溫度為的熱源吸取的熱量（吸熱為正，放熱為負(fù)）。IQITIIQ將熱量重新定義，可將式（1）改寫為（2）0,JKT式中是熱機(jī)從熱源吸取的熱量，是熱機(jī)在熱源放出的熱量，JJTKQKTJ恒正。將式（2）改寫為KQ（3）JKT假設(shè)熱機(jī)從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機(jī)向其放出1T熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，必有212,JJKKQT故由式（3）得（4）12JKQT定義為熱機(jī)在過程中吸取的總熱量，為熱機(jī)放出的總熱量，1JQ2KQ則式（4）可表為（5）12,T或（6）21Q根據(jù)熱力學(xué)第一定律，熱機(jī)在循環(huán)過程中所做的功為12W熱機(jī)的效率為（7）2211QT116理想氣體分別經(jīng)等壓過程和等容過程，溫度由升至。假設(shè)1T2是常數(shù)，試證明前者的熵增加值為后者的倍。解根據(jù)式（1158），理想氣體的熵函數(shù)可表達(dá)為（1）0LNLPSCTRS在等壓過程中溫度由升到時(shí)，熵增加值為1T2P（2）21LP根據(jù)式（1158），理想氣體的熵函數(shù)也可表達(dá)為（3）0LNLVSCTRS在等容過程中溫度由升到時(shí)，熵增加值為1T2V（4）21LNVTSC所以（5）PVS117溫度為的1KG水與溫度為的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫達(dá)到0C10C。試分別求水和熱源的熵變以及整個(gè)系統(tǒng)的總熵變。欲使參與過程的整10C個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)如何使水溫從升至已知水的比熱容為148JGK解的水與溫度為的恒溫?zé)嵩唇佑|后水溫升為，這一過程010C10C是不可逆過程。為求水、熱源和整個(gè)系統(tǒng)的熵變，可以設(shè)想一個(gè)可逆過程，它使水和熱源分別產(chǎn)生原來不可逆過程中的同樣變化，通過設(shè)想的可逆過程來求不可逆過程前后的熵變。為求水的熵變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源，其溫度分布在與之間。令水依次從這些熱源吸熱,使水溫由升至。在這可0C10C1逆過程中,水的熵變?yōu)椋?）3732773LN1048LN46JK22PPMCDTS水水從升溫至所吸收的總熱量為0C10Q3510JPQC為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為的另一熱源放出熱量。在這CQ可逆過程中，熱源的熵變?yōu)椋?）5141806JK37S熱源由于熱源的變化相同，式（2）給出的熵變也就是原來的不可逆過程中熱源的熵變。則整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋?）184JSS總水熱源為使水溫從升至而參與過程的整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)令水0C1與溫度分布在與之間的一系列熱源吸熱。水的熵變?nèi)杂墒剑?）S水給出。這一系列熱源的熵變之和為（4）37123046JKPMCDTS熱源參與過程的整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋?）S總水熱源11810A的電流通過一個(gè)的電阻器，歷時(shí)1S。25（A）若電阻器保持為室溫，試求電阻器的熵增加值。7C（B）若電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為，電阻器的質(zhì)量為27C10G，比熱容為問電阻器的熵增加值為多少PC1084JGK,解（A）以為電阻器的狀態(tài)參量。設(shè)想過程是在大氣壓下進(jìn)行的，,T如果電阻器的溫度也保持為室溫不變，則電阻器的熵作為狀態(tài)函數(shù)也就27C保持不變。（B）如果電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產(chǎn)生的焦耳熱將全部被電阻Q器吸收而使其溫度由升為，所以有ITF2FI,PMCTRT故22FI3105360K48PRTTC電阻器的熵變可參照117例二的方法求出，為FI231FILN10LN58J0TPPMDTSC119均勻桿的溫度一端為，另一端為，試計(jì)算達(dá)到均勻溫度12T后的熵增。12T解以L表示桿的長(zhǎng)度。桿的初始狀態(tài)是端溫度為，端溫度0L2LL為，溫度梯度為（設(shè)）。這是一個(gè)非平衡狀態(tài)。通過均勻桿中112T12T的熱傳導(dǎo)過程，最終達(dá)到具有均勻溫度的平衡狀態(tài)。為求這一過程12T的熵變，我們將桿分為長(zhǎng)度為的許多小段，如圖所示。位于到的小DLLDL段，初溫為（1）122TLL這小段由初溫T變到終溫后的熵增加值為12T（2）1212LN,LPPTTDDSCCLL其中是均勻桿單位長(zhǎng)度的定壓熱容量。PC根據(jù)熵的可加性，整個(gè)均勻桿的熵增加值為121220121212122221012121221212LNLLLNLNLLNLLLPLPPPPPSDTTCLDLCTTLLLTCLTC（3）式中是桿的定壓熱容量。PCL120一物質(zhì)固態(tài)的摩爾熱量為，液態(tài)的摩爾熱容量為假設(shè)和SCLCS都可看作常量在某一壓強(qiáng)下，該物質(zhì)的熔點(diǎn)為，相變潛熱為求在LC0T0Q溫度為時(shí)，過冷液體與同溫度下固體的摩爾熵差假設(shè)過冷液體的10T摩爾熱容量亦為L(zhǎng)C解我們用熵函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算以為狀態(tài)參量在討論固定,P壓強(qiáng)下過冷液體與固體的熵差時(shí)不必考慮壓強(qiáng)參量的變化以A態(tài)表示溫度為的固態(tài)，B態(tài)表示在熔點(diǎn)的固態(tài)B,A兩態(tài)的摩爾熵差為（略去摩爾1T0T熵的下標(biāo)不寫）MS（1）0101LNTSBASCDS以C態(tài)表示在熔點(diǎn)的液相，C，B兩態(tài)的摩爾熵差為0T（2）0CBQST以D態(tài)表示溫度為的過冷液態(tài)，D，C兩態(tài)的摩爾熵差為1（3）1010LNTLDCCS熵是態(tài)函數(shù)，D，C兩態(tài)的摩爾熵差為DA0011LNLNDACBASSQTC（4）001LST121物體的初溫，高于熱源的溫度，有一熱機(jī)在此物體與熱源之間12工作，直到將物體的溫度降低到為止，若熱機(jī)從物體吸取的熱量為Q，試2根據(jù)熵增加原理證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為MAX21WQTS其中是物體的熵減少量。12S解以和分別表示物體、熱機(jī)和熱源在過程前后的熵變。由,ABSC熵的相加性知，整個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)锳BCSS由于整個(gè)系統(tǒng)與外界是絕熱的，熵增加原理要求（1）0ABC以分別表示物體在開始和終結(jié)狀態(tài)的熵，則物體的熵變?yōu)?2,S（2）21AS熱機(jī)經(jīng)歷的是循環(huán)過程，經(jīng)循環(huán)過程后熱機(jī)回到初始狀態(tài)，熵變?yōu)榱?，即?）0B以表示熱機(jī)從物體吸取的熱量，表示熱機(jī)在熱源放出的熱量，表示熱QQW機(jī)對(duì)外所做的功。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有,W所以熱源的熵變?yōu)椋?）2CQWST將式（2）（4）代入式（1），即有（5）2120S上式取等號(hào)時(shí)，熱機(jī)輸出的功最大，故（6）MAX212WQTS式（6）相應(yīng)于所經(jīng)歷的過程是可逆過程。122有兩個(gè)相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為。今令一制IT冷機(jī)在這兩個(gè)物體間工作，使其中一個(gè)物體的溫度降低到為止。假設(shè)物體2維持在定壓下，并且不發(fā)生相變。試根據(jù)熵增加原理證明，此過程所需的最小功為2MINIPITWC解制冷機(jī)在具有相同的初始溫度的兩個(gè)物體之間工作，將熱量從物I體2送到物體1,使物體2的溫度降至為止。以表示物體1的終態(tài)溫度，21表示物體的定壓熱容量，則物體1吸取的熱量為PC（1）PIQCT物體2放出的熱量為（2）22PI經(jīng)多次循環(huán)后，制冷機(jī)接受外界的功為（3）1212PIWCT由此可知，對(duì)于給定的和，愈低所需外界的功愈小。IT2用和分別表示過程終了后物體1，物體2和制冷機(jī)的熵變。由12,S3熵的相加性和熵增加原理知，整個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)椋?）1230SS顯然11223LN,0PIITSC因此熵增加原理要求（5）12LN,PITSC或（6）12,IT對(duì)于給定的和，最低的為IT2121,I代入（3）式即有（7）2MINIPITWC式（7）相應(yīng)于所經(jīng)歷的整個(gè)過程是可逆過程。123簡(jiǎn)單系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立參量。如果以為獨(dú)立參量，可以以縱坐,TS標(biāo)表示溫度，橫坐標(biāo)表示熵，構(gòu)成圖。圖中的一點(diǎn)與系統(tǒng)的一個(gè)平TS衡態(tài)相對(duì)應(yīng)，一條曲線與一個(gè)可逆過程相對(duì)應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過程的曲線，并利用圖求可逆卡諾循環(huán)的效率。解可逆卡諾循環(huán)包含兩個(gè)可逆等溫過程和兩個(gè)可逆絕熱過程。在TS圖上，等溫線是平行于T軸的直線?？赡娼^熱過程是等熵過程，因此在圖上絕熱線是平行于S軸的直線。圖15在圖上畫出了可逆卡諾TSTS循環(huán)的四條直線。（一）等溫膨脹過程工作物質(zhì)經(jīng)等溫膨脹過程（溫度為）由狀態(tài)到達(dá)狀態(tài)。由于工作1T物質(zhì)在過程中吸收熱量，熵由升為。吸收的熱量為1S2（1）1,QS等于直線下方的面積。1Q（二）絕熱膨脹過程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)絕熱膨脹過程到達(dá)狀態(tài)。過程中工作物質(zhì)內(nèi)能減少并對(duì)外做功，其溫度由下降為，熵保持為不變。1T22S（三）等溫壓縮過程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)等溫壓縮過程（溫度為）到達(dá)狀態(tài)。工作物質(zhì)2T在過程中放出熱量，熵由變?yōu)椋懦龅臒崃繛?S1（2）21,QTS等于直線下方的面積。2Q（四）絕熱壓縮過程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)絕熱壓縮過程回到狀態(tài)。溫度由升為，熵保2T1持為不變。1S在循環(huán)過程中工作物質(zhì)所做的功為（3）12,WQ等于矩形所包圍的面積。W可逆卡諾熱機(jī)的效率為（4）21221111TST上面的討論顯示，應(yīng)用圖計(jì)算（可逆）卡諾循環(huán)的效率是非常方便S的。實(shí)際上圖的應(yīng)用不限于卡諾循環(huán)。根據(jù)式（1144）TS（5）,DQT系統(tǒng)在可逆過程中吸收的熱量由積分（6）S給出。如果工作物質(zhì)經(jīng)歷了如圖中的（可逆）循環(huán)過程，則在過程ABCDABC中工作物質(zhì)吸收的熱量等于面積，在過程中工作物質(zhì)放出的熱量ABCEFDA等于面積，工作物質(zhì)所做的功等于閉合曲線所包的面積。由ADCEFBC此可見（可逆）循環(huán)過程的熱功轉(zhuǎn)換效率可以直接從圖中的面積讀出。TS在熱工計(jì)算中圖被廣泛使用。TS補(bǔ)充題11MOL理想氣體，在的恒溫下體積發(fā)生膨脹，其壓強(qiáng)由2027C準(zhǔn)靜態(tài)地降到1，求氣體所作的功和所吸取的熱量。NPNP解將氣體的膨脹過程近似看作準(zhǔn)靜態(tài)過程。根據(jù)式（142），在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中氣體體積由膨脹到，外界對(duì)氣體所做的功為AVBLNLNBAAVBAABVPDWPDRTTR氣體所做的功是上式的負(fù)值，將題給數(shù)據(jù)代入，得3LN8310LN27410JABP在等溫過程中理想氣體的內(nèi)能不變，即U根據(jù)熱力學(xué)第一定律（式（153），氣體在過程中吸收的熱量為Q37410JQW補(bǔ)充題2在下，壓強(qiáng)在0至1000之間，測(cè)得水的體積為5CNP362311806751410CMOLV如果保持溫度不變，將1MOL的水從1加壓至1000，求外界所作的功。NPNP解將題中給出的體積與壓強(qiáng)關(guān)系記為（1）2,VABC由此易得（2）DPD保持溫度不變，將1MOL的水由1加壓至1000，外界所做的功為NN10231123JMOLBBAAVPWBCBCP在上述計(jì)算中我們已將過程近擬看作準(zhǔn)靜態(tài)過程。補(bǔ)充題3承前16題，使彈性體在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中長(zhǎng)度由壓縮為0L，試計(jì)算外界所作的功。02L解在準(zhǔn)靜態(tài)過程中彈性體長(zhǎng)度有DL的改變時(shí)，外界所做的功是（1）DWJL將物態(tài)方程代入上式，有（2）20BTD在等溫過程中是常量，所以在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中將彈性體長(zhǎng)度由壓縮為0L0L時(shí)，外界所做的功為02L（3）00002222058LLLWJDBTDBT值得注意，不論將彈性體拉長(zhǎng)還是壓縮，外界作用力都與位移同向，外界所做的功都是正值。補(bǔ)充題4在和1下，空氣的密度為,空氣的定壓比熱容0CNP3129KGM。今有的空氣，試計(jì)算196JKGK,PC327M（I）若維持體積不變，將空氣由加熱至所需的熱量。0C20（II）若維持壓強(qiáng)不變，將空氣由加熱至所需的熱量。（III）若容器有裂縫，外界壓強(qiáng)為1，使空氣由緩慢地加熱至NPC所需的熱量。20C解（A）由題給空氣密度可以算得空氣的質(zhì)量為327M1M1948KG定容比熱容可由所給定壓比熱容算出33106076JKPVC維持體積不變，將空氣由加熱至所需熱量為C2VQ1135348076209JVQMCT（B）維持壓強(qiáng)不變，將空氣由加熱至所需熱量為CP121353480960JPCT（C）若容器有裂縫，在加熱過程中氣體將從裂縫漏出，使容器內(nèi)空氣質(zhì)量發(fā)生變化。根據(jù)理想氣體的物態(tài)方程,MPVRT為空氣的平均摩爾質(zhì)量，在壓強(qiáng)和體積不變的情形下，容器內(nèi)氣體的質(zhì)量M與溫度成反比。以表示氣體在初態(tài)的質(zhì)量和溫度，表示溫度為T時(shí)1,MTM氣體的質(zhì)量，有1,MT所以在過程（C）中所需的熱量為Q2211211LNTTPPPTDCDCC將所給數(shù)據(jù)代入，得35293482706LN761JQ補(bǔ)充題5熱泵的作用是通過一個(gè)循環(huán)過程將熱量從溫度較低的物體傳送到溫度較高的物體上去。如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的循環(huán)過程，熱泵的效率可以定義為傳送到高溫物體的熱量與外界所做的功的比值。試求熱泵的效率。如果將功直接轉(zhuǎn)化為熱量而令高溫物體吸收，則“效率”為何解根據(jù)卡諾定理，通過逆卡諾循環(huán)從溫度為的低溫?zé)嵩次崃浚?T2Q將熱量送到溫度為的高溫?zé)嵩慈ィ饨绫仨氉龉?Q1T12WQ因此如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的過程，其效率為（1）11222T式中第三步用了12QT的結(jié)果（式（1127）和（1128）。由式（1）知，效率恒大于1。如果與相差不大，可以相當(dāng)高。不過由于設(shè)備的價(jià)格和運(yùn)轉(zhuǎn)的實(shí)際效率，1T2這種方法實(shí)際上很少使用。將功直接轉(zhuǎn)化為熱量（如電熱器），效率為1。補(bǔ)充題6根據(jù)熵增加原理證明第二定律的開氏表述從單一熱源吸取熱量使之完全變成有用的功而不引起其它變化是不可能的。解如果熱力學(xué)第二定律的開爾文表述不成立，就可以令一熱機(jī)在循環(huán)過程中從溫度為的單一熱源吸取熱量，將之全部轉(zhuǎn)化為機(jī)械功而輸出。TQ熱機(jī)與熱源合起來構(gòu)成一個(gè)絕熱系統(tǒng)。在循環(huán)過程中，熱源的熵變?yōu)?，QT而熱機(jī)的熵不變，這樣絕熱系統(tǒng)的熵就減少了，這違背了熵增加原理，是不可能的。第二章均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)21已知在體積保持不變時(shí)，一氣體的壓強(qiáng)正比于其熱力學(xué)溫度試證明在溫度保質(zhì)不變時(shí)，該氣體的熵隨體積而增加解根據(jù)題設(shè)，氣體的壓強(qiáng)可表為（1）,PFVT式中是體積的函數(shù)由自由能的全微分FVDFSD得麥?zhǔn)详P(guān)系（2）TVP將式（1）代入，有（3）TVSPPF由于，故有這意味著，在溫度保持不變時(shí)，該氣體的0,PT0TV熵隨體積而增加22設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式,PFVT試證明其內(nèi)能與體積無關(guān)解根據(jù)題設(shè)，物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式（1）,PF故有（2）VFT但根據(jù)式（227），有（3）,TVUP所以（4）0TUFVP這就是說，如果物質(zhì)具有形式為（1）的物態(tài)方程，則物質(zhì)的內(nèi)能與體積無關(guān)，只是溫度T的函數(shù)23求證0HSAP0USBV解焓的全微分為（1）DTSDP令，得0DH（2）0HV內(nèi)能的全微分為（3）DUTSPD令，得0DU（4）0UV24已知，求證0TV0TP解對(duì)復(fù)合函數(shù)（1）,UPVP求偏導(dǎo)數(shù)，有（2）TTP如果，即有0TUV（3）0TUP式（2）也可以用雅可比行列式證明,TUPVTP（2）T25試證明一個(gè)均勻物體的在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減解熱力學(xué)用偏導(dǎo)數(shù)描述等壓過程中的熵隨體積的變化率，用PSV描述等壓下溫度隨體積的變化率為求出這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，對(duì)復(fù)PTV合函數(shù)（1）,SPVSTPV求偏導(dǎo)數(shù)，有（2）PPPC因?yàn)?，所以的正?fù)取決于的正負(fù)0,PCTPSVPTV式（2）也可以用雅可經(jīng)行列式證明,PSPTV（2）PS26試證明在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落大于在節(jié)流過程中的溫度降落解氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過程和節(jié)流過程中的溫度降落分別由偏導(dǎo)數(shù)和描述熵函數(shù)的全微分為STPH,STPPTSDDP在可逆絕熱過程中，故有0S（1）TPPSPVPC最后一步用了麥?zhǔn)详P(guān)系式（224）和式（228）焓的全微分為,HTPPTHDDPT在節(jié)流過程中，故有0（2）TPPHPVPC最后一步用了式（2210）和式（166）將式（1）和式（2）相減，得（3）0PSHTVPC所以在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在絕熱膨脹中的溫度降落大于節(jié)流過程中的溫度降落這兩個(gè)過程都被用來冷卻和液化氣體由于絕熱膨脹過程中使用的膨脹機(jī)有移動(dòng)的部分，低溫下移動(dòng)部分的潤(rùn)滑技術(shù)是十分困難的問題，實(shí)際上節(jié)流過程更為常用但是用節(jié)流過程降溫，氣體的初溫必須低于反轉(zhuǎn)溫度卡皮查（1934年）將絕熱膨脹和節(jié)流過程結(jié)合起來，先用絕熱膨脹過程使氦降溫到反轉(zhuǎn)溫度以下，再用節(jié)流過程將氦液化27實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，一氣體的壓強(qiáng)與體積V的乘積以及內(nèi)能U都只是溫P度的函數(shù)，即,PVFTU試根據(jù)熱力學(xué)理論，討論該氣體的物態(tài)方程可能具有什么形式解根據(jù)題設(shè)，氣體具有下述特性（1）,PVFT（2）U由式（227）和式（2），有（3）0TVP而由式（1）可得（4）VPDF將式（4）代入式（3），有,FTD或（5）F積分得LNL,FTC或（6）,PV式中C是常量因此，如果氣體具有式（1），（2）所表達(dá)的特性，由熱力學(xué)理論知其物態(tài)方程必具有式（6）的形式確定常量C需要進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果28證明22,PVTVPTCCPV并由此導(dǎo)出0022,VVPPPCTD根據(jù)以上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容呈只是溫度T的函數(shù)解式（225）給出（1）VVSCT以T，V為狀態(tài)參量，將上式求對(duì)V的偏導(dǎo)數(shù)，有（2）222,VTVSST其中第二步交換了偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)次序，第三步應(yīng)用了麥?zhǔn)详P(guān)系（223）由理想氣體的物態(tài)方程PVNRT知，在V不變時(shí)，是T的線性函數(shù)，即P20V所以TC這意味著，理想氣體的定容熱容量只是溫度T的函數(shù)在恒定溫度下將式（2）積分，得（3）02VVPCD式（3）表明，只要測(cè)得系統(tǒng)在體積為時(shí)的定容熱容量，任意體積下的定容熱容量都可根據(jù)物態(tài)方程計(jì)算出來同理，式（228）給出（4）PPSCT以為狀態(tài)參量，將上式再求對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，有,TP（5）222PPTSSTP其中第二步交換了求偏導(dǎo)數(shù)的次序，第三步應(yīng)用了麥?zhǔn)详P(guān)系（224）由理想氣體的物態(tài)方程PVNRT知，在不變時(shí)是的線性函數(shù)，即PVT20P所以0PTC這意味著理想氣體的定壓熱容量也只是溫度T的函數(shù)在恒定溫度下將式（5）積分，得02PPPVCD式（6）表明，只要測(cè)得系統(tǒng)在壓強(qiáng)為時(shí)的定壓熱容量，任意壓強(qiáng)下的定壓熱容量都可根據(jù)物態(tài)方程計(jì)算出來29證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度T的函數(shù)，與比體積無關(guān)解根據(jù)習(xí)題28式（2）（1）2,VTVCP范氏方程（式（1312）可以表為（2）2NRAPB由于在V不變時(shí)范氏方程的P是T的線性函數(shù)，所以范氏氣體的定容熱容量只是T的函數(shù)，與比體積無關(guān)不僅如此，根據(jù)28題式（3）（3）02,VVVPCTTD我們知道，時(shí)范氏氣體趨于理想氣體令上式的，式中的V0V就是理想氣體的熱容量由此可知，范氏氣體和理想氣體的定容熱0,VCT容量是相同的順便提及，在壓強(qiáng)不變時(shí)范氏方程的體積與溫度不呈線性關(guān)系根VT據(jù)28題式（5）（2）2,VTVCP這意味著范氏氣體的定壓熱容量是的函數(shù),210證明理想氣體的摩爾自由能可以表為,00,02LNVMMVMCFCDTUDTRSS解式（2413）和（2414）給出了理想氣體的摩爾吉布斯函數(shù)作為其自然變量的函數(shù)的積分表達(dá)式本題要求出理想氣體的摩爾自由能作,TP為其自然變量的函數(shù)的積分表達(dá)式根據(jù)自由能的定義（式（1183），MV摩爾自由能為（1）,MMFUTS其中和是摩爾內(nèi)能和摩爾熵根據(jù)式（174）和（1152），理想氣體MUS的摩爾內(nèi)能和摩爾熵為（2）,0,MVMCD（3）,0LN,STRS所以（4）,0LNVMMVMMCFDUTST利用分部積分公式,XYDX令,1VMTYCD可將式（4）右方頭兩項(xiàng)合并而將式（4）改寫為（5）,02LNMVMMMDTFCRUTS211求范氏氣體的特性函數(shù)，并導(dǎo)出其他的熱力學(xué)函數(shù)F解考慮1MOL的范氏氣體根據(jù)自由能全微分的表達(dá)式（213），摩爾自由能的全微分為（1）,MMDSTPDV故（2）2,MMTFRAVB積分得（3）,LNMMAFTV由于式（2）左方是偏導(dǎo)數(shù)，其積分可以含有溫度的任意函數(shù)我們利F用時(shí)范氏氣體趨于理想氣體的極限條件定出函數(shù)根據(jù)習(xí)題211VF式（4），理想氣體的摩爾自由能為（4）,0LNVMMVMMCFDTRTUTS將式（3）在時(shí)的極限與式（4）加以比較，知（5）,0VMVMMFDST所以范氏氣體的摩爾自由能為（6）,0,LNVMMVMMMCAFTDTRBUTSV式（6）的是特性函數(shù),范氏氣體的摩爾熵為（7）,0LNVMMMCFSDTRBS摩爾內(nèi)能為（8）,0MMVMAUSDU212一彈簧在恒溫下的恢復(fù)力與其伸長(zhǎng)成正比，即，比例XXXAX系數(shù)是溫度的函數(shù)今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自由能，熵AF和內(nèi)能的表達(dá)式分別為SU221,0,1,02FTXAXDSTUXX解在準(zhǔn)靜態(tài)過程中，對(duì)彈簧施加的外力與彈簧的恢復(fù)力大小相等，方向相反當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度有的改變時(shí)，外力所做的功為DX（1）WXDX根據(jù)式（1147），彈簧的熱力學(xué)基本方程為（2）UTS彈簧的自由能定義為,F其全微分為DSTXDX將胡克定律代入，有XAX（3）,FA因此TX在固定溫度下將上式積分，得0,XFXAD（4）21,T其中是溫度為，伸長(zhǎng)為零時(shí)彈簧的自由能,0FTT彈簧的熵為（5）21,0FDASTX彈簧的內(nèi)能為（6）21,02DAUFTSTX在力學(xué)中通常將彈簧的勢(shì)能記為2,X力學(xué)沒有考慮是溫度的函數(shù)根據(jù)熱力學(xué)，是在等溫過程中外界所做的功，AU力學(xué)是自由能213X射線衍射實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，橡皮帶未被拉緊時(shí)具有無定形結(jié)構(gòu)；當(dāng)受張力而被拉伸時(shí)，具有晶形結(jié)構(gòu)這一事實(shí)表明，橡皮帶具有大的分子鏈（A）試討論橡皮帶在等溫過程中被拉伸時(shí)，它的熵是增加還是減少；（B）試證明它的膨脹系數(shù)是負(fù)的1STL解（A）熵是系統(tǒng)無序程度的量度橡皮帶經(jīng)等溫拉伸過程后由無定形結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榫谓Y(jié)構(gòu)，說明過程后其無序度減少，即熵減少了，所以有（1）0TSL（B）由橡皮帶自由能的全微分DFSJD可得麥?zhǔn)详P(guān)系（2）TL綜合式（1）和式（2），知（3）0LJ由橡皮帶的物態(tài)方程知偏導(dǎo)數(shù)間存在鏈?zhǔn)疥P(guān)系,FT1,LJT即（4）JLTTJ在溫度不變時(shí)橡皮帶隨張力而伸長(zhǎng)說明（5）0TLJ綜合式（3）（5）知0,J所以橡皮帶的膨脹系數(shù)是負(fù)的，即（6）10JLT214假設(shè)太陽是黑體，根據(jù)下列數(shù)據(jù)求太陽表面的溫度；單位時(shí)間內(nèi)投射到地球大氣層外單位面積上的太陽輻射能量為（該值稱321150JMS為太陽常量），太陽的半徑為，太陽與地球的平均距離為869510M14950M解以表示太陽的半徑頂點(diǎn)在球心的立體角在太陽表面所張的面SRD積為假設(shè)太陽是黑體，根據(jù)斯特藩玻耳茲曼定律（式（268），單2SD位時(shí)間內(nèi)在立體角內(nèi)輻射的太陽輻射能量為D（1）42STRD單位時(shí)間內(nèi)，在以太陽為中心，太陽與地球的平均距離為半徑的球面上接SER受到的在立體角內(nèi)輻射的太陽輻射能量為D32150SED令兩式相等，即得（3）1324SERT將和的數(shù)值代入，得,SRE5760K215計(jì)算熱輻射在等溫過程中體積由變到時(shí)所吸收的熱量1V2解根據(jù)式（1143），在可逆等溫過程中系統(tǒng)吸收的熱量為（1）QTS式（264）給出了熱輻射的熵函數(shù)表達(dá)式（2）34SATV所以熱輻射在可逆等溫過程中體積由變到時(shí)所吸收的熱量為12（3）413Q216試討論以平衡輻射為工作物質(zhì)的卡諾循環(huán)，計(jì)算其效率解根據(jù)式（261）和（263），平衡輻射的壓強(qiáng)可表為（1）41,3PAT因此對(duì)于平衡輻射等溫過程也是等壓過程式（265）給出了平衡輻射在可逆絕熱過程（等熵過程）中溫度T與體積V的關(guān)系（2）3C常量將式（1）與式（2）聯(lián)立，消去溫度T，可得平衡輻射在可逆絕熱過程中壓強(qiáng)與體積的關(guān)系PV（常量）（3）43PV下圖是平衡輻射可逆卡諾循環(huán)的圖，其中等溫線和絕熱線的方程分別為式（1）和式（3）下圖是相應(yīng)的圖計(jì)算效率時(shí)應(yīng)用圖更為方便TSTS在由狀態(tài)等溫（溫度為）膨脹至狀態(tài)的過程中，平衡輻射吸收的A1TB熱量為（4）121QS在由狀態(tài)等溫（溫度為）壓縮為狀態(tài)的過程中，平衡輻射放出的熱量C2D為（5）221TS循環(huán)過程的效率為（6）2122111QT217如圖所示，電介質(zhì)的介電常量與溫度有關(guān)試求電路為DE閉路時(shí)電介質(zhì)的熱容量與充電后再令電路斷開后的熱容量之差解根據(jù)式（145），當(dāng)介質(zhì)的電位移有的改變時(shí)，外界所做的功是DD（1）,WVE式中E是電場(chǎng)強(qiáng)度，是介質(zhì)的體積本題不考慮介質(zhì)體積的改變，可看VV作常量與簡(jiǎn)單系統(tǒng)比較，在變換PD（2）,下，簡(jiǎn)單系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于電介質(zhì)式（2211）給出（3）PVVPCT在代換（2）下，有（4）,EDDET式中是電場(chǎng)強(qiáng)度不變時(shí)介質(zhì)的熱容量，是電位移不變時(shí)介質(zhì)的熱容量ECC電路為閉路時(shí)，電容器兩極的電位差恒定，因而介質(zhì)中的電場(chǎng)恒定，所以也就是電路為閉路時(shí)介質(zhì)的熱容量充電后再令電路斷開，電容器兩極有DC恒定的電荷，因而介質(zhì)中的電位移恒定，所以也就是充電后再令電路斷開DC時(shí)介質(zhì)的熱容量電介質(zhì)的介電常量與溫度有關(guān)，所以DTE,DET（5）2,D代入式（4），有2EDDCVTET（6）3D218試證明磁介質(zhì)與之差等于HCM20MTTH解當(dāng)磁介質(zhì)的磁化強(qiáng)度有的改變時(shí)，外界所做的功是D（1）0,WV式中H是電場(chǎng)強(qiáng)度，V是介質(zhì)的體積不考慮介質(zhì)體積的改變，V可看作常量與簡(jiǎn)單系統(tǒng)比較，在變換PD（2）0H,M下，簡(jiǎn)單系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于磁介質(zhì)式（2211）給出（3）PVVPCT在代換（2）下，有（4）0HMMHT式中是磁場(chǎng)強(qiáng)度不變時(shí)介質(zhì)的熱容量，是磁化強(qiáng)度不變時(shí)介質(zhì)的熱容HCMC量考慮到（5）1HTT（5）式解出,代入4式,得HMT20HMMTCTH219已知順磁物質(zhì)遵從居里定律T居里定律若維物質(zhì)的溫度不變，使磁場(chǎng)由0增至H，求磁化熱解式（1143）給出，系統(tǒng)在可逆等溫過程中吸收的熱量Q與其在過程中的熵增加值滿足S（1）QTS在可逆等溫過程中磁介質(zhì)的熵隨磁場(chǎng)的變化率為（式（277）（2）0THM如果磁介質(zhì)遵從居里定律（3）,CV是常量易知（4）2HMT,所以（5）0TCVS2在可逆等溫過程中磁場(chǎng)由0增至H時(shí)，磁介質(zhì)的熵變?yōu)椋?）200THSD吸收的熱量為（7）20CVHQTS220已知超導(dǎo)體的磁感強(qiáng)度，求證0BM（A）與M無關(guān)，只是T的函數(shù)，其中是磁化強(qiáng)度M保持不變時(shí)CC的熱容量（B）200UDTU（C）0MSS解先對(duì)超導(dǎo)體的基本電磁學(xué)性質(zhì)作一粗淺的介紹1911年昂尼斯（ONNES）發(fā)現(xiàn)水銀的電阻在42K左右突然降低為零，如圖所示這種在低溫下發(fā)生的零電阻現(xiàn)象稱為超導(dǎo)電性具有超導(dǎo)電性質(zhì)的材料稱為超導(dǎo)體電阻突然消失的溫度稱為超導(dǎo)體的臨界溫度開始人們將超導(dǎo)體單純地理解為具有無窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體在導(dǎo)體中電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)EJ度E滿足歐姆定律（1）EJE如果電導(dǎo)率，導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度將為零根據(jù)法拉第定律，有（2）,BVT因此對(duì)于具有無窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體，恒有（3）0T下圖（A）顯示具有無窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體的特性，如果先將樣品降溫到臨界溫度以下，使之轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂袩o窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體，然后加上磁場(chǎng)，根據(jù)式（3）樣品內(nèi)的B不發(fā)生變化，即仍有0B但如果先加上磁場(chǎng)，然后再降溫到臨界溫度以下，根據(jù)式（3）樣品內(nèi)的B也不應(yīng)發(fā)生變化，即0B這樣一來，樣品的狀態(tài)就與其經(jīng)歷的歷史有關(guān)，不是熱力學(xué)平衡狀態(tài)了但是應(yīng)用熱力學(xué)理論對(duì)超導(dǎo)體進(jìn)行分析，其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)是符合的這種情況促使人們進(jìn)行進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)研究1933年邁斯納（MEISSNER）將一圓柱形樣品放置在垂置于其軸線的磁場(chǎng)中，降低到臨界溫度以下，使樣品轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑢?dǎo)體，發(fā)現(xiàn)磁通量完全被排斥于樣品之外，即超導(dǎo)體中的B恒為零（4）0HM這一性質(zhì)稱為完全抗磁性上圖（B）畫出了具有完全抗磁性的樣品在先冷卻后加上磁場(chǎng)和先加上磁場(chǎng)后冷卻的狀態(tài)變化，顯示具有完全抗磁性的超導(dǎo)體，其狀態(tài)與歷史無關(guān)1953年弗倫敦