試卷（一）一填空題（共20分）1若是6階方陣的伴隨矩陣，且_0_A,4ARANKRANK則注054ARANK階子式全為的所有2設(shè)，則COSSII1COSSINIC103設(shè)是的子空間，則V的維數(shù)是2_32|,1321XXVT（3R4對稱矩陣A的全部特征值為4,5,3,2,若已知矩陣為正定矩陣,則EA常數(shù)必須大于數(shù)值_5_5已知階矩陣,則矩陣的逆是N100010A,A10010322131NA_二選擇題（共20分）1若是階方陣,下列等式中恒等的表達(dá)式是（D）BA,NA；B；211BAC）；D|2若為階方陣,則為正交矩陣的充分必要條件不是DANAA的列向量構(gòu)成單位正交基；B的行向量構(gòu)成單位正交基；AC；DTA11DETA3若是空間的一個(gè)維子空間,是的一組基是空間1VNRKK,21V2的一個(gè)維子空間,是的一組基,且則MRKK21,NKM（D）A向量組可以由向量組線性表示；K,21K,21B向量組可以由向量組線性表示；C向量組與向量組可以相互線性表示；K,21K,21D向量組與向量組不能相互線性表示K,21K,21（注與的維數(shù)不同）II4若是實(shí)對稱方陣A的兩個(gè)不同特征根,是對應(yīng)的特征向量,則21,21以下命題哪一個(gè)不成立CA都是實(shí)數(shù)；B一定正交；21,21,C有可能是的特征向量；D有可能是的特征根A5已知為階方陣,且非齊次線性方程組的AN,KARANBX個(gè)線性無關(guān)解為則的通解為D1KN,121KBXA；KNCC21B；1KNC；11211KNKNKNCCCD1KNKN（注為對應(yīng)齊次方程的基11211,KNKNKN0AX礎(chǔ)解系）三解下列各題共25分1若為3階方陣,且,求A21A1A解因?yàn)樗?|141|8|21311A2設(shè),求矩陣11AN,2解,202401112EA若N為偶數(shù),設(shè)則,MN222EEANMM若N為奇數(shù),設(shè)則,1122212AANMM3計(jì)算向量在基下的T4,1TTT1,10,321坐標(biāo)答案為524設(shè)向量組,64,2,120,3,42,31,30,1421TTTT求向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組此題作法參考51頁例55利用分塊矩陣方法,計(jì)算的逆矩陣10423A解記,其中則210A,3211002/121A四證明題8分設(shè)維向量組和向量組有關(guān)系NN,21N,21121321NN問維向量組和向量組是否同秩證明你的結(jié)論N,21,證明維向量組和向量組是同秩的下面證明之NN21由已知條件有,21NN,210110,P01100100110110110101DET可逆PNNNNNNPN于是從而向量組和向量組,1212NNN,21可以互相線性表示,即等價(jià),故和1的秩相同N,2五8分二次型通過,0,232,3214321XXXF正交變換,可將此二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形求參數(shù)及所用正5YYF交變換解的矩陣為，由標(biāo)準(zhǔn)型知A的三個(gè)特征F302A2321YYF值為1，2，5由知A的三個(gè)特征03230E值為又于是，于是3,2,0320A對，對應(yīng)特征向量，單位01201,1AE10化對，對應(yīng)特征,2123021201AE向量，取對，對0225301203EA應(yīng)特征向量，單位化，于是所用正交變換為132103210,QYX其中六8分求線性方程組213204141XX的通解答案通解為0210124321CX七6分解矩陣方程,并寫出解方程時(shí)初等矩陣的變換過程02134010X解X110234011上式中,對左乘初等矩陣,相當(dāng)于對矩陣0213410交換第1,2兩行,得矩陣,右乘初等矩陣02234相當(dāng)于再對矩陣交換第2,3兩列,得矩陣,0102134即有,243X八5分設(shè)是4階方陣,且的特征根互不相同,證明AA4321,1方陣有四個(gè)線性無關(guān)的特征向量2方陣可以對角化證明1的證明仿照P64定理22取為分別對應(yīng)于0不同特征值的特征向量,4321,X4321,則線性無關(guān)X取,則,4321XP43210PA可對角化A432110試卷二部分解答一（3）已知向量組線性相關(guān),求TTTT21,32,301T解線性相關(guān)可求出321,0,DET312T415T二8分設(shè),且求矩陣B20A,BAT解,BTTE可逆,且,1023EA502131A于是148213521TB五8分求下列方程組的通解以及對應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系18257,4320541XX與56頁例8類似作六8分求出把二次型化為標(biāo)3231212321XXXAF準(zhǔn)形的正交變換,并求出使為正定時(shí)參數(shù)的取值范圍FA解二次型的矩陣為3231212321XXXAF由A,0211|AAAE得特征值2,321對,21A,011AE可得的一個(gè)基礎(chǔ)解系為0X,1,21X正交化取/021,011221X對,23A,21AE可得的一個(gè)基礎(chǔ)解系為0X13X將分別單位化,得321,3/1/,6/2/,0/13取正交變換,則此正323212132/,YYX交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形F12221AYAF正定F201AA且七10分設(shè)三階實(shí)對稱矩陣的特征值為3二重根、4一重根,A是的屬于特征值4的一個(gè)特征向量,求T2,1A解設(shè)的屬于特征值3的特征向量為,由于實(shí)對稱矩陣的不同特A321XX征值對應(yīng)的特征向量正交,則有即此方,0,10231X程的一個(gè)基礎(chǔ)解系為則為的屬于特征值3,2,121,A的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,于是121212121,304,304,A10分當(dāng)為何值時(shí),方程組BA,23102,41XX有惟一解、無窮多解、無解解記,23104,312BAABAA系數(shù)行列式,DETA1當(dāng)時(shí),由克萊姆法則知方程組有惟一解31,0AB,0DETA2當(dāng)時(shí),于是0B,8013423014AAA方程組無解RANKR3當(dāng)時(shí),31,0B8013223104/231BBAR,0/48023212RBRI當(dāng)時(shí),方程組有無窮多解7BARANKRII當(dāng)時(shí),方程組無解1232九10分每小題5分,共10分證明下列各題1設(shè)是可逆矩陣,證明也可逆,且A,BA1BA2設(shè)是非零向量,證明是矩陣的特征向量1NNT證明1由于,則存在可逆矩陣使得于是由可逆知,P,1A也可逆,且BPA1111B2設(shè)記,0,022NNBA,212121NNTBAABK由知為的屬于的特征向量KTTTK試卷三部分解答一12320621NNBARAKR451,2,38T二1D2A3D4D5D三11|123EAAET2參考P7例43由有BA1034210203121E六證明設(shè),21BAAR則02121ARR于是,ARR即但因此021ABAR,從而有AR021RAA又線性無關(guān),因此于是R,21R故有線性無關(guān)0B,21R試卷四解答一填空題1RANKARANKA|B2COS207SIN207ICO33142IT450二選擇題1D2D3C4都對5A三解答題1設(shè)向量在基下的坐標(biāo)為，則123,123,TX1232,X31512X632X210410202111AEABBA則3138240353155127916729153為范德蒙行列式）4對A作行初等變換TTTARANK0,31,9,46,3,210583294178096324132一個(gè)基5記NNNNNBAABBBARRRABABBD00,021011322102011按最后一列展開,0011000011210102101012011NNNNNNNNNNDBABAABBABABABD由此得遞推公式2101NNBABD遞推可得211210120112011DBABABABADDNNNNNNN其中01102故1211210201NNNNNBABABABAD四證明000100,001,2121321323212132KKKKKKAXAKKKAKKKKKRRRRRRRRRR線性無關(guān)，又）（）得由（所以故的解不是故的解為方程，又對上式作用得用矩陣使得零的數(shù)關(guān)，則存在一組不全為反證假設(shè)它們線性相六解將方程組的增廣矩陣化