一、填空題（每小題4分，共20分）1）。039LIMXYXY091LIM63XYXY2,其中。2LDSA2LADS22LYA3）向量場(chǎng)的散度為。XYIZJZK34）在點(diǎn)處。2UXY0,1DU23320011XXYYDD5）交換二次積分的積分次序。2113200,XXDFYDFYD1320,YFXD二、（本題8分）設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。,ZFXF2ZY解2223212122,4YFXZYYYFFFFFFXXX三、（本題8分）求函數(shù)在圓域的最大值和最小值。2,F解方法一當(dāng)時(shí)，找駐點(diǎn)24XY，得唯一駐點(diǎn)0,0XFF0,當(dāng)時(shí)，是條件極值，考慮函數(shù)2Y，解方程組22,4FXXYXY可得204YX2,0X所求最大值為，最小值為。方法二設(shè)，則且，這變22,ABY,FXYAB4,0,AB成一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題。最大值為4，最小值為。方法三圓域可寫成24XY2COS01,2INXRRY2,COSFR最大值為4，最小值為。四、（本題8分）求錐面被柱面割下部分曲面面積。2ZXY2XY解21XYDDDD五、（本題8分）計(jì)算。22200XAZYZ解此三重積分積分區(qū)域在面上的投影為，即圓域OY2,0XYX的上半部分，設(shè)此部分為，則2XYXY原式2222COS23200416COS9XYDAAADXYRDD六、（本題8分）計(jì)算曲面積分，其中是半球面IZYZXY的上則。22ZRXY解設(shè)為，并取下則，是圍成的區(qū)域，由高斯公式120,ZR1,得原式12YDVXZYDXZY22233440XYRR七、（本題7分）計(jì)算曲線積分，其中表示包含點(diǎn)在內(nèi)的簡(jiǎn)21LXDYXAL1,0單閉曲線，沿逆時(shí)針方向。解在的內(nèi)部作圓并取逆時(shí)針方向，L221CXYR的參數(shù)方程為CCOS0INRY由格林公式有222011LCXDYXDYXDA八、（本題7分）求如下初值問題的解21,Y解此為可降階微分方程第三種類型。設(shè)，則，原方程化為PYDPY21P變量分離兩邊積分得21DY1LNLPC由可得1,0Y1C2Y解可得，21Y21DX2LNYC由可得1,0Y1所求解為。2LYX九、（本題7分）求方程的通解。24E解先求的通解，解特征方程得特征根，所以0Y240R2R的通解為421XXCE因?yàn)槭菃翁卣鞲?，所以原方程有特解形式，代入原方程?2XYAE2144XAE原方程通解為21XXYC十、（非化工類做）（本題6分）證明阿貝爾定理如果冪級(jí)數(shù)收斂，則0NAX適合不等式的一切冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂；如果冪級(jí)數(shù)發(fā)散，0X0NXA10N則適合不等式的一切使冪級(jí)數(shù)發(fā)散。00N十一、（非化工類做）（本題7分）將函數(shù)展成余弦級(jí)數(shù)。21FXX十二、（非化工類做）（本題6分）求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。13NN十、（化工類做）（本題6分）計(jì)算二重積分，其中為圓域。DXYD22XYA十一、（化工類做）（本題7分）求由方程組所確定的及2230ZXYZYX的導(dǎo)數(shù)及。ZXDYZX十二、（化工