第 1 頁（共 24 頁） 2017 年上海市寶山區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷 一、選擇題：（本大題共 6 題，每題 4 分，滿分 24 分） 1已知 A=30，下列判斷正確的是（ ） A B C D 2如果 C 是線段 黃金分割點 C，并且 ，那么 長度為（ ） A B C D 3二次函數(shù) y=x+3 的定義域為（ ） A x 0 B x 為一切實數(shù) C y 2 D y 為一切實數(shù) 4已知非零向量 、 之間滿足 = 3 ，下列判斷正確的是（ ） A 的模為 3 B 與 的模之比為 3： 1 C 與 平行且方向相同 D 與 平行且方向相反 5如果從甲船看乙船，乙船在甲船的北偏東 30方向，那么從乙船看甲船，甲船在乙船的（ ） A南偏西 30方向 B南偏西 60方向 C南偏東 30方向 D南偏東 60方向 6二次函數(shù) y=a（ x+m） 2+n 的圖象如圖，則一次函數(shù) y=mx+n 的圖象經(jīng)過（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象 限 二、填空題：（本大題共 12 小題，每題 4 分，滿分 48 分） 7已知 2a=3b，則 = 第 2 頁（共 24 頁） 8如果兩個相似三角形的相似比為 1： 4，那么它們的面積比為 9如圖， D 為 邊 一點，如果 ，那么圖中 是 比例中項 10如圖， C=90，若 D，且 ， ，則 11計算： 2（ +3 ） 5 = 12如圖， G 為 重心，如果 C=13， 0，那么 長為 13二次函數(shù) y=5（ x 4） 2+3 向左平移二個單位長度，再向下平移一個單位長度，得到的函數(shù)解析式是 14如果點 A（ 1， 2）和點 B（ 3， 2）都在拋物線 y=bx+c 的圖象上，那么拋物線 y=bx+c 的對稱軸是直線 15已知 A（ 2， B（ 3， 拋物線 y= （ x 1） 2+ 的圖象上兩點，則 填不等號） 16如果在一個斜坡上每向上前進 13 米，水平高度就升高了 5 米，則該斜坡的坡度 i= 17數(shù)學(xué)小組在活動中繼承了學(xué)兄學(xué)姐們的研究成果，將能夠確定形如y=bx+c 的拋物線的形狀、大 小、開口方向、位置等特征的系數(shù) a、 b、 c 稱為該拋物線的特征數(shù)，記作：特征數(shù) a、 b、 c，（請你求）在研究活動中被記作特征數(shù)為 1、 4、 3的拋物線的頂點坐標(biāo)為 第 3 頁（共 24 頁） 18如圖， D 為直角 斜邊 一點， E，如果 E 翻折， A 恰好與 B 重合，聯(lián)結(jié) F，如果 8， ，那么 三、解答題：（本大題共 7 小題，滿分 78 分） 19計算： 0 20如圖，在 ，點 D、 E 分別在邊 ，如果 （ 1）如果 ，求 長； （ 2）設(shè) = ， = ，求向 量 （用向量 、 表示） 21如圖， 別表示兩幢相距 36 米的大樓，高興同學(xué)站在 樓的 B 大樓的底部 B 點的俯角為 45，觀察 樓的頂部 A 點的仰角為30，求大樓 高 22直線 l： y= x+6 交 y 軸于點 A，與 x 軸交于點 B，過 A、 B 兩點的拋物線 m與 x 軸的另一個交點為 C，（ C 在 B 的左邊），如果 ，求拋物線 m 的解析式，并根據(jù)函數(shù)圖象指出當(dāng) m 的函數(shù)值大于 0 的函數(shù)值時 x 的取值范圍 第 4 頁（共 24 頁） 23如圖，點 E 是正方形 對角線 的一個動點（不與 A、 C 重合），作 邊 點 F，聯(lián)結(jié) 于點 G （ 1）求證： （ 2）若 ： 1，求 值 24如圖，二次函數(shù) y=x+2（ a 0）的圖象與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 ，已知點 A（ 4， 0） （ 1）求拋物線與直線 函數(shù)解析式； （ 2）若點 D（ m， n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點，四邊形 面積為 S，求 S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系； （ 3）若點 E 為拋物線上任意一點，點 F 為 x 軸上任意一點，當(dāng)以 A、 C、 E、 F 為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出滿足條件的所有點 E 的坐標(biāo) 25如圖（ 1）所示， E 為矩形 邊 一點，動點 P、 Q 同時從點 B 出發(fā)，點 P 以 1的速度沿折線 動到點 C 時停止，點 Q 以 2的速度沿 動到點 C 時停止設(shè) P、 Q 同時出發(fā) t 秒時， 面積為知 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（ 2）（其中曲線 拋物線的一部分，其余各部分均為線段） 第 5 頁（共 24 頁） （ 1）試根據(jù)圖（ 2）求 0 t 5 時， 面積 y 關(guān)于 t 的函數(shù)解析式； （ 2）求出線段 長度； （ 3）當(dāng) t 為多少秒時，以 B、 P、 Q 為頂點的三角形和 似； （ 4）如圖（ 3）過 E 作 F， 點 B 按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，如果 E、 F 的對應(yīng)點 H、 I 恰好和射線 交點 G 在一條直線，求此時 C、 I 兩點之間的距離 第 6 頁（共 24 頁） 2017 年上海市寶山區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：（本大題共 6 題，每題 4 分，滿分 24 分） 1已知 A=30，下列判斷正確的是（ ） A B C D 【考點】 特殊角的三角函數(shù)值 【分析】 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行判斷即可 【解答】 解： A=30， ， ， ， ， 故選： A 2如果 C 是線段 黃金分割點 C，并且 ，那么 長度為（ ） A B C D 【考點】 黃金分割 【分析】 根據(jù)黃金比值是 計算即可 【解答】 解： C 是線段 黃金分割點 C， ， 故選： C 3二次函數(shù) y=x+3 的定義域為（ ） A x 0 B x 為一切實數(shù) C y 2 D y 為一切實數(shù) 【考點】 二次函數(shù)的定義 【分析】 找出二次函數(shù)的定義域即可 【解答】 解：二次函數(shù) y=x+3 的定義域為 x 為一切實數(shù)， 第 7 頁（共 24 頁） 故選 B 4已知非零向量 、 之間滿足 = 3 ，下列判斷正確的是（ ） A 的模為 3 B 與 的模之比為 3： 1 C 與 平行且方向相同 D 與 平行且方向相反 【考點】 *平面向量 【分析】 根據(jù)向量的長度和方向，可得答案 【解答】 解： A、由 = 3 ，得 | |=3| |，故 A 錯誤； B、由 = 3 ，得 | |=3| |， | |： | |=3： 1，故 B 錯誤； C、由 = 3 ，得 = 3 方向相反，故 C 錯誤； D、由 = 3 ，得 = 3 平行且方向相反，故 D 正確； 故選： D 5如果從甲船看乙船，乙船在甲船的北偏東 30方向，那么從乙船看甲船，甲船在乙船的（ ） A南偏西 30方向 B南偏西 60方向 C南偏東 30方向 D南偏東 60方向 【考點】 方向角 【分析】 根據(jù)題意正確畫出圖形進而分析得出從乙船看甲船的方向 【解答】 解：如圖所示：可得 1=30， 從甲船看乙船，乙船在甲船的北偏東 30方向， 從乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西 30方向 故選： A 6二次函數(shù) y=a（ x+m） 2+n 的圖象如圖，則一次函數(shù) y=mx+n 的圖象經(jīng)過（ ） 第 8 頁（共 24 頁） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 【考點】 二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)拋物線的頂點在第四象限，得出 n 0， m 0，即可得出一次函數(shù)y=mx+n 的圖象經(jīng)過二、三、四象限 【解答】 解： 拋物線的頂點在第四象限， m 0， n 0， m 0， 一次函數(shù) y=mx+n 的圖象經(jīng)過二、三、四象限， 故選 C 二、填空題：（本大題共 12 小題，每題 4 分，滿分 48 分） 7已知 2a=3b，則 = 【考點】 比例的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項之積等于兩內(nèi)項之積可直接得到 的結(jié)果 【解答】 解： 2a=3b， = 8如果兩個相似三角形的相似比為 1： 4，那么它們的面積比為 1： 16 【 考點】 相似三角形的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方即可解得 【解答】 解： 兩個相似三角形的相似比為 1： 4， 第 9 頁（共 24 頁） 它們的面積比為 1： 16 故答案為 1： 16 9如圖， D 為 邊 一點，如果 ，那么圖中 比例中項 【考點】 比例線段 【分析】 根據(jù)兩角分別相等的兩個三角形相似，可得 關(guān)系，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案 【解答】 解：在 ， A= A， = ， 比例中項 故答案為 10如圖， C=90，若 D，且 ， ，則 【考點】 解直角三角形 【分析】 先證明 用相似三角形的性質(zhì)求出 長度，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出 值 【解答】 解： A=90， A， 第 10 頁（共 24 頁） 0， D ， = 故答案為： 11計算： 2（ +3 ） 5 = 2 + 【考點】 *平面向量 【分析】 可根據(jù)向量的加法法則進行計算，可得答案 【解答】 解： 2（ +3 ） 5 =2 +6 5 =2 + ， 故答案為： 2 + 12如圖， G 為 重心，如 果 C=13， 0，那么 長為 8 【考點】 三角形的重心；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理 【分析】 延長 D，根據(jù)重心的概念得到 據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 據(jù)勾股定理和重心的性質(zhì)計算即可 【解答】 解：延長 D， G 為 重心， C， ， 由勾股定理得， =12， 第 11 頁（共 24 頁） G 為 重心， ， 故答案為： 8 13二次函數(shù) y=5（ x 4） 2+3 向左平移二個單位長度，再向下平移一個單位長度，得到的函數(shù)解析式是 y=5（ x 2） 2+2 【考點】 二次函數(shù)圖象與幾何變換 【分析】 按照 “左加右減，上加下減 ”的規(guī)律求解即可 【解答】 解： y=5（ x 4） 2+3 向左平移二個單位長度，再向 下平移一個單位長度得 y=5（ x 4+2） 2+3 1，即 y=5（ x 2） 2+2 故答案為 y=5（ x 2） 2+2 14如果點 A（ 1， 2）和點 B（ 3， 2）都在拋物線 y=bx+c 的圖象上，那么拋物線 y=bx+c 的對稱軸是直線 x=2 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)函數(shù)值相等的點到拋物線對稱軸的距離相等可求得其對稱軸 【解答】 解： 點 A（ 1， 2）和點 B（ 3， 2）都在拋物線 y=bx+c 的圖象上， 其對稱軸為 x= =2 故答案為： x=2 15已知 A（ 2， B（ 3， 拋物線 y= （ x 1） 2+ 的圖象上兩點，則 填不等號） 【考點】 二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征 【分析】 先確定其對稱軸，利用增減性進行判斷；也可以將 A、 B 兩點的坐標(biāo)分第 12 頁（共 24 頁） 別代入求出縱坐標(biāo)，再進行判斷 【解答】 解：由題意得：拋物線的對稱軸是：直線 x=1， 0， 當(dāng) x 1 時， y 隨 x 的增大而減小， 2 3， 故答案為： 16如果在一個斜坡上每向上前進 13 米，水平高度就升高了 5 米，則該斜坡的坡度 i= 1： 【考點】 解直角三角形的應(yīng)用 【分析】 根據(jù)在一個斜坡上前進 5 米，水平高度升高了 1 米，可以計算出此時的水平距離，水平高度與水平距離的比值即為坡度，從而可以解答本題 【解答】 解：設(shè)在一個斜坡上前進 13 米，水平高度升高了 5 米，此時水平距離為 x 米， 根據(jù)勾股定理，得 2=132， 解得： x=12， 故該斜坡坡度 i=5： 12=1： 故答案為： 1： 17數(shù)學(xué)小組在活動中繼承了學(xué)兄學(xué)姐們的研究成果，將能夠確定形如y=bx+c 的拋物線的形狀、大小、開口方向、位置等特征的系數(shù) a、 b、 c 稱為該拋物線的特征數(shù)，記作：特征數(shù) a、 b、 c，（請你求）在研究活動中被記作特征數(shù)為 1、 4、 3的拋物線的頂點坐標(biāo)為 （ 2， 1） 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象 【分析】 由條件可求得拋物線解析式，化為頂點式可求得答案 【解答】 解： 特征數(shù)為 1、 4、 3， 拋物線解析式為 y=4x+3=（ x 2） 2 1， 第 13 頁（共 24 頁） 拋物線頂點坐標(biāo)為（ 2， 1）， 故答案為：（ 2， 1） 18如圖， D 為直角 斜邊 一點， E，如果 E 翻折， A 恰好與 B 重合，聯(lián)結(jié) F，如果 8， ，那么 6： 5 【考點】 翻折變換（折疊問題）；解直角三角形 【分析】 先根據(jù) ， 8，求得 ， ， ， ，再過點 C 作 G，作 H，根據(jù)面積法求得 長，最后根據(jù) 到 = = = 即可 【解答】 解： ， ， 8， ， ， =4 ， 又 折， A 恰好與 B 重合， D=2 ， ， ， =5， 5=3， ， =5， 如圖，過點 C 作 G，作 H，則 ， =2， 第 14 頁（共 24 頁） ， = ， = = = 故答案為： 6： 5 三、解答題：（本大題共 7 小題，滿分 78 分） 19計算： 0 【考點】 實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值 【分析】 原式利用特殊角的三角函數(shù)值，以及零指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果 【解答】 解：原式 = +1= + +1= + +1 20如圖，在 ，點 D、 E 分別在邊 ，如果 （ 1）如果 ，求 長； （ 2）設(shè) = ， = ，求向量 （用向量 、 表示） 【考點】 *平面向量 【分析】 （ 1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得 長，根據(jù)線段的和差，可得答案； （ 2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得 長，根據(jù)向量的減法運算，第 15 頁（共 24 頁） 可得答案 【解答】 解：（ 1）由 = 又 ，得 ， C 4=2； （ 2）如圖 ， 由 = 又 且 = = ， = = = = 21如圖， 別表示兩幢相距 36 米的大樓，高興同學(xué)站在 樓的 B 大樓的底部 B 點的俯角為 45，觀察 樓的頂部 A 點的仰角為30，求大樓 高 【考點】 解直角三角形的應(yīng)用 第 16 頁（共 24 頁） 【分析】 過點 P 作 垂線，垂足為 E，根據(jù) 題意可得出四邊形 矩形，再由 5可知 E=36m，由 E出 長，進而可得出結(jié)論 【解答】 解：如圖，過點 P 作 垂線，垂足為 E， 四邊形 矩形， 6m， 5， E=36m， E36 =12 （ m）， 2 +36（ m） 答：建筑物 高為 米 22直線 l： y= x+6 交 y 軸于點 A，與 x 軸交于點 B，過 A、 B 兩點的拋物線 m與 x 軸的另一個交點為 C，（ C 在 B 的左邊），如果 ，求拋物線 m 的解析式，并根據(jù)函數(shù)圖象指出當(dāng) m 的函數(shù)值大于 0 的函數(shù)值時 x 的取值范圍 【考點】 二次函數(shù)與不等式（組）；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；拋 物線與 【分析】 先根據(jù)函數(shù)的解析式求出 A、 B 兩點的坐標(biāo)，再求出點 C 的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線 m 的解析式，畫出其圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求解 【解答】 解： y= x+6 交 y 軸于點 A，與 x 軸交于點 B， x=0 時， y=6， A（ 0， 6）， y=0 時， x=8， 第 17 頁（共 24 頁） B（ 8， 0）， 過 A、 B 兩點的拋物線 m 與 x 軸的另一個交點為 C，（ C 在 B 的左邊）， ， C（ 3， 0） 設(shè)拋物線 m 的解析式為 y=a（ x 3）（ x 8）， 將 A（ 0， 6）代 入，得 24a=6，解得 a= ， 拋物線 m 的解析式為 y= （ x 3）（ x 8），即 y= x+6； 函數(shù)圖象如右： 當(dāng)拋物線 m 的函數(shù)值大于 0 時， x 的取值范圍是 x 3 或 x 8 23如圖，點 E 是正方形 對角線 的一個 動點（不與 A、 C 重合），作 邊 點 F，聯(lián)結(jié) 于點 G （ 1）求證： （ 2）若 ： 1，求 值 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形 【分析】 （ 1）利用 明 列出比例式利用 明 18 頁（共 24 頁） 2）證出 ，則 ， ， ，由勾股 定理得出C= ，得出 C ，由三角函數(shù)即可得出結(jié)果 【解答】 （ 1）證明： 四邊形 正方形， 0， 0= 又 ， 又 （ 2） 5， 設(shè) ，則 ， ， ： 1， ， C= ， C ， 24如圖，二次函數(shù) y=x+2（ a 0）的圖象與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 ，已知點 A（ 4， 0） （ 1）求拋物線與直線 函數(shù)解析式； （ 2）若點 D（ m， n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點，四邊形 第 19 頁（共 24 頁） 面積為 S，求 S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系； （ 3）若點 E 為拋物線上任意一點，點 F 為 x 軸上任意一點，當(dāng)以 A、 C、 E、 F 為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出滿足條件的所有點 E 的坐標(biāo) 【考點】 二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程 行四邊形的性質(zhì) 【分析】 （ 1）把點 A 的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可求得拋物線的解析式，根據(jù) A， C 兩點的坐標(biāo)，可求得直線 函數(shù)解析式； （ 2）先過點 D 作 x 軸于點 H，運用割補法即可得到：四邊形 面積 = 面積 +四邊形 面積，據(jù)此列式計算化簡就可求得 S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系； （ 3）由于 定，可分 平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論，得到點E 與點 C 的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入拋物線的解析式，就可得到滿 足條件的所有點 E 的坐標(biāo) 【解答】 解：（ 1） A（ 4， 0）在二次函數(shù) y=x+2（ a 0）的圖象上， 0=16a+6+2， 解得 a= ， 拋物線的函數(shù)解析式為 y= x+2； 點 C 的坐標(biāo)為（ 0， 2）， 設(shè)直線 解析式為 y=kx+b，則 ， 解得 ， 直線 函數(shù)解析式為： ； 第 20 頁（共 24 頁） （ 2） 點 D（ m， n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點， D（ m， m+2）， 過點 D 作 x 軸于點 H，則 m+2， AH=m+4， m， 四邊形 面積 = 面積 +四邊形 面積， S= （ m+4） （ m+2） + （ m+2+2） （ m）， 化簡，得 S= 4m+4（ 4 m 0）； （ 3） 若 平行四邊形的一邊，則 C、 E 到 距離相等， |2， 2 當(dāng) 時，解方程 x+2=2 得， ， 3， 點 E 的坐標(biāo)為（ 3， 2）； 當(dāng) 2 時，解方程 x+2= 2 得， ， ， 點 E 的坐標(biāo)為（ ， 2）或（ ， 2）； 若 平行四邊形的一條對角線，則 yE=， 點 E 的坐標(biāo)為（ 3， 2） 綜上所述，滿足條件的點 E 的坐標(biāo)為（ 3， 2）、（ ， 2）、（ ， 2） 第 21 頁（共 24 頁） 25如圖（ 1）所示， E 為矩形 邊 一點，動點 P、 Q 同時從點 B 出發(fā)，點 P 以 1的速度沿折線 動到點 C 時停止，點 Q 以 2的速度沿 動到點 C 時停止設(shè) P、 Q 同時出發(fā) t 秒時， 面積為知 y