第十一章級(jí)數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)對(duì)于數(shù)列,21NU我們稱為無窮級(jí)數(shù)，記為NUU211NNUU2其中稱為通項(xiàng)。NU問題什么情況下這個(gè)無窮項(xiàng)的和是一個(gè)確定的數(shù)，或者說有意義，也就是后面說的收斂我們可以構(gòu)造部分和數(shù)列,12121NKUSUS來解決這個(gè)問題。定義1如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即1NUNSS，則稱級(jí)數(shù)收斂，稱為級(jí)數(shù)的和，并寫SNLIM1N1NU成；如果數(shù)列沒有極限則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。1NUNS1N例1無窮級(jí)數(shù)NNAQAQ200A叫做等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）討論其斂散性。解112QNAQAQSNN當(dāng)時(shí)，即收斂；1QSN1LIM0N當(dāng)時(shí)，不存在，即發(fā)散。QNLI0NAQ例2判定級(jí)數(shù)的收斂性。1NN解1N123NS因?yàn)?，不存在，即發(fā)散。NLIM1N例3判別無窮級(jí)數(shù)1321N的斂散性。解14321NSN1因?yàn)?，即收斂。NSLIM132N二、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)收斂于，則它的各項(xiàng)都乘以一個(gè)常1NUS數(shù)所得的級(jí)數(shù)也收斂其和為。K1NKUKS證明設(shè)的部分和數(shù)列為，的部分和數(shù)列為1NN1NU，則有NNNKKNSU11KSNNNLIMLILI性質(zhì)2如果級(jí)數(shù)，分別收斂于和，則級(jí)數(shù)1NU1NV,S收斂于和。1NNVUS證明設(shè)分別為級(jí)數(shù)，和NNS,1NU1NV1NNVU的部分和數(shù)列，則有NNKNKNKSVUVU111SNNNNNLIMLILIMLI性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性。證明設(shè)級(jí)數(shù)改變了有限項(xiàng)，無妨設(shè)1NU對(duì)應(yīng)變成KIIU,21KIIVV,21且設(shè)。BAUKKIIIIII2121為改變后所得級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列；為級(jí)數(shù)的NNS1NU部分和數(shù)列，當(dāng)時(shí)有KINABSUVUNJIKJINIJJ11ABSNNNLIMLLM性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)這級(jí)數(shù)的各項(xiàng)任意加括號(hào)1NU后所成的級(jí)數(shù)121111KKNNNNUUU還是收斂的。證明設(shè)是加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，是級(jí)數(shù)KANS的部分和數(shù)列，則有1NU,21KNNSASA是的子列，所以KNNKKSKLIMLILI注級(jí)數(shù)發(fā)散，但級(jí)數(shù)N11收斂于。10性質(zhì)5（級(jí)數(shù)收斂必要條件）如果級(jí)數(shù)收斂，則必有1NU。0LIMNU證明設(shè)是級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，且有。NS1NUSNLIM0LILILIMLI11SSNNNN注調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。321解因?yàn)閿?shù)列遞增，且，所以N1ENLIMN1，EN1L,NLN